olimpiady_matematika

0,001 из интервала (0; 1) найдется значение a, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?

(А. В. Шаповалов)

Второй день

1. Кривая на плоскости в некоторой системе координат (де картовой) служит графиком функции y = sin x. Может ли та же кривая являться графиком функции y = sin2 x в другой системе координат? Если да, то каковы ее начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц дли ны)?

(А. Л. Канунников, И. Н. Сергеев)

2. Верно ли, что любые 100 карточек, на которых написано по одной цифре 1, 2 или 3, встречающейся не более чем по 50 раз каждая, можно разложить в один ряд так, чтобы в нем не было фрагментов 11, 22, 33, 123 и 321?

(П. А. Бородин)

3. Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что

ABO = CAO, BAO = BCO, BOC = 90°.

Найти отношение AC : OC.

(И. Н. Сергеев)

4. При какой перестановке a1, a2, ..., a2011 чисел 1, 2, ..., 2011 значение выражения

a a2011 a... 2010

a1a2 3

будет наибольшим?

(О. Н. Косухин)

5. По ребрам треугольной пирамиды ползают четыре жука, при этом каждый жук все время остается только в одной грани (в каждой грани — свой жук). Каждый жук обходит границу своей грани в определенном направлении, причем так, что любые два жука по общему для них ребру ползут в противоположных на правлениях. Доказать, что если скорости (возможно, непостоян ные) каждого из жуков всегда больше 1 см/с, то когда нибудь ка кие то два жука обязательно встретятся независимо от пирами ды, начального положения и скорости жуков.

(Фольклор)

13

ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «ЛОМОНОСОВ» МГУ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА

Олимпиада «Ломоносов» традиционно проводится в МГУ им. М. В. Ломоносова начиная с 2005 г., когда по согласо ванию с Министерством образования и науки РФ, Департамен том образования г. Москвы и Советом ректоров г. Москвы и Московской области был дан старт олимпийскому движению. Проводится олимпиада под девизом «via scientiarum», что в пере воде с латыни означает «путь к знаниям». Цель олимпиады школьников «Ломоносов» сформулировал инициатор и вдохно витель олимпиадного движения ректор МГУ имени М. В. Ломо носова академик В. А. Садовничий: «Отбор и поиск талантливых ребят — стратегическая задача Московского университета... Мы стремимся привлечь талантливую молодежь к фундаментальным научным исследованиям. Талантливая молодежь — националь ное достояние». Информацию об олимпиаде можно найти на официальном портале олимпиады в сети Интернет по адресу http://lomonosov.msu.ru/. Для успешного решения задач олимпи ады «Ломоносов» нужно продемонстрировать не только хорошее знание основных теорем и формул школьного курса математики, но и умение логически мыслить, находить нестандартные пути решения, проводить исследования.

Олимпиада «Ломоносов», 2005 г.

3. Найти площадь трапеции ABCD, если длина ее боковой стороны ВС равна 5, а расстояния от вершин А и D до прямой ВС равны 3 и 7 соответственно.

14

4.Решить уравнение log4(4sin2 2x) = 2 – log2( –2 tg x).

5.На окружности взята точка А, на ее диаметре BC — точ ки D и E, а на его продолжении за точку В — точка F. Найти ВС, если известно, что BAD = ACD, BAF = CAE, BD = 2, BE = 5 и BF = 4.

6.Решить неравенство 5|x| x(3х + 2 – 28 – 2x – x2 ).

7.Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами

5, 12 и 13, а ее высота образует с высотами боковых граней, опу щенными из той же вершины, одинаковые углы, не меньшие 30°. Какой наибольший объем может иметь такая пирамида?

8.Найти все значения а, при каждом из которых уравнение 4х – |3х – |х + a|| = 9|х – 1| имеет хотя бы одно решение.

9.Группа отдыхающих в течение 2 ч. 40 мин. каталась на мо торной лодке по реке с постоянной скоростью относительно во ды попеременно то по течению, то против: в каждую сторону

вобщей сложности не менее, чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь в 40 км относительно берега и, отчалив от пристани A, при чалила к пристани В на расстоянии 10 км от А. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость ее течения?

10.При каждом натуральном п тело Фп в координатном про

странстве задано неравенством 3|х|n + |8y|n + |z|n < 1, а тело Ф — объединение всех тел Фп. Найти объем тела Ф.

Олимпиада «Ломоносов», 2006 г.

15

4.Точки A, B и C лежат на одной прямой. Отрезок АВ явля ется диаметром первой окружности, а отрезок ВС — диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку А, пересе кает первую окружность в точке D и касается второй окружности

вточке Е, при этом BD = 9, BE = 12. Найти радиусы окружнос тей.

5.Из пункта A в пункт В в 8 часов выехал велосипедист, а че рез некоторое время из В и А вышел пешеход. Велосипедист прибыл в пункт В через 6 ч после выхода оттуда пешехода. Пеше ход прибыл в пункт А в 17 ч того же дня. Какую часть пути из пункта A в пункт В проехал велосипедист до его встречи с пеше ходом?

