b_667_Materialu-dlya-fakyltatuviv-5-7-klas

140 Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Приклад 5. Знайти остачу вiд дiлення многочлена

Px2x3 3x2 7x 1

на двочлен x 1.

Розв’язання. Виконати дiлення «куточком».

Вiдповiдь. 5.

У прикладi 5 остача вiд дiлення многочленiв є числом, тобто многочленом нульового степеня. Це не дивно, бо дiльник — многоч лен першого степеня.

Доведення аналогiчне доведенню наслiдка 3.

*Безу Етьєн (1730–1783) — французький математик.

Наслiдок 3. При будь якому натуральному n x2n1 a2n1 xa.

Доведення. Px x2n1 a2n1 ; Sx xa x a. За теоремою Безу остача вiд дiлення Px на Sx дорiвнює Pa:

Paa2n1 a2n1 a2n1 a2n1 0.

Отже, Px дiлиться на Sx, що i треба було довести.

Для многочленiв, так само, як i для цiлих чисел, iснує поняття найбiльшого спiльного дiльника. Для знаходження НСД многоч ленiв також можна застосувати алгоритм Евклiда.

Приклад 6. Знайти найбiльший спiльний дiльник многочленiв

Px x4 2x3 2x2 4x1 i Sx x2 3x2.

Розв’язання. Як було показано вище (див. приклад 4) при дiленнi Px на Sx остача Rx x3. За алгоритмом Евклiда НСД

P x ;S x НСД S x ;R x .

Подiлимо Sx на Rx: x2 3x2 x3

x2 3x x

2

Остача R1 2 — константа, це означає, що многочлени Px i Sx взаємно простi.

Вiдповiдь. НСД Px;Sx2.

Приклад 7. Знайти НСД Px;Sx, якщо

Px6x4 2x3 5x2 x1; Sx6x3 2x2 3x 1.

Розв’язання. Подiлимо Px на Sx:

2x2 1

Rx2x2 1. Отже, НСД Px;Sx = НСД Sx;Rx.

142 Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Вiдповiдь. НСД Px;Sx2x2 1.

Варiант 2

1.Знайдiть частку i остачу вiд дiлення Px на Sx, якщо: а) Px x4 5x2 6, Sx x2;

б) Px2x4 x3 3x2 3, Sx2x2 x2.

2. За теоремою Безу знайдiть остачу вiд дiлення 3x3 x2 4x 2 на x1.

Контрольна робота з теми «Подiльнiсть чисел i многочленiв»

Варiант 1

1.Доведiть, що при будь якому цiлому n число n 4 6n3 11n2 6n дiлиться на 24.

2.Доведiть, що при будь якому натуральномуn33n2 523n1 19.

3.Числа p i 8 p2 1 простi. Чому дорiвнює p?

Перевiрте правильностi здобутих результатiв за допомогою тео реми Безу.

Варiант 2

1.Доведiть, що при будь якому цiлому n число n 4 2n3 n2 2n дiлиться на 24.

2.Доведiть, що при будь якому натуральному n7 52n 12 6 n 19.

3.Числа p, 4p2 1 i 6 p2 1 — простi. Чому дорiвнює p?

Перевiрте правильностi здобутих результатiв за допомогою тео реми Безу.