3.6 Управляемость и наблюдаемость

Рассмотрим n-мерное пространство состояния X, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат.

Пусть в пространстве состояния X заданы два множества и . Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление , определенное на конечном интер­вале времени , которое переводит изображающую точку в про­странстве X из подобласти в подобласть Г₂.

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возмож­ность перевода изображающей точки из любой области пространства состоя­ния X в начало координат. Система будет полностью управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояния X перейдем к другому пространству X посредством неособого преобразования , причем , где R – матрица коэффициентов п×п.

Тогда вместо (3.87) будем иметь

(3.91)

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:,,,и.

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразо­вания приводит к эквивалентным системам различной структуры.

При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (3.91) или часть фазовых координат не участвует в формировании выхода у. В первом случае в система будет не полностью управляемой, а во втором – не полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходные уравнения могут быть представлены в виде

(3.92)

Это иллюстрирует рис. 3.15. Набор фазовых координат х¹ соответствует управляемой части фазовых координат, а набор х² неуправляемой части.

Рис. 3.15	Рис. 3.16

Р. Калманом [50] был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность v управляемой части системы, то есть порядок первой группы уравнений (3.91), совпадает с рангом матрицы

(3.93)

При = п система полностью управляема, при 0 < <п не полностью управляема и при = 0 полностью неуправляема.

На рис. 3.16, а изображен простейший пример. Если рассматривать выходную величину у (t) при ненулевых начальных условиях, то можно записать

(3.94)

где, и , С₁, С₂ и С₃ определяются начальными условиями до приложения входного сигнала ,а – вынужденная составляющая. Система устойчива при а>0, b>0 и с>0.

Если начальные условия до приложения были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

(3.95)

В этом случае по интегралу Дюамеля – Карсона

(3.96)

Как следует из выражений (3.95) и (3.96), система во втором случае описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при а < 0.

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказы­вается, что п = 3, а = 2.

При введении второй составляющей управления система оказывает­ся полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточных функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

(3.97)

Рис. 3.17

Эти уравнения отличаются от (3.87) тем, что фазовые координаты груп­пы х² не входят ни в выражения для у и и, ни в первое уравнение, куда вхо­дят только фазовые координаты группы х¹. Группа фазовых координат х² относится к ненаблюдаемым. Это иллюстрирует рис. 3.17.

Р. Калманом [50] показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы

(3.98)

При =п система полностью наблюдаема, при 0 < < п – не полностью наблюдаема в при = 0 полностью ненаблюдаема.

На рис. 3.16, б изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых коор­динат: управляемую, но ненаблюдаемую часть х¹, управляемую и наблюдае­мую часть х², неуправляемую и ненаблюдаемую часть х³ и неуправляемую, но наблюдаемую часть х⁴.

Исходные уравнения системы (3.87) в этом случае можно для самого общего случая записать следующим образом:

(3.99)

Левая часть характеристического уравнения (3.88) системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

(3.100)

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам, обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть непосредственно измерены датчиками различных типов.