olimpiady_matematika

4.В четырехугольнике ABCD точки М и N — середины сто рон АВ и ВС соответственно, причем АВ = a, ВС = b, CD = c

иAN = CM. Найти AD.

5.Найти произведение всех действительных корней уравне

2

6.В каждом подъезде нового дома одинаковое число этажей,

ана каждом этаже одинаковое число квартир. На восьмом этаже третьего подъезда первая квартира имеет номер 106. Какой но мер имеет вторая квартира на третьем этаже шестого подъезда?

7.Решить уравнение sin (x + sin x) + cos (x + cos x) = 0.

8.Найти наименьшее значение выражения

(x – 9)2 + 4 + x2 + y2 + (y – 3)2 + 9 .

9.Диаметром плоской фигуры называется максимальное расстояние между точками этой фигуры. Для какого наименьше го положительного числа d можно разделить круг единичного радиуса на 7 частей диаметром, не превосходящим d каждая?

10.Существуют ли функции f и g, определенные на всей числовой прямой и при каждом x удовлетворяющие равенствам f(g(x)) = x2 и g( f(x)) = х3?

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2006 г.

Заочный тур

1. Чашка до краев наполнена черным кофе в количестве 100 мл, а в кувшин налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо перелить из чашки в кувшин и, перемешав, снова напол нить ее до краев полученной смесью, чтобы молока и кофе в чашке оказалось поровну?

3. На стороне АВ угла ABC = 30° взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и D и касающейся прямой BC.

23

4.Решить неравенство 5logx 2 •log2 x + 5log2 x •logx 2 10.

5.Ночью 7 художников по очереди изрисовали белую стену каждый своей краской. Каждый из них закрасил k% площади стены, не видя, что нарисовали предыдущие. Если на какой ни будь участок стены попадали все 7 красок, то он опять становил ся белым. При каких целых k гарантируется существование хотя бы одного белого участка стены?

6.Некоторая прямая пересекает график функции y(x) = ax3 +

+bx + с ровно в трех различных точках, сумма ординат которых равна 6. В какой точке эта прямая пересекает ось ординат?

7.При каких натуральных п система

cos x1 + cos x2 + ...+ cos xn = 0,

sin x1 + sin x2 + ... + sin xn = 0, |xi – xj| π, i, j = 1, 2, ..., n,

имеет решение?

8.Квадратную (вид сверху) электроплиту, вплотную задви нутую в угол прямоугольной кухни, можно поворачивать по полу на произвольный угол вокруг любой из четырех ее ножек, распо ложенных в вершинах квадрата. Какое наименьшее количество

таких поворотов нужно совершить, чтобы в итоге повернуть электроплиту на 90°, поставив ее на прежнее место?

9.Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, которые удовлетворяют уравнению (x + у 2 )6 + (u + v2 )6 = 7 + 52 ?

10.Через точку, лежащую внутри тетраэдра, проведены че тыре плоскости, параллельные граням тетраэдра и разбивающие его на части. Объемы четырех частей, примыкающих к верши нам тетраэдра, равны соответственно 2, 3, 9 и 18. Найти объем каждой из остальных частей тетраэдра.

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2007 г.

Заочный тур

1. Из пункта А вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В во встречном направлении выехал велосипедист. Они

24

двигались с постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3 км, а еще через час — 14 км. Найти рас стояние между пунктами А и В.

2.Решить уравнение 24x2 – 12x + 9 + 4 x – 1 = 6.

3.Какие значения в зависимости от параметра а может при нимать выражение x12 + x1x2 + x22 , в котором x1, x2 — два различ ных корня уравнения х3 – 2007x = а?

4.Существует ли такой прямоугольный треугольник, что увеличенные на 1 оба его катета и гипотенуза являются соответ ственно катетами и гипотенузой другого прямоугольного тре угольника? Тот же вопрос, если все три стороны исходного тре угольника не увеличивать, а изменять на 1, т. е. увеличивать или уменьшать — каждую по своему усмотрению.

5.Чему равно пятое (в порядке возрастания) из натураль ных чисел n, удовлетворяющее неравенству

sin 1 + sin 2 + ... + sin n < 0?

6.Окружность касается другой окружности в точке А, а ее

хорды ВС — в точке D. Найти радиус второй окружности, если ВС = 6 и BAD = 30°.

