olimpiady_matematika

3.(Б. Френкин) Каждый из двух правильных многоугольни ков P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и од ну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одно му из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

4.(А. Заславский) Биссектрисы AA1 и BB1 треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A1I и B1I построены

как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A2 и B2, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A2B2 пополам. Верно ли, что треугольник ABC — равно бедренный?

Первый день, 9 класс

1.(Б. Френкин) Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведенными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол С треугольника?

2.(А. Акопян) Два треугольника пересекаются. Доказать, что внутри описанной окружности одного из них лежит хотя бы одна вершина другого. (Здесь треугольником считается часть плоскости, ограниченная замкнутой трехзвенной ломаной; точ ка, лежащая на окружности, считается лежащей внутри ее.)

3.(В. Ясинский, Украина) На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD — правильные, причем вершины первого и третьего ориентирова ны против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Дока зать, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

4.(А. Заславский) В треугольнике ABC отметили точки A′, B′ касания сторон BC, AC со вписанной окружностью и точку G пересечения отрезков AA′ и BB′. После этого сам треугольник стерли. Восстановить его с помощью циркуля и линейки.

Второй день, 9 класс

1. (Д. Швецов) Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC ( ABC = 90°), касается сторон AB, BC, AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность ка

53

сается стороны BC в точке A2, A0 — центр окружности, описан ной около треугольника A1A2B1; аналогично определяется точка C0. Найти угол A0BC0.

2.(Ю. Блинков) Произвольная прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K,

аописанную окружность в точке M. Найти геометрическое мес то центров описанных окружностей треугольников AMK.

3.(Н. Белухов, Болгария) В треугольнике ABC ALa и AMa — внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa — ок

ружность, симметричная описанной окружности треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Доказать, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.

4. (В. Гуровиц) На доске нарисован правильный много угольник. Володя хочет отметить k точек на его периметре так, чтобы не существовало другого правильного многоугольника (не обязательно с тем же числом сторон), также содержащего отме ченные точки на своем периметре. Найти наименьшее k, доста точное для любого исходного многоугольника.

Первый день, 10 класс

1.(А. Заславский) Пусть O, I — центры описанной и впи санной окружностей прямоугольного треугольника; R, r — ради усы этих окружностей; J — точка, симметричная вершине пря мого угла относительно I. Найти OJ.

2.(П. Кожевников) Каждая из двух равных окружностей ω1

иω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2. Доказать, что

cos A + cos B = 1.

3. (А. Акопян) Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n 4) таковы, что любая сторона первого больше соот ветствующей стороны второго. Может ли оказаться, что любая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

4. (Ф. Нилов) Проекции двух точек на стороны четырех угольника лежат на двух различных концентрических окружнос тях (проекции каждой точки образуют вписанный четырехуголь

54

ТУРНИРЫ АРХИМЕДА

Турниры Архимеда — цикл математических соревнова ний, организуемых учителями Москвы совместно с преподавате лями и студентами ряда московских вузов.

Общая особенность всех соревнований, проходящих под маркой «Турниров Архимеда», — их открытость как для школь ников, так и для преподавателей математики: в личных соревно ваниях может участвовать любой школьник, в командных — лю бая школа, вовремя подавшая заявку. Все желающие учителя имеет право участвовать как в подборе задач, так и в проверке работ учащихся. Еще одна отличительная черта этих соревнова ний (кроме заочного тура) — подведение итогов и награждение призеров в день проведения.

Материалы, посвященные соревнованиям турнира, можно найти на сайтах Турнира Архимеда — www.arhimedes.org, Мос ковского центра непрерывного математического образования — www.mccme.ru (математические регаты), www.sch40.mccme.ru/ sch/ta.htm (весенний турнир), Института Логики, Когнитологии и Развития Личности — www.logic.ru/ru/node/420.

Приятно отметить, что среди участников турниров есть по бедители и призеры московской, всероссийской и международ ной олимпиад по математике. Некоторые из них с большой пользой работали в составе оргкомитета и жюри олимпиады.

Большинство задач, предлагавшихся школьникам, взяты из популярной литературы, но некоторые задачи придуманы спе

А. С. Митягин, А. Г. Мякишев, Е. А. Новодворская, Ф. А. Пче линцев, А. И. Саблин, А. В. Спивак, И. С. Рубанов, Л. Е. Федул кин, Б. Р. Френкин и другие.

Зимний турнир Архимеда — олимпиада для учащихся 6—7 классов. Проводится ежегодно, начиная с 1992 г., в одно из последних воскресений января.

