Тема 2. Електричні коливання

Фізичні явища

• Гармонічні коливання – це коливання які відбуваються за гар­мо­нічним зако­ном (законом синуса або косинуса).

• Власні коливання – це коливання які відбуваються з власною час­тотою.

• Згасальні коливання – це коливання амплітуда яких змен­шу­є­ться з часом.

• Релаксаційні коливання – це коливання за яких протягом пе­рі­оду коливань розсіюється вся енергія системи, тобто за один період вони б цілком згасли якби не підтримувалися зовні.

Фізичні поняття

• Гармонічний осцилятор – система, яка здійснює гармонічні коли­ван­ня.

• Логаритмічний декремент згасання – це логаритм відно­шен­ня двох пос­лі­довних амплітуд згасальних коливань (позначення )

де Т – період коливань.

• Добротність коливального контура – це величина обернена до ло­га­рит­міч­ного декремента згасання і збільшена в разів (поз­начення Q)

.

• Ідеальний коливальний контур – це коливальний контур опір яко­го дорівнює нулеві.

Фізичні системи й прилади

• Коливальний контур – це коло складене з конденсатора та солено­їда.

Задачі

(246) На основі другого правила Кірхгофа встановимо закон коли­ван­ня за­ря­ду в ідеальному коливальному контурі.

Згідно з другим правилом Кірхгофа сума напруг (а це напруга на конденсаторі) має дорів­ню­вати сумі електрорушійних сил (а це електро­ру­шій­на сила самоіндукції) (мал. 163).

Згідно з означенням ємності підставимо

,

де q – заряд в конденсаторі, С – його ємність, а згідно з означенням сили струму

Дістанемо

або

Позначивши

отримаємо диференціяльне рівняння гармонічних коливань (в мате­матиці: лінійне однорідне диференціяльне рівняння другого порядку) розв’язок якого

За цим законом і коливається заряд у конденсаторі. Очевидно, що циклічна частота цих коливань є

(247) Встановимо закон зміни сили струму в ідеальному коли­валь­но­му кон­турі.

Продиференціювавши закон коливань заряду в ідеальному коли­ва­льному контурі отриманий в попередній задачі дістанемо закон коливань сили струму

Очевидно, що величина має розмірність сили струму (боє величина безрозмірна) і крім того є максимальним його зна­ченням (тоді коли ). Позначивши їїдістанемо закон коливань струму

(248) Покажемо, що сила струму в ідеальному коливальному контурі і напруга на конденсаторі цього коливального кон­тура зсунуті за фазою на

Для того щоб отримати закон коливань напруги на кон­ден­са­то­рі поділимо закон коливань заряду (задача 246) на його ємність

Позначивши згідно з означенням ємності , маємо

З цього рівняння та рівняння для сили струму (задача 247) бачимо, що напруга коливається за законом синуса, а сила струму за законом ко­синуса, тобто вони є зсунутими за фазою на Це оз­на­чає, що коли нап­руга на конденсаторі максимальна, то сила струму в колі дорівнює нулю і навпаки, коли напруга дорівнює нулю, сила струму максимальна. За­ува­жи­мо, що функція косинус також є розв’язком диференціального рівняння гармонічних коливань, тому коливання заряду і напруги можуть так само описуватися функцією косинус. Тоді сила струму буде виражена через функцію синус і зсув фаз між ними залишиться тим самим.

(249) Покажемо, що сума енергій електричного і магнетного полів ідеального коливального контура є сталою в часі вели­чи­ною.

Знайдемо вираз для енергії електричного поля

та вираз енергії магнетного поля

де за ми підставили закон зміни сили струму в ідеальному коли­ва­ль­но­му контурі (задача 247), а за підставили(задача 246).

Тепер знаходимо суму енергій електричного та магнетного по­лів

Бачимо, що ця сума є сталою і визначається зарядом та ємністю конденсатора.

(250) На основі другого правила Кірхгофа встановимо закон коли­ван­ня за­ря­ду в реальному коливальному контурі.

На відміну від ідеального коливального контура в цьому контурі є опір, тому крім напруги на конденсаторі є ще напруга на цьому опорі (мал. 164).

Згідно з другим правилом Кірхгофа

або

Підставивши дістанемо диференціяльне рівняння зга­са­ль­них коливань

Позначивши

де – коефіцієнт згасання і

отримаємо його у вигляді

Зауважимо, що це рівняння є подібним до диференціяльного рів­нян­ня механічних згасальних коливань з тією різницею, що замість заряду там є координатах.

Розв’язок цього лінійного однорідного диференціяльного рівнян­ня другого порядку

Бачимо, що амплітуда коливань дійсно зменшується з ча­сом. З цього розв’язку також бачимо, що величина ві­ді­грає роль частоти коливань, тому позначимо їїі назвемоциклічною час­то­тою згасальних коливань. Отже,

З цього рівняння бачимо, що за умови або що одне і теж, тобто за малого коефіцієнта згасання

тобто коливання відбуваються з такою частотою яка би була якби не було опору (в ідеальному коливальному контурі), а саме з власною частотою.

За умови під коренем буде від’ємне число і рівняння дій­сного розв’язку не має, це означає, що немає і коливань – кон­ден­са­тор розрядиться без жодного коливання заряду. Це нагадує нам ме­ха­нічну систему з великим коефіцієнтом згасання коли система повер­тається в стан рівноваги не зробивши жодного коливання (як приклад демпферний механізм амортизатора автомобіля).