6.Решить неравенство 4 – x – 2 х |x – 3| + 4x.

7.Найти все значения а, при каждом из которых уравнение cos 2x – 2a sin x – |2a – 1| + 2 = 0 имеет решения и все его поло жительные решения образуют арифметическую прогрессию.

8.В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикуляр

но плоскости ABC, угол SCB — прямой, ВС = 5 , АС = 7 . Последовательность точек {On} строится следующим образом: точка O1 — центр сферы, описанной около пирамиды SABC, и для каждого натурального n 2 точка On — это центр сферы, описанной около пирамиды On – 1 ABC. Какую длину должно иметь ребро SA, чтобы множество точек {On} состояло ровно из двух различных точек?

9.На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник т × п кле ток, причем числа т и п взаимно просты и т < п. Диагональ это го прямоугольника не пересекает ровно 116 его клеток. Найти все возможные значения т и п при данных условиях.

10.Решить неравенство 4(1 – tg x)2004 + (1 + tg x)2006 22006.

Олимпиада «Ломоносов», 2007 г.

1.Вычислить (sin α – cos α) (sin β – cos β), если sin (α + β) = 0,8 и cos (α – β) = 0,3.

2.Решить уравнение 2(x2) = ( 25x)5 .

16

3. Какие значения может принимать выражение logb11b50 (b1b2 ... b60), где b1, b2, ... — геометрическая прогрес сия?

x + 7 – 2x – 1

5.На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается пря мой ВС. Найти AD, если АС = 9, ВС = 12 и CD = 6.

6.Натуральные числа a, b и с таковы, что НОК (a, b) = 60

иНОК (a, c) = 270. Найти НОК (b, c).

7.Определить, под каким углом видно из начала координат множество, заданное на координатной плоскости неравенством

14х2 + ху + y2 + 14х + 2у + 4 < 0.

8.Грани двугранного угла пересекают боковую поверхность цилиндра радиуса 5, образуя с его осью углы 70° и 80°, а ребро двугранного угла перпендикулярно этой оси и удалено от нее на расстояние 11. Найти объем части цилиндра, расположенной внутри двугранного угла.

9.Найти все х (0, π], удовлетворяющие уравнению

|tg x tg 2x tg 3x| + |tg x + tg 2x| = tg 3x.

10. В течение четверти учитель ставил Мише оценки «1», «2», «3», «4» и «5», при этом среднее арифметическое всех его оценок оказалось равным в точности 3,5. Тогда учитель заменил одну оценку «4» парой оценок «3» и «5». Доказать, что от этого средняя оценка Миши увеличилась. Найти наибольшее возмож ное ее значение после такой замены:

1) одной оценки «4»; 2) всех его оценок «4».

Олимпиада «Ломоносов», 2008 г.

1

--------------------- + 4

5 – 2k

2. Какое наибольшее число раз можно последовательно взять логарифм по основанию 3 от числа 2781? Первый раз лога

17

рифм берется от этого числа, а затем всякий раз — от числа, по лученного в предыдущий раз.

3. Найти все значения a, при которых система

x2 + y2 = 4,

(x – 3)2 + (y + 4)2 = а

имеет единственное решение.

4. Лиса преследовала кролика по прямолинейной дорожке, ведущей к норе кролика. Их скорости были постоянны. В неко торый момент расстояние от кролика до норы было равно 7 м, а до лисы — 13 м. В некоторый следующий момент расстояние между кроликом и норой стало вдвое меньше расстояния между ним и лисой. Успела ли лиса догнать кролика, прежде чем тот юркнул в нору?

5. Найти радиус окружности, описанной около равнобед ренного треугольника с основанием 6, если синус одного его угла равен косинусу другого.

8. Основанием прямой призмы АВСА1В1С1 служит прямо угольный треугольник с катетами АВ = 3 и АС = 4. Через середи ну бокового ребра ВВ1 = 10 параллельно АС проведена прямая l. Какие значения может принимать площадь параллелограмма, у которого две вершины — точки А и В, а остальные две верши ны лежат на прямых А1С и l соответственно?

9. Найти все натуральные значения п, удовлетворяющие уравнению

2002[n10012 + 1 ] = n [200210012 + 1 ],

где [x] — наибольшее целое число, не превосходящее числа x.

10. На числовой прямой отмечены 4 синие точки, соответст вующие первым членам геометрической прогрессии с первым членом –2 и знаменателем –2, а также 4 зеленые точки, соответ ствующие первым членам некоторой арифметической прогрес сии с первым членом –5. Какова при этом наименьшая возмож

18

ная сумма длин четырех отрезков с разноцветными концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек явля ется концом одного из отрезков.)

Олимпиада «Ломоносов», 2009 г.

1.На сколько одно из двух положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно 32 , а среднее геометрическое равно 2 ?

