olimpiady_matematika

y= 0,5•(x2 – 6x), проведенными из точки M(2,5; –4,5).

7.На стороне BC треугольника ABC отмечена точка K. Из вестно, что B + C = AKB, AK = 5, BK = 16, KC = 2. Найти площадь круга, вписанного в треугольник ABC.

A, чтобы площадь треугольника с вершинами A, O(0; 0) и B(6; 3) была наименьшей. Найти эту площадь.

9. Указать все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два различных корня. Найти эти корни.

10. Найти площадь сечения правильной треугольной приз мы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через вершину A1 и се редины ребер AB и CC1, если расстояние от вершины A до этой

плоскости равно 3, а сторона основания призмы равна 43 .

Вариант 3

1.Один велосипедист проходит за час на 6 км больше, чем другой, так как один километр он проходит на 20 с быстрее. Най ти скорости велосипедистов.

2.Решить уравнение 1 + sin x + 2 sin x = 0.

43

6. Найти множество значений функции f (x) = log0,5 (3 + cos x).

7. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведена высота CK. Медиана CM треугольника ACK

равна 13 , а медиана CN треугольника BCK равна 21 . Найти площадь треугольника ABC.

8. Траектории, по которым двигаются снаряды зенитного орудия, задаются уравнением y = px – 0,5(1 + p2)x2, y 0, где па раметр p (0 < p < + ) определяется наклоном траектории в на

зать на плоскости xy все точки, через которые проходят траекто рии.

9. Указать все значения a, при которых уравнение 64a(x – 10) + 384 = (x + |x|)2

имеет хотя бы одно решение, и решить его при каждом a.

10. Правильная треугольная призма с высотой h и стороной

основания 6 h вписана в конус так, что одно из оснований ле жит в плоскости основания конуса, а вершины другого основа ния — на боковой поверхности. В свою очередь, конус должен быть вписан в сферу возможно меньшего радиуса. При какой высоте конуса радиус описанной около него сферы будет на именьшим? Найти это значение радиуса.

Вариант 4

1.Двум рабочим поручено изготовить за одну смену по не которому количеству деталей. Если бы рабочие поменялись зада ниями, то первый выполнил бы задание второго за 4 ч, а второй задание первого — за 9 ч. В действительности все детали при шлось изготовить одному первому рабочему. Сколько времени он затратил? Какова длительность смены?

2.Решить уравнение cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0. Указать его

3. Решить уравнение log4 (10x + 56) = 1 + log2 (1 – x).

44

5. Решить неравенство (lg (x + 1) – 1)x2 – 3x + 2 0.

1

6. Функция f (x) = ------------- определена на отрезке [–1; 3]. Най x – c

ти все значения c, при которых наименьшее значение функции на этом отрезке больше –0,125.

7. Окружность с центром O касается сторон угла B в точках A и C. Лучи AO и BC пересекаются в точке M, CAM =

=0,5 arccos 0,6, OM = 5. Найти площадь треугольника BOM.

8.Какая наибольшая площадь может быть у трапеции, боль шее основание которой расположено на оси x, а все вершины ле

жат на графике функции y = 5 + 4x – x2?

9. Найти все значения a, при которых система уравнений

y – 2 = a(x – 4),

2x

---------------- = x y + y

имеет хотя бы одно решение, и решить ее при каждом a.

10. Основанием пирамиды TABC служит равносторонний треугольник ABC, а высота пирамиды, равная 2, совпадает с бо ковым ребром TA. Найти площадь сечения пирамиды плоско стью, параллельной медиане основания AD, пересекающей реб ро AB в точке M, так что MB = 2AM, и проходящей через центр сферы, описанной около пирамиды, если радиус сферы равен 5.

Вариант 5

1.Двое рабочих одновременно приступили к изготовлению одинаковых партий деталей. Когда первый рабочий сделал поло вину деталей, второму оставалось изготовить 24 детали, а когда второй выполнил половину работы, первому оставалось сделать 15 деталей. Сколько деталей осталось изготовить второму рабо чему, когда первый выполнил свою работу?

2.Решить уравнение 2 cos x + 1 + sin x = 0.