56

Традиционно олимпиада проходит по следующему сцена рию. Вначале в течение двух часов школьники пишут работу, со стоящую из шести задач, а затем смотрят мультфильмы. Пока де ти отдыхают, жюри проверяет работы, после чего в тот же день подводятся итоги олимпиады и происходит награждение.

Первые четыре турнира (1992—1995) проходили в школе № 5 (директор Т. Е. Маркелова), затем (1996—2003) в Центре образо вания № 109 (директор Е. А. Ямбург). В настоящее время турнир проходит на базе ГБОУ физико математической школы № 2007 г. Москвы (директор А. В. Бунчук).

Оргкомитет турнира составляют учителя школ, выпускники, студенты, аспиранты, преподаватели вузов. Многие годы жюри возглавляет доктор физико математических наук, профессор МГАТУ «МАТИ» Ю. В. Селиванов.

Тематика задач тура традиционна. Из года в год встречаются задачи на разрезание, делимость, проценты, логические задачи, задачи на построение алгоритмов, традиционные арифметиче ские задачи. В данной публикации представлены задачи XX тур нира (23 января 2011 г.).

За 20 лет олимпиада, придуманная учителями для своих уче ников, стала популярна среди учащихся и их родителей: в ней принимает участие примерно 1200 школьников из Москвы, Московской области, а также Брянска, Чебоксар, Сарова (Ни жегородская область), Минска (Республика Беларусь).

Заочный турнир Архимеда — олимпиада для учащихся 6— 7 классов, предусмотрен отдельный зачет для математических кружков. Первый турнир прошел в 1993 г.

Условия задач публикуются на страницах газеты «Математи ка» (Издательский дом «Первое сентября») в декабре—январе. Там же подводятся итоги турнира.

В турнире принимают участие школьники из большинства регионов России, а также Азербайджана, Армении, Беларуси, Казахстана, Литвы, Украины, Эстонии, Болгарии, Монголии и Вьетнама.

Среди задач заочного тура помимо задач, характерных для зимнего тура, встречаются сравнительно громоздкие задачи, тре бующие многодневной проработки.

Каждому участнику конкурса высылается письмо с результа тами и замечаниями по ходу проверки. Всем победителям и при зерам высылаются дипломы и призы — сборники математиче ских задач.

Весенний турнир Архимеда — лично командная олимпи ада для учащихся пятых—шестых классов, проводится в первые

57

а также Санкт Петербурга, Липецка, Чебоксар, Сарова, Кирова, Витебска (Республика Беларусь).

Популярность турнира выросла: если первые турниры у себя принимала одна школа, то теперь приходится задействовать не менее трех.

Математические регаты. В Москве соревнования с таким названием впервые были проведены на конференции старше классников в Московском энергофизическом лицее. В дальней шем эту идею подхватили преподаватели лицея № 1511 при МИФИ, при этом правила проведения регаты были существенно изменены.

Сейчас математические регаты — это командные соревнова ния школьников 7—11 классов (в составе команды 4 человека) в письменном решении математических задач. Школа может быть представлена несколькими командами; в регате могут участво вать и объединенные команды нескольких школ.

Соревнование проводится в несколько туров (обычно 4—5). В каждом туре командам предлагается по три задачи: по алгебре, геометрии, комбинаторике или теории чисел. Время, отводимое на решение задач каждого тура, — от 10 до 25 мин, соответствен но возрастает и трудность заданий.

Проверка задач происходит после каждого тура. Жюри со стоит из трех комиссий, специализирующихся на проверке опре деленного типа задач. Для облегчения работы жюри каждая зада ча оформляется и сдается на отдельном листке.

По окончании разбора и по мере завершения проверки ре зультаты команд вносятся в протокол и экран проектора для все общего обозрения.

После объявления итогов тура команды могут подать заявки на апелляцию. Решение жюри принимает по окончании послед него тура, но до награждения победителей. При этом в обсужде нии может принимать участие представитель команды. В резуль тате апелляции оценка за задачу может быть повышена или по нижена.

Победители и призеры регаты определяются по сумме бал лов, набранных каждой командой во всех турах. Награждение происходит непосредственно после подведения итогов.

Общая продолжительность регаты (включая награждение) — 2,5—3 ч.

В последние годы регаты проходят в московском дворце дет ского (юношеского) творчества при участии 70—90 команд из Москвы, Санкт Петербурга, Московской области. Еще одна традиция московских математических регат — каждый участник

59

и руководитель команды получает небольшую брошюру с усло виями и решениями задач только что прошедшей регаты (сбор ники «Архимед»).

