для первого курса / для первого курса / Скляров-марущак-Куликов 1-эт-4 / Лекции Комп технологии / Okm_su

Лабораторная работа № 3 АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

1. Основные сведения Систему автоматического управления (САУ) можно представить в виде

соединения звеньев. Для анализа работы САУ необходимо иметь зависимости, связывающие входные и выходные сигналы звеньев. Эти зависимости определяются с помощью дифференциальных уравнений. Рассмотрим простейший случай линейного звена непрерывного действия, у которого все процессы описываются с помощью линейных дифференциальных уравнений. Связь между выходной (Y) и входной (X) величинами линейного звена или линейной системы выражается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:

(1.1)

Для описания свойств звеньев более удобно пользоваться не непосредственно дифференциальными уравнениями, а следующими коэффициентами или функциями, вытекающими из уравнения (1.1) и также полно определяющими связь между входной и выходной величинами звеньев:

-передаточной функцией;

-переходной характеристикой (функцией);

-комплексным коэффициентом передачи (ККП).

Для определения передаточной и переходной функций звена наиболее целесообразно использовать преобразование Лапласа, которое основано на двух следующих формулах:

- прямого преобразования Лапласа

11

(1.2)

- обратного преобразования Лапласа

(1.3)

Здесь L, L-1 - обозначения прямого и обратного преобразования Лапласа.

Преобразованная по Лапласу величина называется изображением и обозначается через X(p) и Y(p) соответственно для входной и выходной величин. Под "p" подразумевается комплексная частота, p=σ+jω. Если p=jω,

(σ=0), преобразование Лапласа превращается в его частный случай - преобразование Фурье. В справочниках по математике имеются таблицы преобразования Лапласа для различных функций, встречающихся в практических задачах.

Передаточной функцией линейного звена W(p) называется отношение изображения выходной величины Y(p) к изображению входной величины X(p) при нулевых начальных условиях, т.е. при отсутствии запаса энергии в звене:

W(p)=Y(p)/X(p). (1.4)

Рассматривая линейное дифференциальное уравнение (1.1) и находя изображение для левой и правой частей уравнения, получаем

(1.5)

Отсюда

(1.6)

12

Переходная или временная характеристика (функция) звена h(t) представляет собой реакцию на выходе звена , вызванную подачей на его вход единичного ступенчатого воздействия:

Изображение этой функции X(p)=1/p. Поэтому в соответствии с (2.4) получаем:

H(p)=Y(p)=X(p)W(p)=W(p)/p. (1.7)

Переходя от изображения к оригиналу, определяем выражение для переходной характеристики

(1.8)

Это выражение подчеркивает наличие однозначной связи между переходной и передаточной функциями.

Переход от передаточной функции к комплексному коэффициенту передачи (ККП) осуществляется заменой p на jω в выражении передаточной функции.

Под ККП звена понимается отношение комплексной амплитуды выходного сигнала к комплексной амплитуде входного сигнала:

(1.9)

где модуль ККП равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов для данного значения частоты (амплитудно-частотная характеристика)

13

являются взаимозаменяемыми; более сложные реальные звенья заменяются, если возможно, последовательным или параллельным соединением типовых звеньев.

Рассмотрим типовые звенья, которые описываются дифференциальным уравнением 1-го порядка

(1.17)

и соответствующей передаточной функцией

(1.18)

Для различных типовых звеньев коэффициенты передаточной функции a0, a1, b0, b1 принимают различные, в том числе и нулевые значения.

