olimpiady_matematika

BH

. Как видно из рис. 59, BK — это вы

Из BKH sin ϕ = ---------

BK

сота в ABP . Поэтому S

1

AP

•BK =

a2 3

. AP

оп

= --

------------

1

1

ABP1 2

1

12

ределим из ABP

по теореме косинусов: AP

=

a

7

. Тогда

1

1

----------

3

a

3

6 . Получаем:

BK = ---------- , т. е. BK =

2

7

2

1

sin ϕ = ------ ;

cos ϕ = ------ .

6

3

Вычислим площадь сечения:

100

дит -------- км. Для старого автомобиля расход бензина на 100 км

p

100

км.

составит (p + 1,25) литров и на 1 литре он проходит ---------------------

p + 1,25

Составим уравнение

100

100

-------- =

--------------------- + 4, или 4p2 + 5p – 125 = 0.

p

p

+ 1,25

Откуда p = 5 л для нового автомобиля, а для старого автомо

биля p + 1,25 = 6,25 л.

2.

π

π

+ 2πn, n Z;

ОТВЕТ: x = --

+ πk, k Z; x --

2

3

2

π

Z.

x = ------ + 2πm, m

3

РЕШЕНИЕ. cos 3x + 2 cos x = 0; 4 cos3 x – 3 cos x + 2 cos x = 0;

π

+ πk, k Z.

cos x(4 cos2 x – 1) = 0. cos x = 0; x = --

2

4 cos2 x – 1 = 0; cos x =

1

π

--

; x = -- + 2πn,

2

3

2π

Z, m Z.

или x = ------ + 2πm, n

3

РЕШЕНИЕ. a

= 28; d = –3, S

(28 + 28 – 3(n – 1))n

68,

1

n

= -----------------------------------------------------------

2

3n2 – 59n + 136 0, n

8

, но n N, поэтому n [3; 17] ∩ N.

-- ; 17

3

4. ОТВЕТ: x =

1

-- , x = 2.

8

РЕШЕНИЕ. (log2 x) log27 (4x) = log3 2; ОДЗ: x > 0.

log

log2 (4x)

= log

2; log

x(2 + log

x) = 3;

2

x -----------------------

3

2

2

3log2 3

log2 x = –3,

x =

1

log2 x + 2 log

x – 3 = 0

-- ,

2

log2 x = 1

8

2

x = 2.

5. ОТВЕТ: {0} [2; 3].

РЕШЕНИЕ. (

9 – x

2

1

1

– 3) --------------------- –

-----------------

0;

2x + 2

x + 4

x > –4,

ОДЗ:

x > –1,

x (–1; 3].

x2 – 9 0

9 – x2

– 3 0,

9 – x2 9,

x = 0,

x + 4 – 2x + 2 0,

x + 4 2x + 2,

x 2,

9 – x2 3,

9 – x2 9,

x R,

x + 4

2x + 2 ;

x + 4 2x + 2;

x 2;

x = 0, с учетом ОДЗ получаем: x [2; 3] {0}.

x 2;

6. ОТВЕТ:

1

; + .

--

5

Множество значений g(x) принадлежит

промежутку (– ;

4].

Для функции

f (x) =

125•0,2g(x)

область определения

D(f (x)) = E(g(x)),

поэтому

множество

значений E(f (x))

=

1

= [125•0,24; + ) или E(f (x)) =

5-- ; + .

M

B

a

C

3x

4x

A

H

5x

E

a

D

Рис. 61

AM + MD – AD

в прямоугольный треугольник AMD, равен: 3 = ---------------------------------------------- .

2

Из подобия треугольников ABE и AMD выражаем AM и MD.

Получим, что AD = 15, S

= 30 =

15 + 15 – 5x

12x

ABCD

----------------2------------------

• --------- . Откуда

5

x = 1, BC = a = 10, AB = 3, CD = 4.

9

3 = -- + x.

Находим: x = 1; a = 10.

5

8. ОТВЕТ: y = – 3 x –

9

x

1

--

; y = – ------ – -- .

2

3

2

y =

2x0

(x – x ) +

x02

=

x0x

x02

--------

-----

--------

– ----- .

6

0

6

3

6

Если x01

= –3

3 ,

то уравнение

касательной имеет вид:

9

, т. е. угловой коэффициент k

= – 3 .

y = – 3 x – --

1

2

1

=

k2 – k1

, где k2

— тангенс

По условию задачи tg ϕ = ------

----------------------

3

1 + k1k2

угла наклона 2 й касательной. Находим k

1

2

= – ------ .

3

1

1

x

1

имеет вид: y = – ------ (x +

3 ) + --

или y = – ------

– -- .

