для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 32. теорема о предельном переходе в равенсве и не равенсве

38. Предельный преход в равенстве и неравенстве. Соединяя две переменные и

знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о соответствуших значениях их, т. е. о значениях с одним и тем же номером.

1) Если две переменные , при всех их изменениях равны: причем

каждая из них имеет конечный пpeaeдел:

то равны и эти пределы: .

Непосредственно следует из единственности предела [36, 4)].

Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного перехода в равентве: из заключают, что

2) Если для двух переменных всегда выполняется неравенство причем

каждая из них имеет конечный предел:

то и .

Допустим противное: пусть . Рассуждая так же как и в пункте 36, 4), возьмем число r между а и b, так что . Тогда, с одной стороны, найдется такой номер N’, что для будет с друrой же найдется и такой номер N’’, что для окажется .

Если N больше обоих чисел N’, N’’, то для номеров будут одновременно выполняться оба неравенства

что противоречит предположению. Теорема доказана.

Эта теорема устанавливает допустимость предельного перехода в неравенстве (соединенном с равенством): из можно заключить, что .

Конечно, знак всюду может быть заменен знаком .

Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого неравенства вообще говоря, не вытекает строгое же неравенство, а только, по-прежнему:

.

Так, например при всех n, и тем не менее

Из теоремы 2), как частный случай, может быть получено утверждение 3) пункт 36. При установлении существования и величины предела часто бывает полезна теорема:

3) Если для nеременных всегда выполняются неравенства

причем переменые стремятся к общему пределу a:

тo и nпеременная имеет тот же предел:

Зададимся произвольным . По этому ε прежде всего, найдется такой номер ’, что при

Затем найдется такой номер, , что при

Пусть будет больше обоих чисел ; тогда, при , выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому

Окончательно при

Таким образом, действительно, .

Из этой теоремы в частности следует: если ,при всех n

и известно, что , то и . Впрочем, это очень легко доказать и непосредственно. Теоремы 1), 2) и 3) легко распространяются и на случай бесконечных пределов.