7. Математические модели метауровня. Синтез и анализ логических схем

Цель работы. Применение математических моделей метауровня для экспериментального исследования и минимизации логических функций, синтеза и анализа логических схем технических объектов.

7.1. Краткие теоретические сведения

Математические модели и методы метауровня связаны с решением задач анализа и синтеза применительно к логике функционирования различных объектов от сложных систем до отдельных технических устройств [5, 6].

Современный уровень развития технических устройств, используемых при управлении энергосистемами, например устройств релейной защиты и автоматики, требует применения специального математического аппарата для анализа и синтеза их логических цепей, формализующего основные этапы оптимизации их логической структуры [6]. Математическое моделирование может эффективно использоваться как на этапе проектирования, так и в процессе эксплуатации, когда техническое устройство рассматривается как объект контроля, отыскания оптимальных способов проверки работоспособности и поиска неисправностей.

Любое техническое устройство дискретного действия может быть представлено как объект, моделирующий некоторую логическую функцию над набором из аргументов, которые удобно изображать в виде разрядов двоичного числа (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Модель объекта

, где .

В основе формирования моделей метауровня лежит математический аппарат, описывающий действия дискретных устройств, который базируется на математической логике. Одним из основополагающих понятий в алгебре логики является логическая функция [5, 6].

Определение. Пусть задано множество наборов аргументов , где всемогут принимать значения 0 или 1. Такое множество состоит изразличных наборов. Предположим, что над этими наборами произведена логическая операция, в результате которой логическая функцияможет принять одно из значений {0, 1}. При этом каждому наборуможет быть поставлено в соответствие определенное значение.

Тогда функцией алгебры логики или булевой функцией называется однозначное отображение в:

, . (7.1)

Логическая функция может быть задана одним из трех способов:

• аналитически в виде явной зависимости (7.1), представленной с помощью логической формулы, указывающей последовательность логических операций над аргументами ;

• таблично с помощью таблиц истинности, в которых определены значения логической функции для всех возможных наборов аргументов, например:

• с помощью логических схем различного вида, представляющих собой условное графическое отображение логических операций.

Произвольная логическая функция, отражающая логику функционирования технического устройства, состоит из конечного числа логических переменных и знаков логических операций. Одной из наиболее распространенных является дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

Под дизъюнктивной нормальной формой понимается дизъюнкция нескольких элементарных произведений, представляющих собой конъюнкции нескольких аргументов, входящих в произведение однократно без знака или со знаком инверсии.

Если каждый член ДНФ содержит все аргументов функции, то образуется совершенная нормальная дизъюнктивная форма (СДНФ) для функции трех переменных

(7.2)

Логическая функция может быть представлена с помощью набора логических операций, которые называются логическим базисом. В табл. 7.1 представлены наиболее часто используемые логические базисы.

Таблица 7.1

Логическая операция	Логический элемент
Логический базис И-ИЛИ-НЕ операция НЕ – отрицание (инверсия)
Операция ИЛИ – логическое сложение (дизъюнкция)
Операция И – логическое умножение (конъюнкция)
Логический базис И-НЕ Операция И-НЕ
Логический базис ИЛИ-НЕ Операция ИЛИ-НЕ

Логическая функция в форме СДНФ не всегда содержит минимальное количество элементов и логических операций. Поэтому одним из существенных этапов при решении задач анализа и синтеза логических схем является минимизация логических функций. Это оптимизационная задача, решение которой связано с использованием математических методов и приемов, основанных на законах алгебры логики. При этом стремятся к реализации структурных логических схем, обеспечивающих минимальную стоимость устройства при условии сохранения оптимального уровня надежности.

Задачу минимизации можно решить двумя способами:

• использовать аналитические преобразования;

• применять табличный способ минимизации, например, с использованием карт Карно.

В основе минимизации логических функций лежат следующие законы алгебры логики:

• закон повторения: ;

• закон универсального множества

• закон дополнительности

• закон склеивания ;

• закон поглощения .

Для перехода от одного базиса к другому используются формулы де Моргана

; .