7.Решить уравнение f(x, y, z) + | f(x, y, z)| = 0, где

f(а, b, с) = (а + b + 2с + |а – b|) + |а + b – 2с + |а – b||.

8.Последовательность a1, a2, ... целых чисел для некоторой

(неизвестной) константы k удовлетворяет при каждом натураль ном n > 1 условию an – 1 an + 1 = kan. Найти a2007, если a1 = 1 и а2а3 = 2007.

9. Найти все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетво ряющих системе

3 (x – у) 1 + ху,

3 (y – z) 1 + yz, 3 (1 + xz) x – z.

10. Дан тетраэдр, две вершины которого отмечены. Для каждого натурального числа n выяснить, на какое наибольшее число частей могут разбить этот тетраэдр n плоскостей, каждая из которых проходит хотя бы через одну из отмеченных вершин.

25

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2008 г.

Заочный тур

1. Группа туристов отправилась в 12.00 из лагеря по маршру ту. В 12.30 штурман вспомнил, что оставил в лагере компас и сбе гал за ним в лагерь, догнав шедшую с прежней скоростью группу в 14.00. В котором часу штурман прибыл в лагерь, если бежал он с постоянной скоростью и в лагере не задерживался?

x2(10 – x2)

2. Решить неравенство ---------------------------------- 2x + 5. x

3.При каких значениях параметра a каждый из квадратных трехчленов х2 + аx + 2008 и х2 + 2008x + а имеет хотя бы один корень, причем все их корни — целые числа?

4.Какое наибольшее значение может принимать выражение cos x + cos y + cos z при условии sin x + sin y + sin z 5 ?

5.Окружность касается сторон угла ABC в точках А и С. Прямая, проходящая через точку В, пересекает окружность в точ ках D и Е, причем АЕ || ВС. Прямые AD и ВС пересекаются в точке F. Найти BF, если АВ = 1.

6.Найти все положительные корни уравнения х–2x = 2.

7.В комнате высотой 2 м 50 см хотят собрать шкаф шириной 1 м 50 см и глубиной 70 см, причем по окончании сборки шкаф окажется лежащим на полу на своей тыльной стороне. Какой на ибольшей высоты шкаф можно после сборки поставить на осно вание, не вынося из комнаты?

8.Вычислить log2 (sin 1°•sin 3° ... sin 89°).

9.Положительные числа х, у, z удовлетворяют системе

3х2 + 3хy + у2 = 75, у2 + 3z2 = 48,

х2 + xz + z 2 = 9.

Найти хy + 2yz + 3xz.

10. Найти наименьшее значение n, для которого любой кол лектив, где каждый недолюбливает не более семи из остальных,

26

можно разбить на не более чем n частей так, чтобы ни в какой части не нашлось двух человек, хотя бы один из которых недо любливает другого.

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2009 г.

Заочный тур

1.В шахматном турнире участвовали англичане, немцы и французы. Каждый англичанин сыграл в шахматы ровно с 5 нем цами и 2 французами, каждый немец — с 6 англичанами и 4 фран цузами, а каждый француз — с 3 англичанами и с одинаковым (для всех французов) числом немцев. Найти это число.

2.Решить неравенство

3.Для 50 детей детского сада закуплены 50 одинаковых таре лок. По краю каждой тарелки равномерно расположены 5 белых кружочков. Воспитатели хотят перекрасить какие либо из этих кружочков в другой цвет так, чтобы все тарелки стали различ ными. Какое наименьшее число дополнительных цветов пона добится им для этого?

4.Две параболы y = х2 и y = 2008 – х2, пересекаясь, ограни чивают некоторую фигуру. Найти уравнения всех прямых, деля щих площадь этой фигуры пополам.

5.На прямой последовательно расположены точки A, В, С, D, а вне прямой — точка М так, что АВ : ВС : CD = а : b : с

иАМВ = ВМС = CMD. Найти отношение AM : DM.

6.Решить уравнение

7. Могут ли разные плоскости отсекать от одного трехгран ного угла такие пирамиды, что любые две грани, лежащие в од ной грани трехгранного угла, имеют равные площади? Могут ли они отсекать такие пирамиды от четырехгранного угла (не обяза тельно выпуклого)?

27

8. Найти первую и две последние цифры десятичной записи числа x1001, если

9.Какое наибольшее значение может принимать квадратич ная функция в точке 2009, если ее значения в трех точках –1, 0

и1 принадлежат отрезку [0; 1]?

