1.2.2. Сложение и умножение вероятностей.
Формулы сложения вероятностей:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
Для случая нескольких несовместных событий формула сложения имеет вид
Если события образуют полную группу, то
Отсюда
следует формула вероятности для
противоположного события 
.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.
Формула для вероятности суммы трех совместных событий имеет вид
Формулы умножения вероятностей:
Пусть
даны два события 
и 
.
Рассмотрим событие 
,
состоящее в том, что событие 
появилось после появления события 
.
Если 
,
то событие 
называется независимым от события 
.
В противном случае – 
событие 
называется зависимым от события 
.
Величина 
называется условной вероятностью
события 
при появлении события 
.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события.
Формула умножения вероятностей для трех событий имеет вид
Формула умножения вероятностей для четырех событий имеет вид
Для двух независимых событий имеет место формула
Для нескольких независимых событий имеет место аналогичная формула
Задачи:
В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.
Прибор, работающий в течение некоторого времени, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение этого времени отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За это время надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна 0,8; второго 0,9; третьего 0,7. Найти надежность прибора в целом.
Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 0,4; 0,5; 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина (хотя бы одна пробоина).
Из одиннадцати карточек составлено слово СЛЕДОВАТЕЛЬ. Из них выбирают поочередно четыре карточки и приставляют одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово ДЕЛО?
Указания:
Пусть события Д состоит в том, что первая выбранная буква есть Д, событие Е – вторая буква есть Е, событие Л – третья буква есть Л, событие О – четвертая буква есть О. Нужно найти вероятность произведения этих событий по формуле Р(ДЕЛО)=Р(Д) Р(Е/Д) Р(Л/ДЕ) Р(О/ДЕЛ)
Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр.
Указания:
Для
нахождения вероятности интересующего
нас события 
(выпадет больше гербов, чем цифр) можно
было бы перечислить все возможные его
варианты, например, выпадет шесть гербов
и ни одной цифры, выпадет пять гербов
и одна цифра и т. д. Однако
проще будет применить другой прием.
Перечислим все возможные исходы опыта:
– выпадет больше гербов, чем цифр, 
– выпадет больше цифр, чем гербов, 
– выпадет одинаковое число цифр и
гербов. События 
несовместны и образуют полную группу.
Следовательно, 
.
Так как задача симметрична относительно
«герба» и «цифры», то 
,
откуда следует
Далее следует найти вероятность события С, состоящего в том, что при шести бросаниях монеты появится ровно три герба (а значит, ровно три цифры).