Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нежинский государственный университет им. Н. Гоголя

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

olimpiady_matematika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

смотреть случай, когда x												1	; 0			. Покажем, что и в этом слу
												1
						0				– -----
						0					16
чае cos		26							27
чае cos	x0	+ --8---		< cos x0					+ --8---			. Имеем:
x			1		x				26				51		26		≡ [3,1875; 3,25]
			1	; 0					26				51		26
	0		– -----	; 0		0	+ -----						-----		; -----
	0		16			0			8				16		8

				π < x					26			< x			27		< 2π.
				π < x				0	+ -----			< x		0	+ -----		< 2π.
								0	8					0	8

Полученные выкладки показывают, что при n = 27 (значит, и при n 27) данная в условии задачи система неравенств реше ний не имеет.

5.	ОТВЕТ: а			–1 – 43		[7; + ).
				–1 – 43
			– ; ------------------------
					3
6.	2	S			1
6.	ОТВЕТ: -----	S		SLN	-- .
	25			SLN	8

РЕШЕНИЕ. Пусть SH — высота пирамиды, Р — точка пересе чения диагоналей KМ и LN четырехугольника KLMN. Так как прямые KМ и LN лежат соответственно в плоскостях ASC и BSD, а эти плоскости пересекаются по прямой SH, точка Р так же лежит на этой прямой. Рассмотрим треугольник KSM, в нем

1	1	,	KSM = 90° (так как угол ASC — прямой),
KS = --	, SM = --	,	KSM = 90° (так как угол ASC — прямой),
2	3

SP — биссектриса угла KSM этого треугольника (рис. 48). При менив формулу для нахождения длины биссектрисы прямого уг ла прямоугольного треугольника, получим, что:

	2SK•SM	2
SP =	-------------------------------	= ------ .
	SK + SM	5

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник BSD, в ко тором точка L лежит на отрезке SB, точка N — на отрезке SD, отрезок LN содержит точку Р (рис. 49). Здесь SP также являет ся биссектрисой угла BSD. Пусть SL = х, SN = у, 0 x, y 1. Имеем:

SP =	2 SL • SN	2	2xy	x
SP =	-- - SL - - - - - - - - - - + - - - - - - SN - - - - - - - -- -	------	= -------------	y = ----------------- .
		5	x + y	5x – 1

133

Рис. 48

Рис. 49

Так как y

x 1. Площадь треугольника SLN

1, то --

равна S

SLN

-- SL•SN = --

• ----------------- . Рассмотрим функцию

– 1

и найдем ее наименьшее и наибольшее значе

S(x) = --

• -----------------

5x – 1

ние на отрезке

x 1. Найдем производную этой функции.

Имеем:

1 2x(5x – 1) – 5x2

x(5x – 2)

S′(x) = -- • --------------------------------------------- =

--------------------------- .

(5x – 1)2

2(5x – 1)2

На отрезке

x 1 производная S′(x) равна нулю в точке

x = -- . Найдем значения функции S(x) в точке x =

-- , а также

в точках x = 1 и x = -- . Имеем:

S 5--

25----- , S(1) =

8--

, S 4--

8-- .

134

Наименьшее из этих значений равно	2	, наибольшее —	1
Наименьшее из этих значений равно	-----	, наибольшее —	-- .
	25		8

Так как, кроме того, функция S(x) непрерывна на отрезке

-4- x 1, то она принимает на нем и все промежуточные значе ния. Таким образом, площадь треугольника SLN может прини

2	S		1
мать все значения из интервала -----	S	SLN	-- .
25		SLN	8

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ МФТИ

Математическая олимпиада школьников МФТИ МФТИ, 2009 г.

