b_667_Materialu-dlya-fakyltatuviv-5-7-klas

2Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

УДК 51 ББК 22.1

Х20

Харiк О. Ю.

Х20 Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7. — Х. : Вид. група «Основа», 2008. — 143, [1] с. — (Б$ка журн. «Математика в школах України»; Вип. 8 (68)).

ISBN 978$966$333$937$5.

Пропонований посібник містить матеріали для проведен$ ня факультативних занять, спецкурсів, гуртків з математики у 5–7 класах.

Для вчителів математики загальноосвітніх шкіл, ліцеїв та гімназій.

УДК 51 ББК 22.1

Навчальне видання

ХАРIК Олена Юхимівна

МАТЕРІАЛИ ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНИХ ЗАНЯТЬ, СПЕЦКУРСІВ, ГУРТКІВ. МАТЕМАТИКА 5–7

Навчально$методичний посібник

Головний редактор І. С. Маркова

Редактор Г. О. Біловол Коректор О. М. Журенко

Комп’ютерна верстка О. В. Лєбєдєва

Підп. до друку 8.08.2008. Формат 60 90 /16. Папір газет. Гарнітура Шкільна. Друк офсет. Ум. друк. арк. 9,0. Зам. № 8$08/18$04.

ТОВ «Видавнича група “Основа”».

Свідоцтво суб’єкта видавничої справи КВ № 1390$263Р від 26.06.2006. Україна, 61001 Харків, вул. Плеханівська, 66. Тел. (057) 731$96$33

Віддруковано з готових плівок ПП «Тріада+» Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 1870 від 16.07.2007.

Харків, вул. Киргизька, 19. Тел.: (057) 757$98$16, 757$98$15.

Харік О. Ю., 2008

ЗМІСТ

Передмова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ПЕРЕДМОВА

Пропонована книга написана на основі багаторічного досвіду ви$ кладання математики у фізико$математичному ліцеї № 27 м. Хар$ кова. Посібник, містить матеріал, який допоможе вчителю в підго$ товці та проведенні факультативних занять, спецкурсів, гуртків з математики для учнів 5–7 класів. Книга складається із чотирьох розділів: «Лінійні рівняння з однією змінною», «Функції та гра$ фіки», «Системи двох лінійних рівнянь з двома змінними», «Основи теорії подільності» та містить основні теоретичні відомості із зазна$ чених тем, приклади розв’язання типових завдань, завдання для са$ мостійного розв’язування, завдання для самоперевірки, тексти контрольних робіт.

До посібника включено матеріал, присвячений розв’язанню лінійних рівнянь та систем лінійних рівнянь з параметрами, побу$ дові графіків функцій, що містять модулі. Розглянуто означення, властивості та графіки цілої й дробової частин числа. Корисним та цікавим є розділ, присвячений теорії подільності. У ньому розгляда$ ються основні теоретичні положення про подільність чисел, пода$ ється означення конгруенції за модулем, доводяться теореми, що виражають властивості конгруенцій.

Автор сподівається, що пропонований посібник стане у пригоді вчителям під час проведення уроків, факультативних занять та гуртків, сприятиме формуванню в учнів навичок розумової праці.

Розділ І. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ

ЗОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

§1. ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ

1. Найпростiшi рiвняння з модулем

Розв’язування багатьох задач практичного змiсту приводить до складання рiвнянь, якi пiсля спрощення мають вигляд: ax b, де a i b деякi числа, x – змiнна. Такi рiвняння називаються лiнiйними.

Задача. За олiвець i зошит заплатили 90 к. Зошит дорожчий за олiвець на 40 к. Скiльки коштує зошит?

Розв’язування рiвнянь виду a x b, де a i b – деякi числа, a 0

Пригадаємо означення модуля числа та його геометричний змiст. Модулем невiд’ємного числа є це саме число, модулем вiд’ємно$

го числа є протилежне до нього число:

x, x 0,

x

x, x 0.

Модуль числа – це вiдстань вiд початку вiдлiку до точки, що зоб$ ражує число на координатнiй прямiй. Наприклад, 3 3, оскiльки вiдстань вiд точки A, що зображує число (–3) на координатнiй пря$ мiй, до початку вiдлiку дорiвнює 3 (рис. 1).

6Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Модуль будь$якого числа набуває тiльки невiд’ємних значень:

Вiдстань мiж точками Aa i Bb на координатнiй прямiй – це модуль рiзницi чисел a i b: AB a b.

Приклади. Розв’язати рiвняння: а) x2.

Розв’язання

Оскiльки модуль будь$якого числа є число невiд’ємне, а 2 0, то рiвняння коренiв не має.

Вiдповiдь. Коренiв немає. б) x5.

