
К У Р С О В А / ! / dotuchnih
.docМетод дотичних
Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].
Нехай xk – k-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки xk
f(x)
= f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
+
f´´(xk)(x-xk)2
+ …
Замість
рівняння f(x)
= 0 розглядатимемо рівняння f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
= 0, яке враховує тільки лінійну відносно
x
- xk
частину ряду Тейлора. Розв’язавши
його відносно x,
дістанемо
.
Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо
xk+1
= xk
-
,
k
= 0, 1, 2, … . (1)
Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення xk+1 є абсцисою точки перетину дотичної
y–f(xk) = f´( xk)(x - xk) до кривої y = f(x) в точці (xk, f(xk)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x* монотонно.
Мал.
1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x)
> 0, f´(x)
> 0; б) f´´(x)
> 0, f´(x)
< 0; в) f´´(x)
< 0, f´(x)
> 0; г) f´´(x)
< 0, f´(x)
< 0.
За
початкове наближення у методі Ньютона
слід брати точку x0
[a;b],
в якій f(x0)f´(x0)
> 0.
Метод
Ньютона є методом послідовних наближень
xk+1
= φ(xk),
де функція
.
(2)
Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.
Теорема.
Нехай на відрізку [a;b]
функція f(x)
має неперервні із сталими знаками
похідні f´(x)
≠ 0, f´´(x)
≠ 0 і f(a)f(b)
< 0. Тоді існує такий окіл R
[a;b]
кореня x*
рівняння
f(x)
= 0, що для будь-якого x0
R
послідовність {xk},
обчислена за формулою (1), збігається до
кореня x*
.
Доведення.
Для
доведення збіжності послідовності {xk}
до кореня x*
досить
показати, що похідна φ´(x)
функції (2) задовольняє умови 0 < |
φ´(x)|
≤ q
< 1 для будь-якого x
R,
і взяти х0
з околу R
кореня x*
.
Для похідної φ´(x) маємо вираз
φ´(x)
=
.
Оскільки f´´(x) неперервна і відмінна від нуля на [a;b], то існують такі додатні m1 і M2, що
|f´(x)|
m1,
|f´´(x)|
≤ M2
для будь-яких x
[a;b].
Тоді
| φ´(x)|
≤
.
З неперервності функції f(x) випливає, що існує окіл R кореня x* , в якому функція f(x) задовольняє нерівність
,
0
< q < 1.
Внаслідок
чого | φ´(x)|
≤ q
< 1 для
всіх x
R.
Таким
чином, послідовність {xk},
обчислена за формулою (1), збігається до
кореня x*
,
якщо початкове наближення
x0
R.
Теорему доведено.
Оцінимо
швидкість збіжності методу Ньютона.
Для цього запишемо функцію f(x)
в околі точки xk
R
за формулою Тейлора із залишковим членом
у формі Лагранжа
f(x)
= f(xk)
+ f´(xk)(x
- xk)
+
f´´(η)(x
- xk)2,
де η лежить між точками х і xk . Поклавши в ній х = х* і врахувавши, що
f(x*)= 0, дістанемо:
.
Звідси і з (1)маємо
.
Поклавши
M2
=,
m1
=
,
(3)
знаходимо
.
(4)
З оцінки (4) випливає, що метод Ньютона збігатиметься до кореня x*, якщо початкове наближення х0 таке, що
,
причому в цьому випадку збіжність є квадратичною. Це означає, що похибка кожного наступного наближення пропорційна квадрату похибки попереднього наближення.
Зокрема,
якщо
і
,
то з (4) маємо:
.
Отже, коли наближення хk має m правильних десяткових знаків, то наступне наближення xk+1 матиме щонайменше 2m правильних десяткових знаків.
Для
оцінки k-го
наближення методу Ньютона можна
скористатися формулою (3), в якій m1
=.
Тоді ітераційний процес можна закінчити,
якщо стане правильною нерівність
,
де
-
наперед задана точність наближення xk
.
Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка
,
де m1 і M2 визначаються за формулами (3).
З цієї
оцінки видно, що для досягнення заданої
точності
ітераційний процес треба продовжувати
доти, поки для двох послідовних наближень
xk,
xk-1
не
виконуватиметься нерівність
.
Якщо
на відрізку [a;b]
справедлива нерівність M2
< 2m1,
то ітераційний процес можна закінчити,
коли виконується умова
.
З формули (2) видно, що чим більше значення |f´(x)| в околі кореня, тим менша поправка додається до попереднього наближення. Тому метод Ньютона зручно застосовувати тоді, коли в околі кореня графік функції y = f(x) має значну крутість. Крім того, методом Ньютона можна знаходити не тільки дійсні корені рівнянь, а й комплексні. Метод Ньютона поширюється і на розв’язування систем нелінійних рівнянь з багатьма невідомими.
Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції f(x), а й значення її похідної f´(x). Обчислення похідної f´(x) може бути значно складнішим від обчислення f(x). У таких випадках похідну f´(xk) замінюють її наближеним значенням
.
Якщо похідна f´(x) мало змінюється на [a;b], то кількість обчислень у методі Ньютона можна зменшити, коли значення похідних f´(xk) у точках xk , k= 1, 2, …замінити значенням f´(x0) у точці x0. Тоді формула (1) набере вигляду
,
k
= 0, 1, 2, … (5)
В результаті дістали спрощений метод Ньютона. Геометрично він означає, що дотичні в точках (xk,f(xk)) замінюються прямими, паралельними дотичній, проведеній до кривої y = f(x) у точці (x0,f(x0)).
Приклад. Методом дотичних знайти корінь рівняння
x3 + 1,76439x2 + 2,21584x – 3,31344 = 0
з точністю до 0, 00005 на проміжку [0;1].
З виразів для f´(x) і f´´(x)
f´(x) = 3x2 + 3,52878x + 2,21584;
f´´(x) = 6x + 3,52878
знаходимо,
що f´´(x)
> 0
і f´(x)
> 0
при довільних x
[0;1],
.
Обчислення подані в таблиці:
k |
xk |
f(xk) |
f´(xk) |
|
0 1 2 3 4 |
1,00 0,81 0,790 0,78560 0,78544 |
1,67 0,17 0,03 0,0011 0,00000 |
8,74 7,04 6,88 6,8396 |
0,75 0,08 0,01 0,0005 0,00000 |
З таблиці знаходимо, що x* = 0,78544 з точністю до 0,00005.
ЗАВДАННЯ
1) Відокремити корені рівняння графічно й уточнити один з них методом дотичних з точністю до 0,001.
2) Відокремити корені рівняння аналітично й уточнити один з них з точністю до 0,001 методом дотичних.
№1.
1)
2)
№2.
1)
2)
№3.
1)
2)
№4.
1)
2)
№5.
1)
2)
№6.
1)
2)
№7. 1)
2)
№8. 1)
2)
№9.
1)
2)
№10.
1)
2)
№11.
1)
2)
№12.
1)
2)
№13.
1)
2)
№14.
1)
2)
№15.
1)
2)
№16.
1)
2)
№17.
1)
2)
№18.
1)
2)
№19.
1)
2)
№20.
1)
2)
№21.
1)
2)
№22.
1)
2)
№23.
1)
2)
№24.
1)
2)
№25.
1)
2)
№26.
1)
2)
№27.
1)
2)
№28.
1)
2)
№29.
1)
2)
№30.
1)
2)
№31.
1)
2)
№32.
1)
2)
№33.
1)
2)
№34.
1)
2)
№35.
1)
2)
№36.
1)
2)