- •Минобрнауки россии
- •Лабораторная работа №1
- •Идентификация объекта во временной области Теоретические сведения
- •Задание
- •Контрольные вопросы
- •Идентификация объекта в частотной области Теоретические сведения
- •Задание
- •Идентификация динамического объекта явным мнк
- •Идентификация динамического объекта рекуррентным мнк
- •Задание
- •Задание
- •Задание
- •Лабораторная работа №5 Оценивание состояний с помощью фильтра Калмана
- •Теоретические сведения
- •Задание
- •Лабораторная работа №6 Одновременное оценивание параметров и состояний линейной системы
- •Теоретические сведения
- •По информации о заданной системе (a, b, c) строится расширенный фильтр Калмана (a1, b1, c1)
- •Задание
- •Библиографический список
Идентификация динамического объекта явным мнк
Рассмотрим применение явной формы МНК для параметрической идентификации той же АРСС-модели объекта второго порядка с учетом заданных порядков .
Использование модели для оценок коэффициентов на основе выборки изN(от 1 доN) экспериментальных данных приводит к следующей системе уравнений вида
Матричная форма записи данной модели имеет стандартный вид линейной модели:
С учетом обозначения матрицы исходных данных входа-выхода
параметры дискретной модели определяются на основе общего соотношения МНК следующим образом:
Приведем программную реализацию явного МНК объекта второго порядка с передаточной функцией и коэффициентами.
s1=tf([25],[36 15 1])% непрерывная передаточная функция объекта
T_end=60;% интервал измерений
dt=0.2;% шаг дискретизации
t=0:dt:T_end;% массив дискретного времени
N=length(t);% размер выборки
u=ones(N,1);% моделирование единичного входного воздействия
y=lsim(s1,u,t);% моделирование выходного воздействия
n=2;% порядок объекта
R=[y(n:N-1)y(n-1:N-2)u(n:N-1)];% формирование расширенной матрицы данных
Y=y(n+1:N);% формирование вектора выходных данных
betta=inv(R'*R)*R'*Y;
% расчет параметров непрерывной модели
T1=dt^2/(1-betta(1)-betta(2))
T2=(betta(2)*T1+T1+dt^2)/dt
K=betta(3)*T1/dt^2
Рассчитанные оценки параметров дискретной модели:
a1 = 1,9190;a2 = -0,9200;b= 0,0266.
Рассчитанные оценки параметров непрерывной модели:
T1 = 37,5243; T2 =15,2014; K = 25,0000.
Из полученных результатов видна удовлетворительная точность оценивания параметров. При этом расчетная практика показывает, что метод чувствителен к помехам, их целесообразно отфильтровывать.
Идентификация динамического объекта рекуррентным мнк
Приведем программную реализацию оценивания параметров объекта из предыдущего примера с помощью рекуррентного МНК при использовании АРСС-модели объекта второго порядка.
s1=tf([25],[36 15 1])% непрерывная передаточная функция объекта
T_end=60;% интервал измерений
dt=0.2;% шаг дискретизации
t=0:dt:T_end;% массив дискретного времени
N=length(t);% размер выборки
u=ones(N,1);% массив значений единичного входного воздействия
y=lsim(s1,u,t);%массив значений выходного воздействия
n=2;% порядок объекта
I=diag([1 1 1]);
i=1;% начальный шаг
P=1000*I;% начальное приближение
betta=[0;0;0];
bet(i,:)=betta;% массив оценок параметров
% очередной шаг вычислений
fori=n:N-1
R=[y(i+n-2:-1:i-1);u(i+n-2:-1:i)]';% формирование расширенной матрицы данных
gamma=P*R'/(R*P*R'+1);
betta=betta+gamma*(y(i+1)-R*betta);
P=(I-gamma*R)*P;
bet(i,:)=betta;
end;
plot(bet,'+');
T1=dt^2/(1-betta(1)-betta(2))% расчет параметров непрерывной модели
T2=(betta(2)*T1+T1+dt^2)/dt:
K=betta(3)*T1/dt^2.
Оценки параметров непрерывной модели:
T1 = 35,6366; T2 =15,4333; K = 25,0975.
