Задание № 3

Даны вершины треугольника: . Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты;

3) угол В в радианах;

4) уравнение высоты и ее длину;

5) уравнение медианы ;

6) координаты точки пересечения высоты и медианы .

Решение.

1) Найдем длину стороны по формуле

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид .

Тогда уравнение стороны :

,

а угловой коэффициент

Аналогично, уравнение стороны:

3. Внутренний угол В заметается вращением стороны ВС против часовой стрелки до совпадения с АВ, поэтому, используя формулу , надо в ней считать за первую прямую ―ВС, а за вторую ― АВ. Тогда 1,11.

4. Отметив, что угловые коэффициенты иперпендикулярных прямых связаны зависимостью, т.е., используем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку:. Отсюда уравнение высотыимеет вид

.

Расстояние от точки до прямой можно определить по формуле

5. Найдем координаты точки - середины отрезка :

.

Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, получим уравнение медианы :

.

6. Точку пересечения высотыи медианы, находим, решив систему уравнений,

Задание № 4 (класс «в»)

Дано уравнение линии второго порядка: .

Требуется:

1) привести общее уравнение линии второго порядка к каноническому виду;

2) исследовать, будут ли пересекаться эта линия и прямая , если да, то найти координаты точки их пересечения;

3) сделать чертеж.

Решение.

1) Преобразуем заданное уравнение к виду

Получили уравнение окружности с центром в точке и радиусом

2. Подставим значение в заданное уравнение. Получим уравнение

, корни которого . Соответствующие значения.

Таким образом, получили две точки пересечения заданных окружности и прямой: и.

3) Точки пересечения окружности с осью оy найдем, решив систему:

получим Решив систему найдем точки пересечения с осьюоx: . Строим окружность с центром в точке,радиусом и прямую .

Задание № 4 (класс «а»)

Исследовать квадратичную функцию и построить ее график.

Решение.

Выписываем коэффициенты: а=2, в=-3, с=-2. Так как а=2>0, то ветви параболы направлены вверх.

Находим координаты вершины .

; .

Находим точки пересечения с осями координат. С осью оx при , решая уравнение , находим 2 корня: ,

С осью оy при x=0: y=-2.

Задание № 5

Вычислить пределы функций.

Решение.

1).

2) .

3)

.

4) .

При решении использовали первый специальный предел и теоремы о применении эквивалентных бесконечно малых в пределах.

5) .

При решении использовали второй специальный предел, а также .

6) .

При решении использовали второй специальный предел, предварительно сделав замену

. Отметим, что условию соответствует.

7) .

Задача решается аналогично задаче 5.

8)

.

9)

Задание № 6.

Найти производные.

Решение.

1)

2)

3)

4)

5)

Предварительно прологарифмируем по основанию e обе части равенства:

Теперь продифференцируем обе части, считая сложной функцией от переменнойТогда

6)

В данном случае функция задана неявно. Чтобы найти производную следует продифференцировать пообе части заданного уравнения, считая при этом функцией , а затем полученное уравнение разрешить относительно искомой производной.

Имеем:

,

откуда

.

7)

Зависимость между переменными изадана параметрическими уравнениями. Искомая производная определяется по формуле.

Имеем:

Откуда

2. Вычислим производные второго порядка:

1. .

2)

Продифференцируем обе части равенства по переменной :

.

Продифференцируем снова обе части первого полученного равенства по переменной :

3)

Величины

Зависимость между переменными изадана параметрическими уравнениями. Найдем сначала первую производную.

Имеем:

откуда

Тогда

Используя , получим