Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нежинский государственный университет им. Н. Гоголя

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

b_667_Materialu-dlya-fakyltatuviv-5-7-klas

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

12.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

в) 2x 5 0,5x2,5.

Розв’язання

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй y 2x 5 та y 0,5x2,5 (рис. 34).

y 2x 5

	2,5
y 0,5x 2,5	1
y 0,5x 2,5
–5	0 1 2,5	5	х

Рис. 34

Вiдповiдь. 1; 5.

г) 2x 5 2x7.

Розв’язання

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй y 2x 5 та y 2x7 (рис. 35).

Графiки функцiй y2x 5 та y2x3 не перетинаються. Це означає, що рiвняння 2x 5 2x3 коренiв не має.

–1

0 1,5 2,5

Рис. 36

Вiдповiдь. Коренiв немає.

2. Розв’язування рiвнянь виду

Приклади. Розв’язати рiвняння:

а)

x 2

Розв’язання

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй yx2x 4 та y8 (рис. 37).

			у				y	2x 5
			7				y	2x 5		у
			7		2x	7				у
			y		2x	7				8					y	8
										8

			5							6
										6
											y	x	2	x	4
			1
		–1	0	1	3		х			1
										1
			Рис. 35						–3 –2	0	1		4	5	х
									–3 –2	0	1		4	5	х
Графiки функцiй y		2x	5 та y			2x	7 перетинаються в однiй			Рис. 37
точцi, отже рiвняння 2x		5	2x		7 має один корiнь: x				3.	Рис. 37
точцi, отже рiвняння 2x		5	2x		7 має один корiнь: x				3.
Вiдповiдь. 3.									Вiдповiдь. –3; 5.
д) 2x 5	2x 3.								б) x 2 x 4 6.

Розв’язання

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй y

та

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй y

x 2

2x 3 (рис. 36).

та y 6 (рис. 38).

Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Ми бачимо, що при

4 графiки цих функцiй спiвпадають.

Це означає, що рiвняння

6 має безлiч коренiв.

	у		y	x	2	x	4
	8		y	x	2	x	4
	6			y
				y	6
	1
–2	0	1	4	х
	Рис. 38

Вiдповiдь.

2; 4 .

в)

x 2

Розв’язання

Знайдемо абсциси точок перетину графiкiв функцiй y x2x 4 та y 2 (рис. 39).

	у		y	x	2	x	4
	8		y	x	2	x	4
	8
	6
	2			y	2
–2	0	1	4	х
	Рис. 39

Графiки функцiй y

та y 2 не мають спiльних то

чок, отже, рiвняння

2 коренiв не має.

Вiдповiдь. Коренiв немає.

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

Приклади рiвнянь, якi мають безлiч коренiв:

а) x 1

б) x

Розв’язання цих рiвнянь показано на рисунку 40.

–2

x 1

–3

а)

б)

Рис. 40

Вiдповiдь.

;

2 .

Вiдповiдь. 1;

Приклади рiвнянь, якi не мають коренiв:

а) x 1

б) x

Розв’язання цих рiвнянь показано на рисункy 41.

–2

–3

x 1

–3

–4

а)

б)

Рис. 41

Вiдповiдь. Коренiв немає.

Приклад рiвняння, яке має один корiнь: x

Розв’язання цього рiвняння показано на рисунку 42.

Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

у
3
1				y	1
1
–2 –1	0	1				х
		y	x	1	x	2
–3
Рис. 42

Вiдповiдь. –1.

Завдання для самостiйного розв’язування

Розв’яжiть рiвняння, використовуючи графiчний спосiб:

2.35. а)								x							1						7;																		б)					2						x			5;
2.35. а)								x							1						7;																		б)					2						x			5;
в)					x					0,5											4,5;																		г)				x						3				0;


д)					x						4									5;																			е)			5							x				1.


2.36. а)								2x								3					5;																		б)					2x						3			5;


в)		2x											3									5.