10.Для каких натуральных n 3 существует выпуклый n угольник, у которого площадь, а также длины всех сторон

ивсех диагоналей — натуральные числа?

Очный тур, г. Москва

1.Дети в садике за один день съедают столько же яблок, сколько и груш. Найти отношение количества мальчиков к ко личеству девочек в этом садике, если известно, что каждый маль чик съедает за день 3 яблока и 2 груши, а каждая девочка — 1 яб локо и 3 груши.

2.Сколько решений имеет уравнение

2x arccos (cos 2x) = ----------- ?

2009

3. Решить уравнение

8x2 – 14x + 5 – 4x2 – 1 = 2x2 + x – 1 .

4.Две окружности, касающиеся прямой ВС в точках В и С соответственно, пересекаются в точках А и О. Прямые АО и ВС пересекаются в точке D. Найти отношение АО : OD, если АВ = 6, АС = 5, ВС = 4.

5.Найти а, при которых все решения уравнения

1 – x2 – 2ax – 2a x + a + 5 a – 1

3 = log3 --------------------------------------------- принадлежат отрезку [–3; 0].

2 a – 1

6. Все члены геометрической прогрессии {bn} являются целы ми числами. Определить, при каких из указанных ниже значениях k число b12 + b22 + ... + bk2 делится на b1 + b2 + ... + bk независимо от выбора прогрессии, если: а) k = 3; б) k = 4; в) k = 5.

28

Очный тур, г. Нижний Новгород, г. Курск

1.Решить уравнение tg x = ctg (x + 2009).

2.В метро города N можно провозить предметы, длина и ширина которых не превосходят 1 м, а высота не превосходит 150 см. Можно ли, согласно этим правилам, провезти неразбор ную удочку длины 206 см в коробке, имеющей форму прямо угольного параллелепипеда? Толщиной удочки можно пренеб речь, сгибать удочку не разрешается.

6x + 1

3. Решить неравенство ------------------ х2 + 3.

9x + 4x

4.При каких значениях а строго между двумя корнями урав нения ах2 + x + 2а2 = 0 находится ровно один корень уравнения ах2 + 2x – 2а2 = 0 и строго между двумя корнями второго уравне ния находится ровно один корень первого уравнения?

5.Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются

вточке Н. Найти длины сторон этого треугольника, если извест но, что АН = ВН = 3, СН = 17.

6.Указать, какие из следующих функций:

а) y = sin |x|; б) y = cos |x|; в) y = |sin x| + |cos x|,

заданные при х ( ; + ), являются периодическими, и найти все периоды таких функций.

Очный тур, г. Томск, г. Улан$Удэ

1.Решить неравенство 22x + 502•2x + 2 – 2009 0.

2.Сколько членов арифметической прогрессии, состоящей из 2009 чисел, с первым членом 12 и разностью 3 являются также членами бесконечной геометрической прогрессии, первый член

изнаменатель которой равны 3?

3.Решить уравнение

4. При каких значениях параметра а все решения неравенст ва |x – а| 3 – х2 образуют отрезок длины 1?

29

5. В треугольнике ABC косинус угла А равен 1/8, длина бис сектрисы AL этого треугольника равна 10/3, длина стороны ВС равна 6. Найти длины сторон АВ и АС этого треугольника.

24

6. Какие из значений: 4, ---5-- , 5 может принимать отношение

периметра прямоугольного треугольника к квадратному корню из его площади?

Очный тур, г. Челябинск

1.Решить уравнение x4 + 12x + 12 = 2x + 3.

2.Решить неравенство | 36x2 – 1 – 2| 3.

3.По пути из дома на рынок Валера купил в ларьке газету «Московский комсомолец» и стал ее читать. На рынке он пре рвал чтение, купил картошку и пошел обратно. Пройдя мимо ларька, Валера вновь продолжил чтение газеты. Каково расстоя ние от дома до рынка, если путь занял один час, скорость Валеры налегке составила 6 км/ч, с картошкой — 3 км/ч, а чтение газеты снизило скорость до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?

4.Решить уравнение

5.Медиана ВМ треугольника ABC делится вписанной в него окружностью на три отрезка в отношении 1 : 2 : 1, считая от вер шины. Найти длины сторон АВ и ВС, если АС = 3.