Различают следующие 4 типовых звена:

- безынерционное (усилительное) W(p)=a0/b0, a1=b1=0;

- инерционное (апериодическое) W(p)=a0/(b0+b1p); a1=0; (1.19)

-интегрирующее W(p)=a0/b1p; a1=b0=0;

-дифференцирующее W(p)=a1p/b0, a0=b1=0;

Из числа более сложных звеньев, описываемых дифференциальными уравнениями 2-го порядка, в качестве типового берется только одно, отвечающее случаю a2=a1=0. В соответствии с этим из передаточной функции

(1.20)

получаем

(1.21)

15

Пропорциональным называют звено, которое описывается уравнением y(t)=ku(t) или, что то же, передаточной функцией W(s)=k.Частотные и временные функции этого типового звена имеют вид:

W(jω)=k, A(ω)=k, ϕ(ω)=0, L(ω)=20lgk, h(t)=k1(t), w(t)=δ(t).

Интегрирующим называют звено, которое описывается уравнением py=ku, или передаточной функцией W(s)=k.

Частотная передаточная функция W(jω)=k/jω=-jk/ω. Остальные функции:

U(ω)=0, V(ω)=-k/ω, A(ω)=k/ω, ϕ(ω)=-π/2, L(ω)=20lgk-20lgω, h(t)=kt, w(t)=k.

Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением y=kpu, или передаточной функцией W(s)=ks. Частотная передаточная функция имеет вид W(jω)=jkω.

Остальные частотные и временные функции имеют вид:

U(ω)=0, V(ω)=kω, A(ω)=kω, ϕ(ω)=π/2, L(ω)=20lgk+20lgω, h(t)=δ(t)., w(t)=δ(t).

Апериодическим звеном первого порядка называют звено, которое описывается уравнением (Tp+1)y=ku, или передаточной функцией

W(s)=k/(Ts+1).

Это звено также называют инерционным звеном или инерционным звеном первого порядка. Апериодическое звено в отличие от выше рассмотренных звеньев характеризуется двумя параметрами: постоянной времени Т и передаточным коэффициентом k. Частотная передаточная функция W(jω)=k/(Tjω+1).

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю число, получим

,

,

16

, ,

Колебательное звено. Частотная передаточная функция .

.

Умножив числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю выражение, получим вещественную и мнимую частотные функции

, .

Фазовая частотная функция изменяется монотонно от 0 до -π и выражается формулой

Амплитудная частотная функция

,

и логарифмическая амплитудная функция

.

2.Лабораторное задание

2.1.По согласованию с преподавателем выберете из банка заданий передаточные функции дифференцирующего W1(S), интегрирующего W2(S), апериодического W3(S) и колебательного W4(S) звеньев.

2.2.Постройте амплитудно-частотные характеристики для дифференцирующего, интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.

17

2.3.Постройте фазочастотные характеристики для дифференцирующего, интегрирующего, апериодического и колебательного звеньев.

2.4.Определите импульсную реакцию, переходную характеристику апериодического и колебательного звеньев.

18

Лабораторная работа № 4 АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

1. Основные сведения Амплитудно-импульсный элемент представляет собой устройство,

реагирующее на дискретные равноотстоящие друг от друга значения входного сигнала x(t) при t=nT. Его выходная величина является последовательностью импульсов определенной формы, амплитуда которых пропорциональна дискретным значениям входной величины

Импульсный элемент, на выходе которого образуется решетчатая функция, назовем простейшим импульсным элементом. Очевидно, что импульсный элемент с произвольной формой импульсов s(t) может быть представлен в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента и формирующего устройства (экстраполятора), реакция которого на импульсные воздействия равна s(t). Таким образом, импульсному элементу с произвольной формой импульса эквивалентно последовательное соединение простейшего импульсного элемента с формирующим устройством на выходе.

Так, для импульса прямоугольной формы

Замкнутую импульсную САУ после замены импульсного элемента соединением простейшего импульсного элемента и формирующего устройства можно представить в виде структурной схемы, содержащей соединение простейшего импульсного элемента и приведенной непрерывной части, состоящей из формирующего устройства и непрерывной части.

Обозначим передаточную функцию приведенной непрерывной части через W(p)=S(p)WH(p). Тогда уравнение разомкнутой на входе импульсного элемента системы запишется в виде:

19