									1																																				1
2.37. а)									1			x						1			2;																		б)						1		x			1			3;
2.37. а)							2					x						1			2;																		б)		2						x			1			3;
							2																																		2
					1	x 1																					1.
в)					1
в)	2
	2
									1			x																			x								б)						1		x																	1	x;
2.38. а)									1									1																	2;										1						1		3											1
2.38. а)							2											1																	2;						2										1		3					2
							2																																		2																	2
					1	x															1								x					1;					г)							1		x				1									1			x.
в)					1	x								1							1								x					1;					г)							1		x				1									1			x.
	2																				2																						2															2
2.39. а)								x							2									x								1				5;			б)					x						2							x			1					3;


в)			x						2										x									1				1;							г)	x										2							x		1						0.


2.40. а)								x							2								x									1				5;			б)					x						2						x		1							3;


в)			x						2									x							1										3;				г)	x										2						x		1								4;


д)				x					2										x							1						1;							е)			x								2						x		1							0.


2.41. а)								x							4							x											x			4	0;		б)					x						4					x								x		4		6;


в)			x								4						x													x 4								2;	г)	x									4					x								x 4						4.

Робота для самоперевiрки

Варiант 1

Варiант 2

Розв’яжiть графiчно рiвняння:

а)

б)

в)

г)

д)

е)*

Контрольна робота з теми «Побудова графіків функцій, що містять модулі»

Варiант 1

1. Побудуйте графiк функцiї:

а) y

;

б) y

;

в) y

2x 1

г) y

x 1.

2. Розв’яжiть графiчно рiвняння:

а)

б)

в)

;

г)

x 2

д)

е)

ж)*

Варiант 2

1. Побудуйте графiк функцiї:

а) y

2x 4

;

б) y

;

в) y

3x 6

;

г) y

x 1

2. Розв’яжiть графiчно рiвняння:

а)

б)

2x 4

в)

г)

д)

е)

ж)*

66Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

§4. ФУНКЦІЇ y x ТА y x

1. Цiла i дробова частина числа

Кожне дробове число можна подати у виглядi суми двох додан кiв, один iз яких — цiле число, а другий — невiд’ємний правильний дріб, тобто для кожного дробового числа можна вказати його цілу і дробову частину.

Наприклад, для числа 5,605 число 5 є цiлою частиною, а число 0,605 — дробовою частиною. Записують це так:

5605,5, 5605,0,605.

Число 5,605 знаходиться мiж числами 5 i 6, якi є найближчими цiлими числами до 5,605. 5 5605, 6.

Крiм того, число 5 — найближче цiле число, яке не перевищує число 5,605. Зазначимо, що 5605,5605, 50,605.

Означення. Цiлою частиною числа a (позначення a) найближ че до a цiле число, яке не перевищує a.

Приклади:

1)7,31 7, оскiльки 7 7,318;

2)0,51 0, оскiльки 0 0,511;


3)	531,	6, оскiльки	6		531,		5 (рис. 43).
3)	531,	6, оскiльки	6		531,		5 (рис. 43).
		–6		0				7	x
						0,51
		–5,31				0,51		7,31

Рис. 43

Означення. Дробовою частиною числа a (позначення a ) нази

вається рiзниця мiж самим числом a i його цiлою частиною:

aa a. Приклади:

1)7,31 7,31 7 0,31;

2)0,51 0,51 0 0,51;

3)531, 531, 6 0,69;

4)5 5 50.

Із означення дробової частини числа випливає її властивiсть: 0 a1.

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

Завдання для самостiйного розв’язування

2.42. Укажiть цiлу й дробову частини числа:

а) 1,571;	б) 10,25;
в) 0,051;	г) 7;
д) –7;	е) –8,35;
ж) –10,001;	з) –0,05.

2.43. Знайдiть значення виразу та вкажiть його цiлу й дробову час

тини:

а) 3 17,

б)

3 2,3

в) 37, 2,1

35,;

г)

2,4

55, 10;

д)

17,

34,

53,.