45

ОЛИМПИАДА ПО ГЕОМЕТРИИ ИМ. И. Ф. ШАРЫГИНА

Геометрическая олимпиада проводится ежегодно, начи ная с 2005 г. Таким образом, на момент написания этих строк прошло шесть олимпиад. Олимпиада носит имя Игоря Федоро вича Шарыгина (1937—2004), российского геометра, автора мно жества книг, задачников и статей по геометрии. А кроме того (что в контексте олимпиады, видимо, самое главное), Шарыгин был непревзойденным композитором геометрических задач. Его задачи регулярно появлялись в «Кванте» и в «Математике в шко ле», предлагались на международных, всесоюзных и всероссий ских, московских, Соросовских и еще на десятке олимпиад рангом ниже. Он задал весьма жесткие стандарты при отборе задач на лю бую олимпиаду. Задача должна быть: а) новой, содержащей свежие идеи; б) нестандартной, разбивающей стереотипы; в) имеющей геометрическое, а не «счетное» решение; г) наконец, задача должна просто быть красивой! Для этого ее автор обязан иметь хороший геометрический вкус. Предпочтение всегда отдавалось задачам, пришедшим из высокой науки, а не специально приду манным. После ухода Игоря Федоровича почти сразу у его дру зей, коллег и учеников родилась идея организовать олимпиаду его имени, которая (по мере сил) должна была соответствовать этим высоким стандартам. Олимпиада содержит только геомет рические задачи. Однако в ней нет «однобокости», чего опаса лись скептики. Темы задач, кроме классической геометрии, включают комбинаторную геометрию, экстремальные задачи, задачи «из жизни», задачи с элементами математического анали за. Геометрия оказалась богаче и разнообразнее, чем нам пред ставлялось ранее. Целью олимпиады является популяризация геометрии как отдельной науки, а также выявление геометриче ски одаренных ребят. Среди победителей часто встречаются де ти, которые никогда до этого не добивались больших успехов на других, общематематических олимпиадах. Форма проведения олимпиады также соответствует ее геометрической направлен ности. Первый тур — заочный, где школьникам дается несколь ко месяцев на неторопливое обдумывание сложных задач. Вто

47

рой тур — устный, где школьник может не записывать решения, но обязан рассказать его членам жюри, пояснив все детали реше ния и ответив на все вопросы.

В жюри олимпиады входят профессиональные математики (А. А. Заславский, В. Ю. Протасов, Б. Р. Френкин и другие), школьные учителя (А. Г. Мякишев, А. Д. и Ю. А. Блинковы и др.), студенты — победители и призеры олимпиад прошлых лет. К участию в олимпиаде приглашаются ученики 8—11 классов из России, ближнего и дальнего зарубежья. Олимпиада проходит в два тура. Первый тур — заочный. Вариант из 20—25 задач (для каждой задачи указываются классы, которым она предназнача ется) в начале года публикуется в газете «Математика», журнале «Математика в школе» и на интернетпорталах www.mccme.ru и www.geometry.ru. Варианты публикуются на русском и англий ском языках. Решения можно присылать как по электронной, так и по обычной почте, крайний срок, как правило, начало ап реля. Иностранные участники могут присылать решения на анг лийском языке. По результатам заочного тура жюри определяет победителей, которые приглашаются на финальный тур, прохо дящий в г. Дубна (Московская область) в конце июля. Дорогу и проживание участника финала и сопровождающего лица (од ного из родителей или учителя) оплачивает оргкомитет. Финаль ный тур проводится в два дня. Каждый день участники решают по 4 задачи. Решение каждой задачи школьник должен защитить сам, объясняя его (устно) членам жюри. Для каждого класса ва рианты финального тура составляются отдельно. Как правило, в каждом классе находятся 1—2 человека, решившие все задачи. Во время финального тура для ребят и их родителей (учителей) организуются популярные лекции по геометрии, которые чита ют профессора МГУ, демонстрация анимационных фильмов из цикла «математические этюды» и спортивная программа.

Приводим условия и решения задач заочного и финального тура VI олимпиады, состоявшейся в 2010 г. Условия и решения задач пяти предыдущих олимпиад можно найти на сайте www.ge ometry.ru и в книге «Олимпиады им. И. Ф. Шарыгина» (изда тельство журнала «Квант», 2009).

Заочный тур

1. (Б. Френкин; 8) Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой то из его высот, другая — какой то из биссектрис, а третья — какой то из медиан?

48

2. (Д. Швецов; 8) В прямоугольном треугольнике ABC ( C = 90°) биссектрисы AA1 и BB1 пересекаются в точке I. Пусть O — центр описанной окружности треугольника CA1B1. Дока зать, что OI AB.

3.(Ф. Нилов; 8) Точки A′, B′, C ′ лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Точка X такова, что

AXB = A′C ′B′ + ACB и BXC = B′A′C ′ + BAC. Доказать, что четырехугольник XA′BC′ — вписанный.

4.(Д. Швецов; 8) Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке N. Окружности, описанные вокруг треугольников ANB и CND, повторно пересекают стороны BC и AD в точках A1, B1, C1, D1. Доказать, что четырехугольник

A1B1C1D1 вписан в окружность с центром N.

5. (Д. Швецов; 8—9) На высоте BD треугольника ABC взята точка E такая, что AEC = 90°. Точки O1 и O2 — центры опи санных окружностей треугольников AEB и CEB; F и L — середи ны отрезков AC и O1O2. Доказать, что точки L, E, F лежат на од ной прямой.

6.(Д. Швецов; 8—9) На стороне BC равностороннего тре

угольника ABC взяты точки M и N (M лежит между B и N) такие, что MAN = 30°. Описанные окружности треугольников AMC

иANB пересекаются в точке K. Доказать, что прямая AK содер жит центр описанной окружности треугольника AMN.

7.(Д. Швецов; 8—9) Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане BM. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из A и C (или их продолжения),

вточках K и N. Точки O1 и O2 — центры описанных окружностей

треугольников ABK и CBN соответственно. Доказать, что

O1M = O2M.

