К У Р С О В А / Š “  ‘ Ž ‚ € ! / dotuchnih

Метод дотичних

Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x^*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].

Нехай x_k – k-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки x_k

f(x) = f(x_k) + f´(x_k)(x-x_k) + f´´(x_k)(x-x_k)² + …

Замість рівняння f(x) = 0 розглядатимемо рівняння f(x_k) + f´(x_k)(x-x_k) = 0, яке враховує тільки лінійну відносно x - x_k частину ряду Тейлора. Розв’язавши його відносно x, дістанемо .

Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо

x_k+1 = x_k - , k = 0, 1, 2, … . (1)

Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення x_k+1 є абсцисою точки перетину дотичної

y–f(x_k) = f´( x_k)(x - x_k) до кривої y = f(x) в точці (x_k, f(x_k)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x^* монотонно.

Мал. 1 ілюструє такі випадки: а) f´´(x) > 0, f´(x) > 0; б) f´´(x) > 0, f´(x) < 0; в) f´´(x) < 0, f´(x) > 0; г) f´´(x) < 0, f´(x) < 0.

За початкове наближення у методі Ньютона слід брати точку x₀ [a;b], в якій f(x₀)f´(x₀) > 0.

Метод Ньютона є методом послідовних наближень x_k+1 = φ(x_k), де функція . (2)

Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.

Теорема. Нехай на відрізку [a;b] функція f(x) має неперервні із сталими знаками похідні f´(x) ≠ 0, f´´(x) ≠ 0 і f(a)f(b) < 0. Тоді існує такий окіл R [a;b] кореня x^* рівняння f(x) = 0, що для будь-якого x₀ R послідовність {x_k}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня x^* .

Доведення. Для доведення збіжності послідовності {x_k} до кореня x^* досить показати, що похідна φ´(x) функції (2) задовольняє умови 0 < | φ´(x)| ≤ q < 1 для будь-якого x R, і взяти х₀ з околу R кореня x^* .

Для похідної φ´(x) маємо вираз

φ´(x) = .

Оскільки f´´(x) неперервна і відмінна від нуля на [a;b], то існують такі додатні m₁ і M₂, що

|f´(x)| m₁, |f´´(x)| ≤ M₂ для будь-яких x [a;b].

Тоді | φ´(x)| ≤ .

З неперервності функції f(x) випливає, що існує окіл R кореня x^* , в якому функція f(x) задовольняє нерівність

, 0 < q < 1.

Внаслідок чого | φ´(x)| ≤ q < 1 для всіх x R.

Таким чином, послідовність {x_k}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня x^* , якщо початкове наближення x₀ R.

Теорему доведено.

Оцінимо швидкість збіжності методу Ньютона. Для цього запишемо функцію f(x) в околі точки x_k R за формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа

f(x) = f(x_k) + f´(x_k)(x - x_k) + f´´(η)(x - x_k)²,

де η лежить між точками х і x_k . Поклавши в ній х = х^* і врахувавши, що

f(x^*)= 0, дістанемо:

.

Звідси і з (1)маємо

.

Поклавши

M₂ =, m₁ =, (3)

знаходимо . (4)

З оцінки (4) випливає, що метод Ньютона збігатиметься до кореня x^*, якщо початкове наближення х₀ таке, що

,

причому в цьому випадку збіжність є квадратичною. Це означає, що похибка кожного наступного наближення пропорційна квадрату похибки попереднього наближення.

Зокрема, якщо і , то з (4) маємо: .

Отже, коли наближення х_k має m правильних десяткових знаків, то наступне наближення x_k+1 матиме щонайменше 2m правильних десяткових знаків.

Для оцінки k-го наближення методу Ньютона можна скористатися формулою (3), в якій m₁ =. Тоді ітераційний процес можна закінчити, якщо стане правильною нерівність , де - наперед задана точність наближення x_k .

Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка

,

де m₁ і M₂ визначаються за формулами (3).

З цієї оцінки видно, що для досягнення заданої точності ітераційний процес треба продовжувати доти, поки для двох послідовних наближень x_k, x_k-1 не виконуватиметься нерівність

.

Якщо на відрізку [a;b] справедлива нерівність M₂ < 2m₁, то ітераційний процес можна закінчити, коли виконується умова .

З формули (2) видно, що чим більше значення |f´(x)| в околі кореня, тим менша поправка додається до попереднього наближення. Тому метод Ньютона зручно застосовувати тоді, коли в околі кореня графік функції y = f(x) має значну крутість. Крім того, методом Ньютона можна знаходити не тільки дійсні корені рівнянь, а й комплексні. Метод Ньютона поширюється і на розв’язування систем нелінійних рівнянь з багатьма невідомими.

Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції f(x), а й значення її похідної f´(x). Обчислення похідної f´(x) може бути значно складнішим від обчислення f(x). У таких випадках похідну f´(x_k) замінюють її наближеним значенням

.

Якщо похідна f´(x) мало змінюється на [a;b], то кількість обчислень у методі Ньютона можна зменшити, коли значення похідних f´(x_k) у точках x_k , k= 1, 2, …замінити значенням f´(x₀) у точці x₀. Тоді формула (1) набере вигляду

, k = 0, 1, 2, … (5)

В результаті дістали спрощений метод Ньютона. Геометрично він означає, що дотичні в точках (x_k,f(x_k)) замінюються прямими, паралельними дотичній, проведеній до кривої y = f(x) у точці (x₀,f(x₀)).

Приклад. Методом дотичних знайти корінь рівняння

x³ + 1,76439x² + 2,21584x – 3,31344 = 0

з точністю до 0, 00005 на проміжку [0;1].

З виразів для f´(x) і f´´(x)

f´(x) = 3x² + 3,52878x + 2,21584;

f´´(x) = 6x + 3,52878

знаходимо, що f´´(x) > 0 і f´(x) > 0 при довільних x [0;1], .

Обчислення подані в таблиці:

k	xk	f(xk)	f´(xk)
0 1 2 3 4	1,00 0,81 0,790 0,78560 0,78544	1,67 0,17 0,03 0,0011 0,00000	8,74 7,04 6,88 6,8396	0,75 0,08 0,01 0,0005 0,00000

З таблиці знаходимо, що x^* = 0,78544 з точністю до 0,00005.

ЗАВДАННЯ

1) Відокремити корені рівняння графічно й уточнити один з них методом дотичних з точністю до 0,001.

2) Відокремити корені рівняння аналітично й уточнити один з них з точністю до 0,001 методом дотичних.

№1. 1) 2)

№2. 1) 2)

№3. 1) 2)

№4. 1) 2)

№5. 1) 2)

№6. 1) 2)

№7. 1) 2)

№8. 1) 2)

№9. 1) 2)

№10. 1) 2)

№11. 1) 2)

№12. 1) 2)

№13. 1) 2)

№14. 1) 2)

№15. 1) 2)

№16. 1) 2)

№17. 1) 2)

№18. 1) 2)

№19. 1) 2)

№20. 1) 2)

№21. 1) 2)

№22. 1) 2)

№23. 1) 2)

№24. 1) 2)

№25. 1) 2)

№26. 1) 2)

№27. 1) 2)

№28. 1) 2)

№29. 1) 2)

№30. 1) 2)

№31. 1) 2)

№32. 1) 2)

№33. 1) 2)

№34. 1) 2)

№35. 1) 2)

№36. 1) 2)