2. Функцiя y

x та деякi її властивостi

Цiла частина числа визначена для всiх чисел, оскiльки будь якому числу можна поставити у вiдповiднiсть його цiлу частину. Та

ким чином, y

x — функцiя, областю визначення якої є всi числа:

D x

;

Розглянемо значення функцiї y x для конкретних значень ар

гументу.

За означенням цiлої частини числа:

якщо 0

1, то

якщо 1

2, то

1 i так далi.

Якщо

0, то

якщо

1, то

2 i так далi.

У загальному виглядi, маємо: якщо m

1, то

m, де

m — цiле число. Отже, область значень функцiї y

x є всi цiлi

числа.

Враховуючи цi вiдомостi по

будуємо графiк функцiї

y x

(рис. 44).

Побудувати

Приклади.

графiк функцiї:

–3 –2 –1

а) y 2 x .

–1

Розв’язання

–2

–3

Ордината

кожної

iз

точок

графiка функцiї y

2 x

вдвiчi

Рис. 44

68 Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

бiльша за	вiдповiдну		ординату		графiка функцiї	y	x . Графiк
функцiї y	2 x зображений на рисунку 45.
	4	у			у
			у	2 х	3		у	2 х 1
	2
	1				1
–3 –2 –1		0 1 2	3	х	–3 –2 –1 0	1	2 3	х
					–1
		–2
		–4			–3
		–4
	Рис. 45				Рис. 46

б) y 2x1.

Розв’язання

Ордината кожної точки графiка функцiї y 2x1 на одиницю менша за вiдповiдну ординату точки графiка функцiї y 2x. Графiк функцiї y 2x1 зображений на рисунку 46.

3. Функцiя y x та її властивостi

Дробова частина числа визначена для всiх чисел, оскiльки кож ному числу можна поставити у вiдповiднiсть його дробову частину. Таким чином, y x— функцiя, областю визначення якої є всi чис ла: Dx;.

Як було зазначено ранiше для дробової частини будь якого чис ла, виконується нерiвнiсть: 0 x1.

Отже, область значень цiєї функцiї: E x 0;1 .

Розглянемо ще одну властивiсть функцiї y x .

Нехай аргумент x набуває таких значень: 5,7; 4,7; 3,7; 2,7; 1,7; 0,7; –0,3; –1,3; –2,3; –3,3; –4,3.

Обчислимо дробову частину кожного з цих чисел.

57,57, 57,57, 50,7;

47,47, 47,47, 40,7;

...

17,17, 17,17, 10,7;

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки																						69
0,7				0,7					0,7				0,7				0	0,7;
0,7				0,7					0,7				0,7				0	0,7;
	0,3					0,3						0,3				0,3					1	0,7;
	0,3					0,3						0,3				0,3					1	0,7;
		13,					13,				13,				13,					2		0,7;
		13,					13,				13,				13,					2		0,7;
								...
			43,		43,					43,				43,					5			0,7.
			43,		43,					43,				43,					5			0,7.

Помiтимо, що дробовi частини всiх цих чисел рiвнi.

Можна зробити висновок, що числа, якi вiдрiзняються одне вiд одного на цiле число, мають рiвнi дробовi частини. Тобто, якщо x2 x1 m, де m — цiле число, то

x2x1 або xm x . (*) Із розглянутого вище прикладу випливає, що найменше додатне

число, для якого при всiх x виконується рiвнiсть (*), дорiвнює 1. Кажуть, що значення функцiї yx повторюються з перiодом

T1.

Означення перiодичної функцiї

Якщо для функцiї yfx iснує таке додатне число T, що для всiх x iз областi визначення цiєї функцiї виконується рiвнiсть fx T fxT fx , то функцiя yfx називається перiо дичною, а число T називається її перiодом.

Слiд зауважити, що в природi iснує багато перiодичних про цесiв: змiна дня i ночi, змiна пiр року, рух небесних тiл за орбитами тощо.

У математицi бiльшiсть перiодичних процесiв описується за до помогою тригонометричних функцiй.