8. (Д. Швецов; 8—10) В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic — центры вписанных окружностей треугольни ков ABH и CAH; L — точка касания вписанной окружности тре угольника ABC со стороной BC. Найти угол LIbIc.

9. (Б. Френкин; 8—10) Назовем точку внутри треугольника хорошей, если три чевианы через нее равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек не четно. Чему оно может быть равно?

49

10. (И. Богданов; 8—11) Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, по

11.(Б. Френкин; 8—11) Выпуклый n угольник разрезан на 3 выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у друго го — больше, чем у n, у третьего — меньше, чем n. Каковы воз можные значения n?

12.(А. Блинков, Ю. Блинков, М. Сандрикова; 9) В прямо угольном треугольнике ABC AC — больший катет, CH — высота,

проведенная к гипотенузе. Окружность с центром H и радиусом CH пересекает катет AC в точке M. Точка B′ симметрична точке B относительно H. В точке B′ восставлен перпендикуляр к гипо

тенузе, который пересекает окружность в точке K. Доказать, что: а) B′M BC;

б) AK — касательная к окружности.

13. (С. Берлов; 9) В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC. На диагонали BD выбрана точка K такая, что

AKB + BKC = A + C. Доказать, что AK•CD = KC•AD.

14.(С. Берлов; 9—10) На стороне AD выпуклого четырех угольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM парал лельны AB и CD соответственно. Доказать, что SABCD 3SBCM.

15.(Д. Прокопенко, А. Блинков; 9—11) В остроугольном треугольнике ABC AA1, BB1 и CC1 — высоты. Прямые AA1 и B1C1

пересекаются в точке K. Окружности, описанные вокруг тре угольников A1KC1 и A1KB1, вторично пересекают прямые AB и AC в точках N и L соответственно. Доказать, что:

а) сумма диаметров этих окружностей равна стороне BC;

16. (Ф. Нилов; 9—11) В угол с вершиной A вписана окруж ность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходя щая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX па раллельна прямой DE. Доказать, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.

50

17.(С. Токарев; 9—11) Построить треугольник по высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и медиане, про веденной из другой вершины.

18.(Д. Прокопенко; 9—11) На хорде AC окружности ω вы

брали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω1 и ω2 с центрами O1 и O2, которые пересекают ω

второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O1D и O2E пере секаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G. Дока зать, что прямая FG проходит через середину AC.

19.(В. Ясинский, Украина; 9—11) Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки P и Q диаметрально противоположны C и D соответственно. Касательные к окруж ности в этих точках пересекают прямую AB в точках E и F (A ле жит между E и B, B — между A и F ). Прямая EO пересекает AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает AD и BD в точках U и V. Доказать, что XV = YU.

20.(Ф. Ивлев; 10) Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C1,

A1, B1 соответственно. Пусть A2, B2 — середины отрезков B1C1, A1C1 соответственно, O — центр описанной окружности тре угольника, P — одна из точек пересечения прямой CO с вписан ной окружностью. Прямые PA2 и PB2 вторично пересекают впи санную окружность в точках A′ и B′. Доказать, что прямые AA′ и

BB′ пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

21.(А. Акопян; 10—11) Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что ABD + ACD > BAC + BDC. Дока

зать, что SABD + SACD > SBAC + SBDC.

22.(А. Заславский; 10—11) Окружность с центром F и пара бола с фокусом F пересекаются в двух точках. Доказать, что на окружности найдутся такие четыре точки A, B, C, D, что прямые AB, BC, CD и DA касаются параболы.

23.(Н. Белухов, Болгария; 10—11) Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что

AB•CF = 2BC•FA, CD•EB = 2DE•BC, EF•AD = 2FA•DE.

Доказать, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

24. (А. Акопян; 10—11) Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l′, проходящей через

51

A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l′) к прямым l

иl′. Найти геометрическое место точек Y.

25.(Н. Белухов, Болгария; 11) Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами пра вильного октаэдра. Найти отношение ребер икосаэдров.

Финальный тур

Первый день, 8 класс

1.(М. Рожкова, Украина) В неравнобедренном треугольни ке ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин. Доказать, что описанная окружность треуголь ника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектри сы, проведенной из вершины A.

2.(А. Акопян) Даны две точки A и B. Найдите геометриче ское место точек C таких, что точки A, B и C можно накрыть кру гом единичного радиуса.

3.(С. Берлов, Д. Прокопенко) В выпуклом четырехугольни ке ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась точка P такая, что прямые BP и CP делят по полам отрезки AC и BD соответственно. Доказать, что

AB = CD.

4. (И. Богданов) В равные углы X1OY и YOX2 вписаны ок ружности ω1 и ω2, касающиеся сторон OX1 и OX2 в точках A1 и A2 соответственно, а стороны OY — в точках B1 и B2. Точка C1 — вторая точка пересечения A1B2 и ω1, а точка C2 — вторая точка пересечения A2B1 и ω2. Доказать, что C1C2 — общая касательная к окружностям.

Второй день, 8 класс

1.(Б. Френкин) В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL — биссектрисой. Дока зать, что CM является в этом треугольнике медианой.

2.(Д. Прокопенко) Точки E, F — середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Дока зать, что PDA = AED.

52