3

2

3

2

9. ОТВЕТ: a (– ; 0]

1

; 1

3

; +

;

--

--

2

2

при a (– ; 0), x =

2 – 4 + 8a2

– 12a

2

-----------------------------------------------------

;

a

a = 0, x = 9;

1

8a – 12

;

a -- ; 1

, x = --------------------

2

a

3

; +

, x =

2 + 4 + 8a2

– 12a

2

a --

-----------------------------------------------------

.

2

a

8a – 12

, при условии, что

a = 0 нет решений, при a = 0 имеем x = --------------------

a

x 0, получаем 1 решение для a

0;

3

.

--

2

Раскрывая модуль для x > 0, получаем ax – 4 x – 8a + 12 = 0.

Пусть t = x > 0,

at2 – 4t – 8a + 12 = 0,

(1)

абсцисса вершины параболы f (t) t

=

4

2

в

------ =

-- , где

2a

a

D

= 4 + 8a2 – 12a, условие существования корней D 0,

----

4

8a2 – 12a + 4 0, 2a2 – 3a + 1 0, a

1

[1; + ).

– ; --

2

Рассмотрим случай, когда коэффициент при t2 равен нулю, в

этом случае t = 3 при a = 0.

1

, t = 4,

Если D = 0, то a =

--

2

t = 2.

1,

f (0)

< 0,

2a – 3

> 0,

Если ----------

-----------------

a

a

то a (– ; 0)

3

; + — одно решение.

--

2

f (0) = 0,, то a =

3

Если

-- — одно решение.

tв > 0,

2

D > 0,

Если

f (0)

> 0

1

1;

3

— два решения.

----------

, то a 0; --

--

a

2

2

x

a•2

a

= 1, x = 2y, B

P

2a

, C P

a

--

• -----------

• ------

2

= ------

= -- .

y

2•a 2a

1

3

1 2

3

A1

M

P2

B1 P

a

A1

a

B1

C1

B

A

a

B

A

P3

P1

C

Рис. 62

Рис. 63

P

A1

B1

a

2

x

M

a

P2

2

y

C1

Рис. 64

A

B

M

P3 K

P 2

Рис. 65

3) В плоскости ABC (рис. 65) след секущей плоскости парал

лелен MP

2

— это AP , M′ P ′ — ортогональная проекция MP на

3

2

2

плоскость ABC, BP

a

3

= -- .

3

Площадь проекции сечения AMP2P3 на плоскость ABC

равна

Sпр. = SAP

P ′ M′ = SABC – SABP

3

– SCM′ P ′ =

3

2

2

1 a2 3

1

a

3

1

a a

3

a2 3

= -- ------------ –

-- a•

--

• ------

– --

• -- •

--

• ------

= ------------ .

2

2

2

3

2

2

2

3

2

8

1

AP

•BK. AP

Рис. 66

= --

3

находим по теореме

2

3

AP2

= a2

a2

a

1

7a2

;

+ -----

– 2•a• --

• --

= --------

3

9

3

2

9

AP

a

7

a

3

3

= ----------

; BK = ---------- = 3 .

3

2

7

Из треугольника

BKH (рис. 66)

sin ϕ

1

2

,

= ------ ; cos ϕ =

--

3

3

S

Sпр

a2

3•

3

21

сеч.

= -------------

= ------------------------- =

---------- .

cos ϕ

8 2

2

2

sin x 0,

x = πk,

3 sin x + 2 sin x cos x = 0;

5π

+ 2πm, k, n, m Z,

x = ------

sin x < 0,

6

π

+ 2πn.

– 3 sin x + 2 sin x cos x = 0

x = – --

6

S

2a1

+ d( n – 1)

25

= --------------------------------------- n = 1825.

2

4. ОТВЕТ:

1

----- ; 9.

27

РЕШЕНИЕ. ОДЗ: x > 0. Преобразуем исходное уравнение

log

x log

log3

x log3 3x

log3 x ( log3 x + 1)

=

3x = log 3 ------------------------------------

= log 3 ------------------------------------------------

3

64

2

log3 64

2

6 log3 2

log3 x = –3,

1

= log

3 (log

x)2 + log

x – 6 = 0

x = ----- ,

2

3

3

log3 x = 2

27

x = 9.

5. ОТВЕТ: x [0; 4) (4; 16).

РЕШЕНИЕ. Сделаем замену переменной t = x 0. Тогда ис

ходное

неравенство

принимает

t + 4

t + 10

вид: ------------

----------------------------

2 – t

t2

– 6t + 8

t

+ 3

------------

0,

t [0; 2) (2; 4). Переходя к переменной x, по

t

– 4

t = 2