Повертаємось до функцiї yx . Вона перiодична з перiодом T 1. Тому достатньо дослiдити її поведiнку тiльки для x iз про мiжку 0; 1 . Вiдомо, що при x 0; 1 цiла частина x дорiвнює нулю, тому x x.

Таким чином, ми дiстали повне дослiдження функцiї y x .

1) D y	; .	у

2) E y 0; 1 .

3)	Функцiя перiодична,			1
	T	1.
				–3 –2 –1 0 1 2 3 х
4)	При x		0; 1 y x.
	Побудуємо графiк фун
кцiї y		x	(рис. 47).	Рис. 47

70	Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

Приклади. Побудувати графiк функцiї: а) y 2x .

Розв’язання

Ординати всiх точок графiка функцiї y 2x вдвiчi бiльшi за вiдповiднi ординати графiка функцiї y x . Графiк функцiї y 2x зображений на рисунку 48.

	у
2
	1
–3 –2 –1	0	1	2	3	х
Рис. 48

	у
	1
–3 –2 –1 0	1	2	3	х
–1
Рис. 49

б) y 2x1.

Розв’язання

Ордината кожної точки графiка функцiї y 2x1 на одиницю менша за вiдповiдну ординату точки графiка y 2x .

Графiк функцiї y 2 x 1 зображений на рисунку 49.

Завдання для самостiйного розв’язування

2.44. x

, де n — натуральне число. Знайдiть x i x .

2.45. x

, де m — цiле число. Знайдiть

x i

x .

2.46. Розв’яжiть рiвняння:

а)

б)

0,2;

в)

0,2;

г)

д)

е)

2.47. Розв’яжiть систему рiвнянь:

а)

2,3,

б)

2,3,

11,;

11,.

2.48. Доведiть, що

а)

x m x

m, де m — цiле число;

б)

, де n — натуральне число.

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

Робота для самоперевiрки

Варiант 1

Варiант 2

1. Знайдiть цiлу й дробову частини числа:

а) –7;

а) –11;

б) 99,9;

б) 101,99;

в) –51,33;

в) –47,28;

г)

304

2. Побудуйте графiк функцiї:

а) y

б) y

в) y

3 x

в) y

3 x

г)* y

3. Розв’яжiть рiвняння:

а)

13;

б)

0,1;

б)

0,3;

в)

г)

§ 5. ПЕРЕТВОРЕННЯ ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ

Графiки деяких функцiй можна будувати, використовуючи гра фiк функцiї y fx. Розглянемо способи побудови графiкiв деяких функцiй.

1. Побудова графiка функцiї виду y fx A

Ми вмiємо будувати графiк функцiї y x (на рисунках 50–57 його зображено пунктиром).

Розглянемо способи використання цього графiка для побудови графiкiв деяких iнших функцiй.

Приклади. Побудувати графiк функцiї: а) y x3.

Матерiали для факультативних занять, спецкурсiв, гурткiв. Математика 5–7

Розв’язання

Складемо таблицю значень функцiй y

x i y

–3

–2

–1

Помiчаємо, що ордината кожної

точки графiка функцiї y

3 на 3

одиницi бiльша за вiдповiдну орди

нату

точки

графiка

функцiї

тому графiк функцiї y

3 можна

здобути за допомогою паралельного

–2

перенесення

графiка

функцiї

вздовж осi OY на 3 одиницi вгору

Рис. 50

(рис. 50).

б) y x2.

Розв’язання

Складемо таблицю значень функцiй y x i y x2.


	x				–3	–2	–1	0	1	2	3

y			x		3	2	1	0	1	2	3


y		x		2	1	0	–1	–2	–1	0	1

Помiчаємо, що ордината кожної точки графiка функцiї y x2 на 2 одиницi менша за вiдповiдну ординату точки гра фiка функцiї y x, тому гра фiк функцiї y x2 можна здобути за допомогою пара лельного перенесення графiка функцiї y x вздовж осi OY на 2 одиницi вниз (рис. 51).

Висновок, який можна зро бити, розглянувши цi прикла ди, вiдображено в таблицi 1.