(251) На основі означення логаритмічного декремента та закону зга­са­льних коливань встановіть зв'язок логаритмічного дек­ремента та добротності з параметрами коливального кон­тура.

Згідно з означенням логаритмічний декремент згасання

.

Підставивши замість тазакон згасальних коливань (за­дача 250) дістанемо

і добротність

З останніх двох рівнянь бачимо, що більший коефіцієнт зга­сан­ня , то більший логаритмічний декремент згасання і менша доб­рот­ність коливального контура. В свою чергу коефіцієнт згасання буде більший, що більший опір коливального контура

(252) На основі другого правила Кірхгофа встановіть закон ви­му­шених ко­ливань в коливальному контурі під дією гар­мо­нічної ЕРС.

В цьому колі є дві напруги, а саме напруга на опорі та на кон­денсаторіта дві ЕРС, а саме самоіндукціїта ЕРС джерелатому друге правило Кірхгофа матиме вигляд

Зведемо це рівняння до вигляду

і позначимо як і до того

, .

Маємо лінійне неоднорідне диференціяльне рівняння другого по­ря­д­ку, розв’язком якого є

де

(253) На основі закону вимушених коливань заряду в ко­ли­ва­ль­ному контурі встановіть зв'язок резонансної частоти з пара­мет­рами коливального контура.

З виразу для амплітуди вимушених коливань (з виразу для з по­передньої задачі) видно, що в контурі будуть відбуватися гар­мо­ні­чні ко­ливання заряду з частотою змушуючої ЕРС, причому ам­плі­туда цих коливаньзалежить від цієї частоти (на мал. 165 пока­за­ний схе­матичний графік цієї залежності).

Знайдемо частоту за якої амплітудамає максимум – так зва­ну резонансну частоту. Для цього продиференціюємо підкореневий вираз у знаменнику виразу для, а са­ме виразза частотою і прирівняємо його до нуля. Діста­немо

звідки

.

Позначивши цю резонансну частоту через і підставивши ви­рази длята:,дістанемо зв'язок резонансної частоти з параметрами коливального контура

З цієї формули видно, що за малого коефіцієнта згасання резонансна частота є близькою до власної частоти коливань контура. Нагадаємо, що за цієї ж умови частота згасальних коливань є близькою до власної частоти (задача 251).

(254) Намалюємо схему та пояснимо роботу лампового (тран­зис­тор­ного) генера­то­ра електричних коливань.

Вимушені електричні коливання отри­мують за допомогою ге­не­ратора основними елементами якого є: коливальний контур та тріод або тран­зистор.

Спрощену схему лампового гене­ра­тора показано на мал. 166. Коли ми увім­к­немо джерело постійної ЕРС то в коли­ва­льному контурі виникнуть коливання. Такі самі ко­ливання напруги виникнуть між катодом і сіткою (вони приєднані до обкладок конден­са­то­ра). В ті проміжки часу коли на сітці по­тенціял буде бі­ль­шим ніж на катоді, елек­трони з катода легко рухатимуться проти елек­трич­ного поля і досяга­тимуть анода, тобто в колі анода йтиме струм. Цей час триватиме половину періоду ко­ливань напруги в коли­валь­ному контурі. Другу половину періоду на сітці буде менший потенціял щодо катода і струм через тріод не прохо­ди­тиме. Таким чином, в колі анода ви­никне сину­соїдний змін­ний струм, який ство­рить в соле­ноїді анодного кола змін­ний маг­нетний потік, котрий, своєю чер­гою, спричинить в соленоїді коли­вального контура змінний струм цієї ж частоти і таким чином під­три­му­ва­тиме коливання в коливальному контурі.

В напівпровідникових генераторах замість вакуумного тріода ви­ко­ристовується напівпровідниковий тріод, інакше кажучи транзистор. Схема такого генератора з транзистором п-р-п – типу показана на мал. 167. Коли потенціял бази є нижчим за потенціял емітера, то струм через транзистор проходить і заряджає конденсатор коливального контура С поповнюючи енергією коливальний контур. Другу половину періоду струм через тран­зистор не проходить, а конденсатор коливального контура роз­ряджається. Коливання в коливальному контурі індуктивно передаються на базу.

(255) Намалюємо схему та пояснимо роботу релаксаційного ге­не­ра­то­ра елек­трич­них коливань.

На мал. 168 показана схема такого ге­не­ратора. В цьому генераторі немає коли­ва­льного контура. Якщо ввімкнути джерело по­стійної ЕРС то конденсатор по­чинає за­ря­д­жа­тись. Проте за певної нап­ру­ги в неоновій лампі яка ввімкнена пара­ле­льно до конденсатора від­бу­деться газовий розряд, то­бто лампа запалиться. При цьо­му її опір різко змен­шиться і конденсатор почне розряд­жа­ти­ся через лампу. Роз­ря­д­жан­ня конденсатора спри­чинить змен­шення напруги на його обклад­ках і, відповідно, на лампі, що спричинить до по­гасання лампи за напруги і різкого зростання її опору. Далі, оче­вид­но, що конденсатор поч­не знову заряд­жа­тися і все пов­тори­ться. Ці коливання не бу­дуть гармоніч­ни­ми, а матимуть пилкоподібну форму (мал. 169). На цьому графіку штри­хо­ваною лінією показано хід нап­руги за відсутності лам­пи. Бачимо, що напруга на конденсаторі в цьо­му випадку зростає до тих пір, поки не досягне величини ЕРС джерела