6.Какие из значений: 2, 12/5, 5/2 может принимать в прямо угольном треугольнике отношение радиуса его описанной ок ружности к радиусу его вписанной окружности?

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2010 г.

Заочный тур

1. В волейбольном турнире каждая команда сыграла с каж дой ровно по одному разу, причем 25% команд ни разу не выиг рали. Сколько команд участвовало в турнире?

30

5

2. Решить уравнение 3 cos x + 4 sin x sin y = ------------------------- . cos 2010y

3.Найти произведение двух трехзначных натуральных чи сел, если оно втрое меньше шестизначного числа, получающего ся приписыванием одного из этих двух чисел вслед за другим.

4.Решить уравнение [nlg 2] + [nlg 5] = 2010 относительно на турального числа n (через [х] обозначается наибольшее целое число, не превосходящее х).

5.Из вершины С прямого угла треугольника ABC опущена высота СН. Где на отрезке ВН нужно поставить точку М, чтобы из отрезков АН, AM и СМ можно было составить прямоуголь ный треугольник?

6.Найти все значения k > 2, при каждом из которых сущест вует непостоянная арифметическая прогрессия x1, ..., xk и квад

ратный трехчлен f(x), для которых f(x1), ..., f(xk) — геометриче ская прогрессия.

7. Прямые l1, l2 и l3 пересекаются в точке А под углом 60° друг к другу. Заяц, начиная из точки А, совершает последова тельные прыжки длиной 1 каждый: первый прыжок — в направ лении прямой l1, второй — в направлении l2, третий — в направ лении l3, следующий — в направлении l1 и т. д. (по циклу). В ка кой то момент заяц остановился на одной из этих трех прямых на расстоянии 2010 от точки А. В каком направлении был совер шен его последний прыжок?

8.Найти наименьшее значение величины 2|х| – |y| при усло вии log4 (х + 2у) + log4 (x – 2у) = 1.

9.Существует ли тетраэдр, длины всех шести ребер которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 32 ?

10.Число Р — произведение всех простых чисел, мень ших 30. Из натуральных делителей числа Р требуется составить множество М, в котором ни одно число не делится нацело на другое. Какое наибольшее количество чисел может содержать множество M?

Очный тур, г. Москва

1. У Маши есть два разных стакана цилиндрической формы. Она заметила, что пакет муки можно так высыпать в эти стака

31

ны, что уровень муки в первом стакане составит 12 см, а во вто ром — 10 см, или так, что уровень муки в первом стакане соста вит 9 см, а во втором — 12 см. На каком уровне окажется мука в каждом из этих стаканов, если муку из пакета высыпать в ста каны поровну?

уравнение 62 cos x•ctg x – 22 ctg x + 3 cos x – 1 = 0? Найти эти решения.

3. Положительные числа b1, b2, b3, b4, b5 составляют геомет рическую прогрессию. Сумма логарифмов по основанию 3 от этих чисел равна 10. Найти эти числа, если log3 b1•log3 b5 = 3.

4.Окружность с центром в точке О, лежащим на стороне АВ треугольника ABC, проходит через точку А, пересекает сторону АС в точке K, а сторону ВС — в точках L и М. Известно, что KС = CL = MB = 2, АK = 3. Найти отношение длин отрезков АО

иОВ.

5.Найти все значения параметра а, при которых для любого значения параметра b неравенство (а + b)х2 + (3b – 4а + 7)x +

+4а – 2b – 6 0 имеет хотя бы одно решение.

6.Через точки М, N, K, L, лежащие соответственно на реб рах SA, SB, SC, SD правильной четырехугольной пирамиды SABCD (S — вершина), проведена плоскость. Известно, что МК NL, SN = 3•SL и площадь треугольника SMK равна 12. Найти площадь треугольника SLN.

Очный тур, г. Уфа

1. Петя и Вася выходят одновременно из пункта А и идут в пункт В, Петя по шоссе, а Вася по тропинке. Найти расстояние между А и В по шоссе, если путь по тропинке короче пути по шоссе на 5 км, скорость движения Васи 3 км/ч, а скорость Пети — натуральное число, и он приходит в В на один час позже Васи.

2. Решить уравнение 25sin x + 24 + 23 cos x = 0.

3. Решить неравенство log 1 x –2–х.

-----

16

32