	у	y	x
	у
	1		y	x	2
–2	0	2	х
	–2
	Рис. 51

Роздiл ІІ. Функцiї та графiки

Таблиця 1

f x

у y

f x

Паралельне перене

сення вздовж осi OY

вгору

вниз

2. Побудова графiка функцiї виду y

Приклади. Побудувати графiк функцiї:

а) y

2 .

Розв’язання

Скористаємось результатом вико

нання

завдання

побудови

графiка

функцiї y

2 . Зобразимо в однiй

системi координат графiки функцiй

x та y

x 2 (рис. 52).

Помiчаємо,

що

графiк

функцiї

–2

x 2 можна здобути за допомогою

паралельного

перенесення

графiка

Рис. 52

функцiї y

x вздовж осi OX на 2 оди

ницi праворуч.

б) y

2 .

Розв’язання

Скористаємось

результатом

ви

конання завдання побудови графiка

функцiї y

2 .

Зобразимо в однiй системi коор

–2 –1

динат

графiки

функцiй

та

(рис. 53).

Рис. 53

Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Помiчаємо, що графiк функцiї y

2 можна здобути за допомо

гою паралельного перенесення графiка функцiї y

x вздовж осi OX

на 2 одиницi лiворуч.

Висновок, який можна зробити, розглянувши цi приклади,

вiдображено в таблицi 2.

Таблиця 2

f x

–a

0 a

Паралельне

перенесення вздовж

осi OX лiворуч

осi OX праворуч

3. Побудова графiка функцiй виду y

kf x

Приклади. Побудувати графiк функцiї:

а) y

2 x.

Розв’язання

Складемо таблицю значень функцiй y

x та y

2 x.

–3

–2

–1

2 x

Помiчаємо, що ордината кожної

точки графiка функцiї y

2 x удвiчi

бiльша за ординату вiдповiдної точки

графiка функцiї y

x, тому графiк

функцiї y

2 x можна здобути за до

помогою розтягування графiка функ

–2

цiї

вздовж

осi

удвiчi

(рис. 54).

Рис. 54

Розділ ІІ. Функції та графіки								75
б) y	1 x.
	2
Розв’язання
За аналогiєю iз попереднiм прикладом, ордината кожної точки
графiка функцiї y		1 x удвiчi менша за ординату вiдповiдної точки
		2
графiка	функцiї	y	x,	тому	у
		1 x			у
графiк	функцiї y	1 x		можна	3		y	x
		2						1 x
здобути за допомогою стискання					1		y	1 x
графiка функцiї y		x вздовж осi						2
графiка функцiї y		x вздовж осi					х
OY удвiчi (рис. 55).				–2	0	2	х
OY удвiчi (рис. 55).
Висновок, який можна зро					Рис. 55
бити, розглянувши цi приклади,					Рис. 55
бити, розглянувши цi приклади,
вiдображено в таблицi 3.

Таблиця 3

f x

kf x

f x

kf x

Розтягування вздовж

Стискання вздовж осi

осi OY в k разiв

OY в

разiв

4. Побудова графiка функцiї виду y

Приклад. Побудувати графiк функ

цiї y

Розв’язання

Легко помiтити, що ордината кожної

точки графiка функцiї y

x протилеж

–2

на до вiдповiдної ординати точки графiка

функцiї y x , тому графiк функцiї y

симетричний графiку функцiї y

x вiд

носно осi OX (рис. 56).

Рис. 56

Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Розділ ІІ. Функції та графіки

Висновок, який можна зробити, розглянувши даний приклад,			2)	графiк функцiї y2	x 2 здобуто за допомогою осьової симетрiї
вiдображено в таблицi 4.				вiдносно осi OX графiка функцiї y1			x 2 ;
		Таблиця 4	3)	графiк функцiї y	3 x 2 здобуто за допомогою паралельного
				перенесення графiка функцiї y2		x	2 вздовж осi OY на 2 оди
y f x	y	f x		перенесення графiка функцiї y2		x	2 вздовж осi OY на 2 оди
				ницi вгору.
				ницi вгору.
у		у		Завдання для самостiйного розв’язування

f x

2.49. Побудуйте графiки функцiй:

f x

1) а) y

б) y

в) y

x 3.

