Задание № 7.

Задача 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область существования функции: . Имеется единственная точка разрыва

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как , поэтому условие четностии условие нечетностине выполняются. Функция непериодична.

3. Найдем точки пересечения графика с координатными осями.

- не существует,

Найдем интервалы знакопостоянства функции. Очевидно, что функция всюду в области определения положительна.

4. Найдем асимптоты функции.

Вертикальной асимптотой будет прямая (ось ординат). Для определения наклонной асимптотывоспользуемся формулами

Тогда

Таким образом, асимптотой будет горизонтальная прямая

5. Найдем точки экстремума и интервалы монотонности функции. Находим первую производную:

.

Из условия найдем- стационарную точку. Построим таблицу

	+		-	0	+
	возрастает	Не существует	Убывает	0	Возрастает

Очевидно, что.

6. Найдем точки перегиба графика функции и его интервалы выпуклости и вогнутости. Так как

, - абсцисса точки перегиба.

				1,5
	+		+	0	-
		Не существует

7. Строим график функции

Задача 2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область существования функции , так каксуществует при положительных значениях, а условиюсоответствует. Точка разрыва.

2. Функция не является ни четной ни нечетной, так как не определена. Функция непериодична.

3. Точек пересечения функции с координатными осями нет. Интервалы знакопостоянства функции:

Функция положительна, когда , и отрицательна, когда.

4. Найдем асимптоты:

1. Вертикальная асимптота: .

2. Наклонные асимптоты определяются по формуле , где.

Тогда

,

причем последний предел определяют по формуле Лопиталя. Так как один из коэффициентов равен бесконечности, то наклонных асимптот функция не имеет.

5. Определим экстремумы функции и интервалы монотонности. Найдем сначала первую производную

.

Критическую точку находим, решив уравнение .

	-		-	0	+
	убывает	Не существует	Убывает		Возрастает

Функция имеет минимум в точке = , ( ) = .

6. Найдем точки перегиба графика функции и его интервалы выпуклости и вогнутости. Так как ,

- абсцисса точки перегиба.

	-		+	0	-
		Не существует

7. Построим график функции.

Задание № 8.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке.

Решение.

Найдем сначала критические точки, принадлежащие интервалу :

.

Теперь вычислим значения заданной функции в критических точках и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения функции, заключаем, что