Розв’язання

І спосiб. Згiдно з геометричним змiстом модуля числа, на коор$ динатнiй прямiй знаходимо точки, вiдстань вiд яких до початку вiд$ лiку дорiвнює 5. Це точки з координатами –5 i 5 (рис. 2).

На координатнiй прямiй знаходимо точки, вiдстань вiд яких до початку вiдлiку дорiвнює 1,5. Це точки з координатами –1,5 i 1,5.

Вiдповiдь. –1,5; 1,5. г) x0.

Розв’язання

Єдиною точкою на координатнiй прямiй, яка вiддалена вiд почат$ ку вiдлiку на вiдстань, що дорiвнює нулю, є точка з координатою 0.

Вiдповiдь. 0.

Розв’язування рiвнянь виду x a b i ax b c,

Нехай b 0 (ми вже знаємо, що при b 0 рiвняння x ab ко$ ренiв не має). Тодi для розв’язування рiвняння x ab потрiбно знайти такi точки на координатнiй прямiй, якi вiд точки з коорди$ натою a знаходяться на вiдстанi, що дорiвнює b.

bb

Розв’язання

Знайдемо на координатнiй прямiй точки, що знаходяться на вiд$ станi 3 вiд точки з координатною 2 (рис. 4).

Таких точок двi, їхнi координати: –1 i 5.

Відповідь. –1 i 5. б) x 2 5.

Розв’язання

Запишемо дане рiвняння у виглядi x 2 5. Знайдемо на ко$

ординатнiй прямiй точки, що знаходяться на вiдстанi 5 вiд точки з координатою (–2) (рис. 5). Це точки з координатами –7 i 3.

Рис. 5

Розв’яжемо це рiвняння аналiтичним способом. За означенням модуля: x 2 5 або x 2 5. Звiдки x 3 або x 7.

Вiдповiдь. –7; 3.

Розв’яжемо рiвняння ax bc.

Рiвняння ax bc можна звести до вигляду x a1 b1 . Дiйсно, перетворимо рiвняння ax bc таким чином:

8Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Знайдемо на координатнiй прямiй точки, що знаходяться на вiд$ станi 1,5 вiд точки з координатою 2,5 (рис. 6).

Розв’язання

Перетворимо дане рiвняння таким чином:

2x1,5 5; 2x1,5 5; 2 x1,5 5; x1,5 2,5; x 1,5 2,5.

Знайдемо на координатнiй прямiй точки, що знаходяться на вiдстанi 2,5 вiд точки з координатою (–1,5) (рис. 7).

–2,5 +2,5

x

Рис. 7

Розв’яжемо рiвняння аналiтичним способом. За означенням модуля:

звiдки x 4 або x 1.

Вiдповiдь. –4; 1.

Розв’язування рiвнянь виду ax b cx d, де a, b, c, d – деякi числа i a 0, c 0

Пiд час розв’язування рiвнянь ax bcx d скористаємося означенням модуля, маємо: ax b cx d або ax bcx d. Роз$ в’язавши здобутi лiнiйнi рiвняння, дiстанемо їх коренi. Чи можна вважати, що ми завершили розв’язування вихiдного рiвняння?

Для пошуку вiдповiдi на це запитання проаналiзуємо вихiдне рiвняння. Його лiва частина ax b (згiдно з означенням модуля) на$ буває тiльки невiд’ємних значень, а права – будь–яких. Отже, корiнь вихiдного рiвняння повинен задовольняти таку умову: x0 може бути коренем вихiдного рiвняння, якщо значення виразу cx0 d – не$ вiд’ємне. Тобто, розв’язавши рiвняння ax b cx d i ax bcx d, необхiдно перевiрити здобутi коренi, чи задовольняють вони вищеза$ значену умову.

Приклади. Розв’язати рiвняння: а) 2x 5 0,5x 2,5.

Розв’язання

Тодi 0 x 2 або 4x 12. Рiвняння 0 x 2 коренiв не має. Коренем рiвняння 4x 12 є число 3. За допомогою перевiрки переконуємося, що це число є коренем рiвняння 5 2x2x 7.

Вiдповiдь. 3.

рiвняння 4x 8 є число 2. За допомогою перевiрки переконуємося, що це число не задовольняє рiвняння

1.2. Складiть за умовою рiвняння i розв’яжiть його:

а) якщо суму чисел x i 2 зменшити на 26%, то здобуте число дорiвнюватиме 7,4;

б) якщо рiзницю чисел 7 i x збiльшити на 20%, то здобуте число дорiвнюватиме 9,6;

в) сума чисел 2,4 i3xу 5 разiв бiльша вiд рiзницi чисел 3,6 i0,5x.

1.4. Розв’яжiть рiвняння, використовуючи властивостi пропорцiї:

1.5. Розв’яжiть рiвняння:

а) 5x32x772 x67;