2) а) y

б) y

3x;

1 x.

в) y

f x

3) а) y

б) y

Симетрiя вiдносно осi OX

в) y

1 x

г) y

1 x

4) а) y

б) y

3 x;

5. Застосування декiлькох перетворень

в) y

3 x

до графiка функцiї y

5) а) y

б) y

Приклад. Побудувати графiк функцiї y

2 .

в) y

3 x

г) y

15, x

2,5;

Розв’язання

1 x

Розглянемо

допомiжнi

функцiї

2 ,

y1 ,

д) y

3 y2 та їхнi графiки, що зображенi на рисунку 57.

б) y x 2 ;

6) а) y x 2 ;

в) y

0,5 ;

г) y

0,4 .

7) а) y

x ;

б) y

x ;

в) y

15, x ;

г) y

3 x .

8) а) y

0,5 x

б) y

3 x

–5 –4 –3 –2 –1

0 1

в) y

2,5 x

г) y

2 x

9) а) y

2 x

б) y

2 x

в) y

0,5 x

г) y

3 x

Рис. 57

2.50. Побудуйте множину точок на координатнiй площинi:

1) Графiк функцiї y1

x 2 здобуто за допомогою паралельного пе

а) y

;

б) y

;

ренесення графiка функцiї y

x вздовж осi OX на 2 одиницi

в) y

x ;

г) y

x .

лiворуч;

Матеріали для факультативних занять, спецкурсів, гуртків. Математика 5–7

Робота для самоперевiрки

Варiант 1

Варiант 2

1. Побудуйте графiк функцiї:

а) y

б) y 5

;

б) y 3

;

в) y

3 x

в) y

3 x

г) y

3 x

2. Розв’яжiть рiвняння:

а)

б)

0,5

б)

0,5

Контрольна робота з теми «Функції y

x та y x »

Варiант 1

1. Побудуйте графiк функцiї:

а) y

б) y

2 x

в) y

x ;

г) y

2. Розв’яжiть рiвняння:

а) 3 x 1 2 x ;

б) 3 x 1 2 x .

3. Розв’яжiть графiчно рiвняння

x .

4.* Укажiть усi значення параметра a, при яких рiвняння має ко

ренi:

а) x

3 a;

б) x

Варiант 2

Побудуйте графiк функцiї:

а) y 3

x 2

;

б) y 3 x 3;

в) y

2 x ;

г) y

2 2.

Розв’яжiть рiвняння:

а) 2 x

2 3 x ;

б) 2 x

3 x .

Розв’яжiть графiчно рiвняння

4.* Укажiть усi значення параметра a, при яких рiвняння має ко

ренi:
а) x 2 a 0,1;	б) x 0,2 a.

Назва

Роздiл ІІІ. СИСТЕМИ ДВОХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

ЗДВОМА ЗМІННИМИ

§1. СТАНДАРТНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ ДВОХ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ З ДВОМА ЗМІННИМИ

1. Загальнi вiдомостi

Два лiнiйних рiвняння з двома змiнними, для яких треба знайти розв’язки, що задовольняють одночасно обидва рiвняння, назива ються системою двох лiнiйних рiвнянь з двома змiнними.

Записують систему рiвнянь, об’єднуючи їх фiгурною дужкою:

a11 x

a12 y

b1 ,

a21 x

a22 y

b2 ,

де a11 , a12 , a21 , a22 , b1 , b2

— заданi числа, x i y — змiннi. Наприклад,

у системi рiвнянь

a11

2, a12

3, b1

a21

1, a22

5, b2

Розв’язком системи двох рiвнянь з двома змiнними називається впорядкована пара чисел, яка пiд час пiдстановки в систему пере творює кожне рiвняння в правильну числову рiвнiсть.

Наприклад, пара чисел 4; 1 є розв’язком системи рiвнянь