1.	π	+ πn, n Z.
1.	ОТВЕТ: --	+ πn, n Z.
	4

							sin x( 4cos2			x – 1)
							sin x( 4cos2			x – 1)
							------------------------------------------------ = ctg2 x,
							cos x	( 4cos2		x – 1)
РЕШЕНИЕ.				sin 3x			sin x	= 0,
				sin 3x			sin x	= 0,
			----------------------------------------- = ctg2 x				cos x = 0,
			cos 3x + 2cos x
			cos 3x + 2cos x
							cos x	1		;
							cos x		= --	;
						π		2
						π	+ πn, n Z.
		tg x = ctg2 x, tg3 x = 1, x = --					+ πn, n Z.
						4
2.		ОТВЕТ:	5	1	.
2.		ОТВЕТ:	-----	; – -----	.
			16	16
РЕШЕНИЕ.
				4x2		3	2x
				4x2		3	2x
				-------- + x2 – 9y2		= --	– ----- ,
				9		4	3
				9		4	3
				15
				15
				----- – 2x – 4y = 1 + 4y
				16
	x2 – 9y2 0,			16					x2 – 9y2 0,


	3	2x								9
	-- – ----- 0,								x ----- ,
	4	3							16
	1 + 4y 0,					4x2			4y –1,
	1 + 4y 0,								4y –1,
	4x	2		9	2•2•3x					9
	-------- + x2 – 9y2 = -----				– ----------------------	+ --------,			x = 8y2 + -----		,
	9			16	4•3	9				32
	15	– 2x – 4y = 1 + 8y + 16y2									1
	-----	– 2x – 4y = 1 + 8y + 16y2							x = –8y2 – 6y – ----- .
	16										32

136

		Решая систему, получим 8y2		+ 3y +	5	= 0, y		1	;
		Решая систему, получим 8y2		+ 3y +	-----	= 0, y	1	= – -----	;
					32		1	16
y		5		5
y	2	= – -----	(посторонний корень), x = ----- .
	2	16		16

3. ОТВЕТ: (–1; 0) (0; 1) (1; 4).

РЕШЕНИЕ. log|x| (5 – x + 4) 2 logx2 (8 – 2x),

5 – x 0,

8 – 2x > 0, ОДЗ: x = 0,

|x| = 1.

Исходное неравенство равносильно:

x < 4, ОДЗ: x ≠ 0,

|x| ≠ 1

|x| > 1,

( 5 – x + 4) (8 – 2x);

( 5 – x ) 4 – 2x;

|x| < 1,

( 5 – x + 4) (8 – 2x)

5 – x (4 – 2x).

Сначала решим систему

|x| > 1,

x 2,

x (1; 2],

4x2 – 15x + 11 0;

( 5 – x ) 4 – 2x

x (2; 5],

x > 2,

5 – x 0

учитывая ОДЗ, получим x (1; 4).

Решим теперь вторую систему

|x| < 1,

x 2,

x (–1; 1).

( 5 – x ) 4 – 2x

5 – x 0,

4x2 – 15x + 11 0

Учитывая ОДЗ, получаем x (–1; 0) (0; 1). Объединяя ре шения обеих систем, получим ответ: x (–1; 0) (0; 1) (1; 4).

4.	79	21	12
4.	Ответ: ---------	, ---------	, ------ .
	5	5	7

137

РЕШЕНИЕ. Точки K, L, M находятся на одной высоте от

, где H высота призмы (рис. 50).

плоскости ABCD, равной -------

Рис. 50

Пусть K′, L′, M′ — проекции точек K, L, M на плоскость ABCD. Из исходных данных получаем, что ABC = BCD = 120° = = K′L′M′, так как треугольники K′BL′ и M′CL′ равны. По тео

реме косинусов находим K′L′ = M′L′ =			79	3•79	, за
реме косинусов находим K′L′ = M′L′ =			5-----	и K′M′ = -----------------	, за
			5-----	5
тем радиус окружности, описанной около треугольника K′L′M′,
r =	K′M′	79
r =	2sin-------------120----------°-	= --------- .
	2sin-------------120----------°-	5

Чтобы найти центр сферы, введем систему координат с нача лом в точке A(0; 0; 0), тогда координаты точек K, L, M будут

7 7 3 12 37 3 3

K -10---- ; ---10------- ; h , L ---5-- ; 3 ; h , M -10---- ; ---10------- ; h , где h — расстоя ние плоскости KLM от плоскости ABCD. Напишем систему уравнений сферы, проходящей через точки K, L, M.