Подготовку и проведение математических регат многие годы координирует А. Д. Блинков.

В заключение отметим, что все соревнования проходят при поддержке Московского центра непрерывного математического образования, Московского института открытого образования и включены в календарь олимпиад московского департамента образования — olympiads.mccme.ru/grafik.

Зимний тур, 2011 г.

1.Диспетчер записывает время отправления и прибытия рейсовых автобусов (например, 18:50, т. е. 18 ч 50 мин). Однажды он заметил, что для записи времени отправления двух автобусов потребовалось 8 различных цифр. Мог ли интервал между этими автобусами быть меньше 40 минут?

2.Двойки в дневнике. У Феди в дневнике на 10% боль ше двоек, чем у Лизы. Федя исправил 10% своих двоек, а Ли за — 1% своих. У кого из них осталось больше неисправленных двоек?

3.На острове рыцарей и лжецов принят закон: теперь рыца ри могут лгать, но только в день своего рождения. В остальные дни они обязаны говорить правду. Пьер и Джон — рыцари. На вопрос: «Когда ваш день рождения?», заданный 23 января, Пьер ответил: «Он был вчера», а Джон: «Он будет завтра». На следую щий день (24 января) на тот же вопрос каждый из них ответил то же самое. Определить, если возможно, дату рождения каждого из них.

4.Любимая игра. Два банкира играют в игру: наполняют кошельки монетами. В их распоряжении три кошелька. За один ход можно положить по одной монете в два из трех кошельков. Выигрывает тот, кто положил в какой нибудь из кошельков 2010 ю монету. Кто выигрывает при правильной игре: начинаю щий или его партнер? Как он должен играть, чтобы наверняка выиграть?

5.Два числа. А) Существуют ли два натуральных числа a и b таких, что сумма цифр числа a равна 2008, сумма цифр числа b равна 2009, а сумма цифр числа a + b равна 2010?

60

4.Можно ли подобрать 4 числа так, чтобы все их попарные суммы составляли 6 последовательных целых чисел?

5.Продолжение предыдущей задачи. Можно ли подобрать 5 чисел так, чтобы их попарные суммы составляли 10 последова тельных целых чисел?

6.Часы и математика. Часовому мастеру принесли трое часов и попросили выверить их ход. Мастер включил секундомер

ипосмотрел на часы № 1 и № 2. За 11 мин хода часов № 1 часы № 2 отсчитали 10 мин. Потом он сравнил часы № 2 и № 3: за 12,5 мин хода часов № 2 часы № 3 прошли 12 мин. Посмотрев за

61

тем в течение 8 мин 15 с на часы № 1, мастер остановил секундо мер и впервые взглянул на него — он отсчитал ровно 30 мин. Оп ределить, какие часы идут точно.

7.Шахматная фигура «Хромой король» может ходить на од ну клетку вверх, или на одну клетку вправо, или на одну клетку

по диагонали влево вниз. Может ли «Хромой король», начиная из левого нижнего угла доски 8 × 8 клеток, обойти всю доску, по бывав на каждой клетке ровно по одному разу?

8.Радиоактивные шары. Как с помощью индикатора радио активности обнаружить за семь измерений два радиоактивных шара, находящихся среди пятнадцати одинаковых шаров? Изме рения можно производить как на отдельно взятом шаре, так и на группе из произвольного количества шаров, однако индикатор указывает лишь на наличие радиоактивности, но не дает инфор мации о количестве радиоактивных шаров в группе.

Весенний тур, 2011 г.

3.На острове туземцев племени Топ Топ любые две деревни соединены отдельной дорогой. После постройки трех новых де ревень туземцам пришлось построить 33 новые дороги. Сколько деревень стало на острове туземцев племени Топ Топ? Ответ объяснить.

4.Можно ли расставить в клетках квадрата 3 × 3 цифры от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке сумма двух меньших цифр рав нялась большей? (В каждой клетке должна стоять ровно одна цифра. Каждая цифра должна быть использована.) Если ответ: да, то привести пример, если ответ: нет, то объяс нить.

5.Перед матчем команд «Шайба» и «Зубило» болельщики команд дали прогнозы на матч.

Три болельщика «Шайбы» дали такие прогнозы: 1) «Шайба» выиграет; 2) «Шайба» не проиграет; 3) «Шайба» забьет хотя бы один гол.

62