kont_rus
.pdf
откуда выразим объем баллона: |
|
|
|
|
|
|
|
V = ( |
m1 |
+ |
m 2 |
) |
RT |
. |
(27) |
μ 1 |
μ 2 |
|
|||||
|
|
|
p |
|
|||
Выразим в единицах СИ числовое значение величин, входящих в эту формулу:
m1 = 80 г = 0,08 кг, |
µ 1 = 32·10-3 кг/моль, m2=320 г = 0,32 кг, |
||||||||||
µ 2 = 40·10-3 кг/моль, p = 1Мпа = 106 Па, |
R = 8,31 Дж/(моль·К). |
||||||||||
Подставим числовое значение в формулу (27) и произведем |
|||||||||||
вычисление: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.08 |
|
|
0.32 |
|
8.31×300 |
|
3 |
|
3 |
|
|
V = ( |
|
+ |
|
) × |
|
м |
|
= 0,0262м |
|
= 26,2 л. |
|
32 ×10−3 |
40 ×10−3 |
106 |
|
|
|||||||
Ответ: V = 26,2 л.
Пример 2.4. Определите среднюю кинетическую энергию <ε1>,
приходящуюся на одну степень свободы молекулы кислорода, среднюю кинетическую энергию поступательного движения <εп> молекулы,
среднюю кинетическую энергию вращательного движения <εВР>
молекулы, среднее значение полной кинетической энергии <ε> молекулы,
а также среднею кинетическую энергию вращательного движения <Eвр>
всех молекул газа. Газ считать идеальным, температура газа T=500 К,
масса газа m=10 г.
Решение. Средняя кинетическая энергия поступательного движения,
приходящаяся на одну степень свободы молекулы:
ε |
|
= |
1 |
kT , |
1 |
|
|||
|
2 |
|
||
|
|
|
||
гдеk = 1,38 ×10 −23 Дж/К – постоянная Больцмана.
51
Средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движения молекулы, соответственно, определяются по формулам:
|
ε n = |
|
i |
n |
kT |
|
ε |
|
|
= |
iвр |
kT , |
|
|
|
и |
|
|
|||||||
|
2 |
вр |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где i n – |
сумма числа поступательных (in |
|
= 3); |
|
||||||||
iвр – |
сумма числа |
вращательных |
|
(iвр = 2) степеней свободы |
||||||||
молекулы.
Среднее значение полной кинетической энергии молекулы
ε = |
i |
kT |
, |
|
|||
2 |
|
|
|
где i = in + iвр = 5(для двухатомного газа – кислорода).
Средняя кинетическая энергия вращательного движения всех
молекул газа:
E вр = ε вр |
N = |
i |
вр |
|
|
mN |
A |
= |
|
iвр |
|
|
m |
|
|||
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
RT |
|
||||||
|
2 |
|
M |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||||
(учли, что число молекул |
N = |
mN A |
, где |
NA |
|
– |
постоянная Авогадро, |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = kNA ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ε1 = 3,45 ×10−21 Дж; |
|
ε n |
= 10,3 ×10 −21 Дж; |
|
|||||||||||||
ε âð = 6,9 ×10 − 21 Дж; |
ε = 17,2 ×10−21 Дж; |
E âð |
|
|
= 1,3 кДж. |
|
|||||||||||
Пример 2.5. Определите удельные теплоёмкости c V и |
c p смеси |
||||||||||||||||
газов, содержащей гелий массой m2 = 1 г и водород массой m 2 |
= 2 г. |
||||||||||||||||
Решение. Теплота, необходимая для нагревания смеси газов на ∆T
при постоянном объеме, равна:
52
Q = cV (m1 |
+ m2 ) T = (cV m1 + cV |
m2 ) T , |
(28) |
|
1 |
2 |
|
где c V – удельная теплоёмкость смеси;
m1 – масса гелия;
m 2 – масса водорода;
c V 1 и |
c V 2 |
– соответственно, |
удельные |
теплоёмкости |
гелия и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
водорода, выражаемые формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
cV |
= |
|
i1 |
|
R |
|
= |
|
3 |
|
R |
|
, |
|
|
cV |
= |
|
|
i2 |
|
|
R |
|
|
= |
5 |
|
|
|
R |
, |
|
(29) |
|||||||||||||||||
|
2 M 1 |
|
2 M |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 M |
|
|
|
|
|
2 M 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R – |
молярная газовая постоянная; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
i1 – число степеней свободы для гелия (i1=3 – |
|
одноатомный газ) и i2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– для водорода (i2=5 – |
двухатомный газ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Искомая удельная теплоемкость смеси газов при постоянном объеме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
( |
3m1 |
+ |
5m 2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m1 |
+ m 2 ) M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Теплота, необходимая для нагревания смеси газа на ∆Т при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянном давлении, определяется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q = c P ( m 1 |
+ m 2 ) ∆Т = (cP m1 + c p |
2 |
m2 ) ∆Т, |
(30) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где сp – |
удельная теплота смеси; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
c p и |
cp |
2 |
– |
|
|
|
|
соответственно, |
|
удельные |
|
теплоемкости |
гелия и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
водорода, выражаемые формулами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
cp |
= |
i1 + 2 R |
|
= |
5 R |
|
|
|
= |
|
i |
2 |
+ 2 |
|
|
R |
|
|
= |
|
7 R |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(31) |
|||||||||||||||
|
|
|
2 M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 M1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 M 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим выражение (31) в формулу (30), получаем искомую удельную теплоемкость при постоянном давлении:
c p |
= |
|
R |
( |
5 m 1 |
+ |
7 m 2 |
). |
2 ( m 1 |
|
|
|
|||||
|
|
+ m 2 ) M 1 M 2 |
||||||
Ответ: сv=7,96 кДж/(кг·К); сp=11,4 кДж/(кг·К).