7		2		7	3			2		2
-----				----------		– y0		+ (h – z0)			= 4,
10	– x0		+	10
12	– x	2	+		3 – y		2	+ (h – z	)2 = 4,

-----
5	0					0		0
37		2		3	3			2		2

-----				----------		– y0		+ (h – z0)			= 4,
10	– x0		+	10

138

x0, y0, z0 — координаты центра сферы точки O. Решая систему, получим x0 = 2, y0 = 0. Таким образом, получаем, что центр шара лежит на прямой OP AA′DD′. Центр описанной окружности около треугольника KLM также лежит на этой прямой, обозна чим эту точку как P ′.

Расстояние от центра сферы до этой точки OP ′ найдем из треугольника OP ′K, (OK)2 = (P ′K)2 + (OP ′)2, где OK — радиус сферы, равный 2, P ′K — радиус описанной окружности око

ло треугольника KLM,				равный	79			что
ло треугольника KLM,				равный	--------- , откуда получаем,			что
					5
21	. Чтобы найти высоту призмы, рассмотрим прямо
OP ′ = ---------	. Чтобы найти высоту призмы, рассмотрим прямо
5
угольные треугольники OKB и OBP. Сначала выразим KB из
прямоугольного треугольника K′KB, KB =						9H2	9
прямоугольного треугольника K′KB, KB =						----------	+ ----- , из тре
						100	25
				9H2	9
угольника OKB OB2 = 4 + ---------- +					----- , а из треугольника OBP по
				100	25
лучим, что OB2			= (BP)2	+ (OP)2, где BP = 2, OP			21	3H
лучим, что OB2			= (BP)2	+ (OP)2, где BP = 2, OP			= --------- –	------- ,
							5	10
OB2 = 4 +	21	–	2 21•3H	9H2
OB2 = 4 +	-----	–	--------------------------	+ ---------- , приравнивая оба выражения для
	25		5•10	100
						4
OB2, получим значение высоты призмы H = --------- , а объем призмы
						21
находим как произведение площади основания на высоту:
1	4	3	12
V = -- (4 + 2) ----------			= ------ .
2		21	7

5.	π	1
5.	ОТВЕТ: CBD = --	, BAC = arctg -- .
	4	3
		B
	β	β β
	3y	2z
		2z

	α
A	3t	E	t	D	2t	C

Рис. 51

139

РЕШЕНИЕ. Пусть ED = t, тогда AE = 3t, DC = 2t (рис. 51). Так как BE — биссектриса в треугольнике ABD, а BD — бис сектриса в треугольнике EBC, то по свойству биссектрисы если BD = y, то AB = 3y, и если BE = z, то BC = 2z. По теореме сину

сов из треугольников				ABC и ABE получаем	6t	2z
сов из треугольников				ABC и ABE получаем	---------------	= -------------- ,
					sin 3β	sin α′
z	3t		, откуда sin 3β = sin β, 3 sin β – 4 (sin β)3 = sin β,
------------	= -----------		, откуда sin 3β = sin β, 3 sin β – 4 (sin β)3 = sin β,
sin α	sin	β
	1		2	π
(sin β)2 = -- , sin β = ------				, β = -- . Треугольник ABD — прямоуголь
	2		2	4
ный, tg α =		1
ный, tg α =		-- .
		3

6. ОТВЕТ: a = -4- .

РЕШЕНИЕ. Первое уравнение системы представляет собой параболу, повернутую на 90° и двигающуюся вдоль оси OX в за висимости от значений параметра a; второе уравнение — это па рабола, двигающаяся вдоль оси OY.

Приравнивая уравнения системы, получим y = x, x2 + x + a = 0,

единственное решение это уравнение имеет при D = 0, a = -4- .

7. ОТВЕТ: (0; 0; 0),

	1		3
	– -7-	;	7-- ;

1
2-- ; 0; 0					,
1				0; 0;			1		, (1; 1; 1),
2-- ; 0			.	0; 0;			2--		, (1; 1; 1),
3			3			1		3			3		3			1
--		--			–	--	;	--			--	;	--	;	–	--
7	,	7 ;			–	7	;	7		,	7	;	7	;	–	7	.