2.В свежих грибах содержание воды колеблется от 80 до 99%, а в сушеных — от 20 до 40%. В какое наибольшее число раз при этих условиях может уменьшиться вес грибов в результате сушки?

3.При каждом значении a решить уравнение

4.Можно ли данный двугранный угол величиной 90° пере

сечь плоскостью так, чтобы в полученном сечении образовался угол величиной 130°?

5.Каким может быть наибольший общий делитель нату ральных чисел m и n, если при увеличении числа m на 6 он уве личивается в 9 раз?

6.Сколько решений на отрезке [0, π] имеет уравнение

7 sin x + 6 = |7cos x + 2|?

7.Две окружности касаются внешним образом: друг друга

вточке A, а третьей окружности — в точках В и С. Продолжение хорды АВ первой окружности пересекает вторую окружность

вточке D, продолжение хорды АС пересекает первую окруж ность в точке Е, а продолжения хорд BE и CD — третью окруж ность в точках F и G соответственно. Найти ВС, если BF = 12 и ВG = 15.

8.Настенные часы сломались, отчего минутная стрелка ста ла в произвольные моменты времени мгновенно менять направ ление своего движения на противоположное, вращаясь со сво ей прежней угловой скоростью. Все потенциальные показания (в минутах) этой стрелки целиком заполняют промежуток [0, 60). 1) Может ли такая стрелка в течение одного часа сколь угодно

19

много раз показать каждое из чисел 10 и 40? 2) Какое наибольшее количество раз в течение четырех суток может встретиться самое редкое (за эти четверо суток) показание такой стрелки?

9. Найти все пары (х, у), при которых для чисел

u = 9 + x3 – 4x – x – 2y и v = 3 – x – 2 y

справедливы сразу все три следующих высказывания: если |u| > |v|, то u > 0; если |u| < |v|, то v < 0; если |u| = |v|, то u > 0, a v < 0.

Олимпиада «Ломоносов», 2010 г.

1. Решить неравенство

(2 – 3 )(log3 4)2 – x2 (2 + 3 )–(log4 3)2 – 3x .

2.На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка Е, а на боковых сторонах АВ и ВС точки D и F соот ветственно так, что DE || ВС и EF || АВ. Какую часть площади треугольника ABC занимает площадь треугольника DEF, если BF : EF = 1 : 3?

3.Два вкладчика вложили деньги в общее дело. После этого один из них добавил еще 1 млн р., в результате чего его доля в об щем деле увеличилась на 0,05, а когда он добавил еще 1 млн р., его доля увеличилась еще на 0,04. Сколько денег ему нужно до бавить еще, чтобы увеличить свою долю еще на 0,06?

4.Решить неравенство

5.Числа 24 и 2187 являются членами геометрической про грессии. Найти все натуральные числа, которые могут встретить ся в этой прогрессии.

6.Проекции некоторой кривой в координатном пространст ве на плоскости Оху и Oxz удовлетворяют уравнениям cos x +

+ 3y = 0 и x = arctg z + 4 соответственно. Найти функцию z = f(y), график которой состоит из тех и только тех точек, кото рые могли бы при этих условиях служить проекциями точек той же кривой на плоскость Oyz.

20

ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ «ПОКОРИ ВОРОБЬЕВЫ ГОРЫ» МГУ ИМ. М. В. ЛОМОНОСОВА И ГАЗЕТЫ «МОСКОВСКИЙ КОМСОМОЛЕЦ»

Олимпиада «Покори Воробьевы горы» является сов местной акцией МГУ им. М. В. Ломоносова и газеты «Москов ский комсомолец», одной из основных целей которой является поиск одаренных и талантливых школьников во всех уголках на шей страны. Олимпиада состоит из двух туров: заочного и очно го. Задачи первого тура предполагают продолжительную работу, зачастую имеющую свойства своего рода небольшого исследова ния. Задачи же второго — очного тура, проходящего не только в г. Москве, но и ряде других городов России, служат цели провер ки общего уровня математической подготовки участников.

Официальный сайт олимпиады размещен в сети Интернет по адресу http://www.mk.ru/msu/ на портале олимпиады.

Олимпиада «Покори Воробьевы горы», 11 класс, 2005 г.

Заочный тур

1.Три брата возвращались с совместной рыбалки домой, где их ожидал бочонок холодного кваса. Старший брат шел втрое медленнее младшего и вдвое медленнее среднего. Придя домой, младший сразу принялся за бочонок и выпил 7 ю его часть

кприходу среднего брата, который присоединился к младшему и стал поглощать квас с такой же скоростью. Достался ли квас старшему брату?

2.Решить неравенство |x + 3 – 2| + x + 3 + |x + 1| х + 3.

3.Бригада землекопов должна была в 8.00 начать рыть тран шею. Однако, простояв в очереди за лопатами, они приступили к

работе позже: первый на 5 мин, второй на 10 мин, третий на 15 мин и т. д. Вырыв траншею в 12.00, они ушли на обед, а с 13.00 до 16.30 вырыли вторую такую же траншею. Сколько было зем лекопов?

22