Из полученных расчетных результатов видна высокая точность оценивания всех параметров модели. Расчетная практика показывает, что рекуррентный МНК по сравнению с его явной формой обладает лучшей сходимостью и требует для достижения той же точности выполнения меньшего количества шагов и, соответственно, вычислений.
Задание
1. Провести эксперимент с моделью, соответствующей вашему варианту. Модель взять из файла по адресу \\auts0\Student\ИДС\plant_model_2012_5.mdl. Номер модели совпадает с номером вашей бригады. Зафиксировать переходную характеристику.
2. Провести идентификацию с помощью МНК.
3. Верифицировать полученные модели.
5. Сделать выводы о проделанной работе.
Контрольные вопросы
1. Сформулировать критерий идентификации при использовании МНК.
2. В чем состоит отличие явной формы МНК от рекуррентной?
3. Как формируются матрицы экспериментальных данных в том и другом случае?
Лабораторная работа №3
Параметрическая идентификация импульсной переходной функции объекта
Цель работы.
Освоить применение явной и рекуррентной формы МНК для параметрической идентификации заданной модели объекта.
Теоретические сведения
Требуется определить ИПФ по результатам измерений входного и выходного сигналов на конечном промежутке времени длительностью Т в условиях действия помехи типа белого шума, приведенной к выходу.
Выходной сигнал линейной стационарной системы при нулевых начальных условиях выражается стандартным интегралом свертки
где – импульсная переходная функция.
Проведем временную дискретизацию уравнения с равномерным интервалом квантования . Выходной сигнал в произвольный момент времениопределяется следующим соотношением:
где – время измерения выходного сигнала;– время оценивания, т.е. установления реакции ИПФ (не более 5% от своего пикового значения).
Запишем выражение в компактном виде:
,
где
Проведенная процедура дискретизации во времени приводит к тому, что оценивание непрерывной функции заменяется оцениванием конечного множества параметров.
Выражения в развернутом виде представляются следующим образом:
или в матричной форме:,
где – вектор-столбец идентифицируемых параметров,иU– вектор-столбцы и матрица соответствующих выборочных значений.
Таким образом, оценивание ИПФ сводится к оцениванию вектора параметров при заданной матрицеUи векторе измеренийу. Результатом оценивания является нахождение вектора, минимизирующего сумму квадратов невязок на интервале измерения
Оценка по МНК находится из условия экстремума функционала
Система уравнений в матричной форме имеет вид:
и ее решение относительно вектора параметров находится следующим образом:
Соответственно, выражение явной формы метода наименьших квадратов для оценивания конечного множества параметров импульсной переходной характеристики принимает следующий вид:
Перепишем уравнение относительно сумм выборочных значений сигналов:
.
Методический пример
Выполнение работы:
Идентифицируем объект с помощью случайной последовательности 1 и -1, то есть подадим на вход генератор случайных чисел, ограниченный значениями 1 и -1.
Открываем Matlab Simulinkнажатием на значокна панели инструментов и строим там следующую модель:
Рис. Имитационное моделирование системы.
Для этого выбираем File/NewModelи перетаскиваем на свободное пространство необходимые блоки из Simulink Library Browser. Теперь все элементы соединяем стрелочками. Потом жмем на значок треугольника в панели инструментов наверху.
Подробнее рассмотрим построение данной модели в математическом пакете Matlab.
В качестве исследуемого объекта возьмем апериодическое звено 1-го порядка, с заранее известными параметрами:
Т=6,5[c],k=12,4.
В блоке Transfer Function мы задаем эти параметры, нажав на самом блоке 2 раза левой кнопкой мышки.
В параметр Numerator coefficientsмы записываем значение, которое пишется в числитель, т.е.12,4.
В Denominator coefficients мы записываем коэффициенты знаменателя.
Блок Random Number – источник дискретного сигнала, значения которого являются случайной величиной, распределенной по нормальному (гауссовому) закону:
Установим в диалоговом окне Simulation/Parametersфиксированный тип шага и модель третьего порядка в качестве метода.
Возьмем нужное число первых значений переменной u и сформируем квадратную матрицу
Полученные результаты
Рисунок – Сравнение результатов идентификации