РЕШЕНИЕ. Вычтем из первого уравнения второе 2(x2 – y2) + + z(x – y) = x – y, теперь вычтем из второго уравнения третье 2(y2 – z2) + x(y – z) = y – z, добавляя к полученным уравнениям какое нибудь третье из исходной системы, получим систему

(x – y)(2x + 2y + z – 1) = 0, уравнений: (y – z)(2y + 2z + x – 1) = 0,

2z2 = xy + z,

которая распадается на совокупность четырех систем: x – y = 0,

1) (y – z)(2y + 2z + x – 1) = 0,

2z2 = xy + z;

140

2x + 2y + z – 1 = 0,

2) (y – z)(2y + 2z + x – 1) = 0,

2z2 = xy + z;

y – z = 0,

3) (x – y)(2x + 2y + z – 1) = 0,

2z2 = xy + z;

2y + 2z + x – 1 = 0,

4) (x – y)(2x + 2y + z – 1) = 0,

2z2 = xy + z.

Решим первую систему, она в свою очередь распадается на совокупность двух систем:

x = y,

y – z = 0,

2z2 = xy + z;

x = y,

2y + 2z + x – 1 = 0, 2z2 = xy + z.

Первая система совокупности дает решения: (0; 0; 0), (1; 1; 1), вторая система совокупности дает решения:

	0; 0;	1		,	3	3	; –	1		. Аналогично решая вторую систему,
	0; 0;	2--		,	7-- ;	7--	; –	7--		. Аналогично решая вторую систему,

получаем совокупность:

z = y,

2x + 2y + z – 1 = 0,

2z2 = xy + z;

2x + 2y + z – 1 = 0,

2y + 2z + x – 1 = 0, 2z2 = xy + z.

Первая система дает решения:				1		0		,	1	;	3	3	. Вторая
Первая система дает решения:				2-- ; 0;		0		,	– -7-	;	7-- ;	7--	. Вторая
	0;	1	; 0	3	; –	1	;	3	. Аналогично решая
система дает решения:	0;	2--	; 0	, 7--	; –	7--	;	7--	. Аналогично решая

остальные системы, получаем ответ.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА «ШАГ В БУДУЩЕЕ» МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

Первый тур, 2010 г.

1. ОТВЕТ: 14 400, 10 000.

РЕШЕНИЕ. Обозначим: x (тыс. р.) — плановые затраты в пер вом месяце; y (тыс. р.) — плановые затраты во втором месяце. Тогда реальные затраты в первом месяце составляют 1,2x, а ре альные затраты во втором месяце — 1,25y. По условию задачи со ставляем систему

1,2x + 1,25y = 24 400, 24 400 = 1,22•20 000, x + y = 20 000,

решая которую, получим, что x = 12 (тыс. р.), y = 8 (тыс. р.), это затраты по плану, а реальные затраты составляют 14 400 р. и 10 000 р.

2.	π	5π	+ 2πn, n Z.
2.	ОТВЕТ: x = --	+ 2πk, k Z; x = ------	+ 2πn, n Z.
	2	6

РЕШЕНИЕ. Уравнение равносильно совокупности

							sin x = 1,
							sin x = 1,
							1
2(sin x)2 – 3 sin x + 1 = 0,							sin x = --			,
2(sin x)2 – 3 sin x + 1 = 0,							sin x = --			,
cos x 0							2
							2
									π		3π
						x			π		3π	+ 2πk
						x			-- + 2πk;		------	+ 2πk
			π					2			2
	x			+ 2πk,				2			2


		1	= --
		1	2
			5	π	+ 2πn, k		Z, n Z.
	x		5	π
	x	2	= ------
		2	6

3. ОТВЕТ: 1653.

142

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.08.2019201.73 Кб6Microsoft Word.doc
#
01.04.20253.08 Mб2n1.doc
#
06.06.2015512.84 Кб27N251p085.pdf
#
24.11.20191.86 Mб14nfe_elektrodinamika_2011.doc
#
06.06.201517.45 Кб20Nimetska_mova.docx
#
06.06.20151.72 Mб78olimpiady_matematika.pdf
#
10.08.2019286.72 Кб8Ostanniy_seminar.doc
#
01.07.202515.96 Mб18our_test.rtf
#
01.04.2025270.34 Кб2Plani_seminariv_etika.doc
#
01.07.202510.11 Mб15Podatkova_sistema_Sidelnikova_L_P.docx
#
02.09.201958.5 Кб6POLONSKA.docx