Пример 2.6. Вычислите удельные теплоемкости при постоянном объеме сv и при постоянном давлении сp неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.
Решение. Удельные теплоемкости газов выражаются формулами:
cV |
= |
|
i |
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
, |
|
(32) |
||
2 |
μ |
|
||||||||
c p |
= |
i + 2 |
|
R |
, |
(33) |
||||
|
μ |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
где i – число степеней свободы молекулы газа;
µ – молярная масса.
Для неона (одноатомный газ) i=3 и µ =20·10-3 кг/моль (см.
справочную таблицу 15).
Производя вычисления по формулам (32) и (33), получим:
cv |
= |
3 |
× |
8.31 |
Дж /(кг × К ) = 6,24 ×102 Дж /(кг × К ); |
||||
|
|
20 ×10−3 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|||||
cP |
= |
3 + 2 |
× |
8.31 |
дж/(кг× К) = 1,04 ×103 Дж/(кг× К). |
||||
|
20 ×10−3 |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Для водорода (двухатомный газ) i=5 и µ =2·10-3 кг/моль. Вычисляя по тем же формулам (32) и (33), получим:
54
cV |
= |
|
5 |
× |
8.31 |
Дж /(кг × К) = 1,04 ×104 Дж /(кг × К) , |
|||
|
2 ×10−3 |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||
сp |
= |
5 + 2 |
× |
8.31 |
Дж/(кг× К) =1,46 ×104 Дж/(кг× К) . |
||||
|
2 ×10−3 |
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Ответ: cv = 0,624 кДж/кг·К;cp = 1,04 кДж/кг·К; cv = 10,4 кДж/кг·К; cp = 14,6 кДж/кг·К.
Пример 2.7. При изохорном нагревании (рис.1) азота объемом 10 л
давление газа изменилась ∆p = 0,1 МПа. Определите количество теплоты
Q, сообщенное газу.
Решение. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, сообщенное газу, расходуется на изменение внутренней энергии газа (∆U) и совершение газом работы (A) против внешней силы:
p
2
1
0
V
Рисунок 1
Q=∆U+A.
Работа газа в изохорном процессе (V=const):
A=p∆V=0,
поэтому для изохронного процесса:
Q = U . |
(34) |
Изменение внутренней энергии произвольной массы m газа
определяется по формуле
U = |
m |
|
i |
R T |
, |
(35) |
|
|
|||||
|
M 2 |
|
|
|||
где i – число степеней свободы (для двухатомного газа – |
азота i=5); |
|||||
R – молярная газовая постоянная. |
|
|
||||
55 |
|
|
|
|||
Запишем уравнение Менделеева– Клапейрона для состояний газа 1
и 2:
p V = |
m |
RT |
1 , |
||
|
|
||||
1 |
|
M |
|||
|
|
|
|||
p 2V = |
|
m |
RT |
2 , |
|
|
|
||||
|
|
M |
|
||
откуда
V∆p= m R∆T(∆T=T2-T1, ∆p=p2-p1).
M
Тогда
T = |
MV p |
. |
(36) |
|
|||
|
mR |
|
|
Подставим выражение (35) в формулу (34) с учетом выражения (36),
найдем искомое количество теплоты, сообщенное газу:
Q = i V D p = 5 × 0 , 01 × 0 ,1 × 10 6 = 2 ,5 × 10 3 Дж 2 2
Ответ: Q=2,5 кДж.
Пример 2.8. Азот массой m=56 г, находящийся при нормальных условиях, расширяется адиабатно, причем объем газа увеличивается в два раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии ∆U газа; 2) работу
расширения А газа.
Решение. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из
состояния 1 в состояние 2: |
|
||
DU = |
m |
CV (T2 -T1), |
(37) |
|
|||
|
M |
|
|
56
где CV |
= |
i |
R |
– |
молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
M – |
молярная масса газа; |
|||||
T2 |
и |
T1 – |
|
соответственно, температуры, соответствующие |
||
начальному (1) и конечному (2) состоянию газа;
i – число степеней свободы (для двухатомного газа (азота) i=5).
Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона):
T1V 1 |
γ − 1 |
= T 2V 2 |
γ − 1 , |
(38) |
||||||
где показатель адиабаты γ |
= |
C P |
|
= |
|
i + 2 |
= 1,4 . |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
C V |
|
|
|
i |
|
|
|
Из уравнения (38) найдем температуру Т2: |
|
|||||||||
T = T ( |
V1 |
)γ −1. |
|
(39) |
||||||
|
|
|||||||||
2 |
|
1 |
V |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Подставим выражение (39) в формулу (37), получим искомое изменение внутренней энергии:
U = |
m |
|
i |
RT |
|
[( |
V1 |
) γ −1 − 1] . |
M |
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
V 2 |
|
||||
Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q,
переданное газу, расходуется на изменение внутренней энергии ∆U и на работу расширения А, совершаемую газом:
Q = A + U .
В случае адиабатного процесса Q=0, поэтому
A = − U .
Ответ: A = − U .
57
Пример 2.9. Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно.
Температура нагревателя T1=500 K. Определите термический КПД цикла η и температуру T2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А=350 Дж.
Решение. Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
η = A
Q1 ,
где Q1 – теплота, полученная от нагревателя;
А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.
Подставим числовые значения в эту формулу, получим
η = |
350 |
= 0,35 . |
|
||
1000 |
|
|
Зная КПД цикла, можно по |
формуле η = T1 − T2 T1 определить |
|
температуру охладителя Т2: |
|
|
T 2 = T 1 (1 − η ).
Подставим в эту формулу значения КПД и температуры Т1, получим:
T2 = 500(1 − 0,35)K = 325 K .
Ответ: η=0,35, T2=325K.
Пример 2.10. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды, находящейся при температуре 300 К, и 4 кг воды при температуре 370 К.
58
Решение. Определим установившуюся температуру после смешивания холодной и горячей воды.
Количество теплоты, поглощенное при нагревании воды массой m1
до температуры θ смеси равно
Q1 = c × m1 (θ - T1 ) .
Количество теплоты, которое выделилось при остывании горячей воды до температуры смеси θ:
Q 2 = c × m 2 (T1 - θ ).
Тогда из уравнения теплового баланса
c × m1 (θ - T2 ) = c × m 2 (T2 - θ ) .
Выразим температуру смеси:
m1θ − m1T2 = m2T1 − m2θ ,
θ = m2T1 − m1T2 m1 + m2 .
Произведем вычисления:
θ= 4 ×340- 2 ×300 =
+347K .
4 2
Изменение энтропии при остывании воды массой m1 равно
θ |
dQ |
1 |
θ |
cm |
1 |
dT |
|
θ |
|
DS1 = ∫ |
|
= ∫ |
|
|
= cm 1 ln |
|
. |
||
T |
|
T |
|
T |
|||||
T |
|
|
T |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
59
Изменение энтропии при остывании воды массой m2 равно
|
|
θ |
dQ |
|
|
θ |
cm dT |
|
θ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
S |
2 = |
T |
2 = |
T |
= cm 2 ln |
T |
|
. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
T2 |
|
|
|
T2 |
|
|
|
2 |
|
Изменение энтропии системы равно
S = |
S1 + |
|
|
|
θ |
+ m 2 ln |
θ |
|
S 2 |
|
ln |
|
|
|
|||
|
|
|||||||
= c m1 |
T1 |
T2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Произведём вычисления:
|
347 |
347 |
|
= 4200 (2 × 0,147 |
+ 4 × (- 0,064 )) = |
||
DS = 4200 |
2 ln |
|
+ 4 ln |
|
|
||
|
|
||||||
|
300 |
370 |
|
|
|
||
= 4200 (0,294 - 0,256 ) = 159 ,6( Дж 
K )
Ответ: ∆S=159,6 Дж/К.
Задачи для контрольных работ
2.01. Найти молярную массу µ и массу m0 одной молекулы поваренной соли.
2.02. Определить концентрацию n молекул кислорода,
находящегося в сосуде объёмом V = 2 л. Количество вещества ν кислорода равно 0,2 моль.
2.03. Определить количество вещества ν водорода, заполняющего сосуд объёмом V = 3 л, если концентрация молекул газа в сосуде
n= 2 ×1018 м−3 .
2.04.Определить число молекул, содержащихся в m = 2 г меди.
2.05. Определить концентрацию молекул кислорода в сосуде объемом V = 10 л при атмосферном давлении.
2.06. Определить относительную молекулярную массу Mr газа, если при температуре T = 154K и давлении p = 2,8 MÏà он имеет плотность p = 6,1 êã/ ì 3 .
60