Высшая математика. Том 1
.pdf$ ’ :
21. 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0 ; 23. sin (15 + x)+ sin (45 − x)= 1;
25. cos 4x + 2sin2 x = 0 ; 27. sin 9x = 2sin 3x ;
29. sin3 x cos x − sin x cos3 x = 14 ;
, :
31. tg20° tg40° tg80° = 3 .
22. sin x cos x cos2x cos8x = 14sin12x ;
24. sin 3x = 2cos |
π |
− x |
; |
|
2 |
|
|
26. tgx + tg2x + tg3x = 0 ;
28. cos(20 + x)+ cos(100 − x)= 12 ;
30. ctg2 x = 1 + sin x .
1 + cos x
1.3. #
# ( . planum – ! metros – ),
, , !-
.
( . 1.4) ! !: 2 α + β + γ =1800 ;
% : /sinα=b/sinβ=c/sinγ=2R, R – ! ; % : c2 = 2 + b2 – 2ab cos γ ;
|
a + b |
|
tg |
α + β |
|
|
||
% : |
= |
|
2 |
|
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; |
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|
|
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a − b |
tg |
α − |
β |
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||
1 α: |
la = (2bc cosα 2)/(b + c); |
|||||||
# 3 S = |
p( p − a )( p − b )( p − c ) , – ! !, |
p = ½ (a+b+c);
# S = bh/2, h – ! b; # 2 : S = ½·ab sin α;
# S .=( 3 a2)/4;
$ . 1.4. % |
$ . 1.5. ) |
21
# ! S=abc/4R; # ! S=pr.
# ( . 1.5): S= πR2.
# : S =(πR2α)/3600.
# : & ( . 1.6): S = (a+b)/2 h.
# : " # ( . 1.7): S=ah;
2! !:
d12+d22=2(a2+b2). # #; ( . 1.7): S=ah= a2·sinα= ½·d1d2.
2! &: d1=2a·sinα/2; d2=2a·cosα/2; d12+d22=4a2.
$ . 1.6. % ! |
$ . 1.7. # |
|
|
'
# 1. 2 a, b mc , !
c. ' .
4 & ! " !-
!" #. # KC = 2 mc . ' -
|
!: 4m2 + c2 |
= 2b2 + 2a2 . ' |
|
|
c |
|
|
$ . 1.8. # |
: c2 = 2b2 + 2a2 − 4mc . |
|
|
" !: c = 2a2 + 2b2 |
− 4m2 |
.5 |
|
!" # |
|
c |
|
# 2. " ! 3 : !M = 6 , $ = 4 , $" = 1 . 6 $ ! ! !$" !. ' .
4 , AMB = α . '
AMB :
AB2 = AM 2 + MB2 − 2AM BM cosα = 52 − 48cosα .
. BMC :
BC2 = BM 2 + MC2 − 2BM MC cosα = 17 − 8cosα .
" AB BC ,
, !
$ . 1.9. ) - :
22
0 = 35 − 40cosα cosα = 35 = 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
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% , |
|
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40 |
8 |
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|
|
||
AB2 = 52 − 48cosα = 52 − 48 7 |
= 52 − 42 = 10, |
|
sinα = 1 − cos2 α . |
|
|||||||||||
% AMB , |
8 |
|
|
|
|
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! , |
, |
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AB |
= |
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10 |
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7 |
2 |
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|
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sinα |
1 |
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− |
8 |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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R = 1 |
10 |
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= |
10 64 = |
2 5 4 16 |
= |
32 |
|
" !: R = |
32 |
.5 |
||||
64 − |
49 |
3 5 4 |
3 |
|
3 |
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2 |
|
15 4 |
|
|
|
|
|
|
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|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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# 3. |
( R α ! . |
||||||||||||||
' . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ . 1.10. 2 -
R
: AB = AC = R , BAC = α .
': OH = r .
4 3 ! -
!, AO = R − r . $ !%& ( !,
OHA = 900 ): |
HAO = |
α |
|
|
|
2 |
|
!%& !%$ ( O&=%$=r, !&=!$ , !
, !O – !).
3, '
, ( , :
sin |
α |
= |
OH |
= |
r |
(sin |
α |
(R − r) = r) (R sin |
α |
− r sin |
α |
= r) |
||||
2 |
|
R − r |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
AO |
|
|
α |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(R sin |
α = r sin α |
+ r) |
|
" !: r = |
|
Rsin |
2 |
|
.5 |
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|
|
|
α |
|
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|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
1 + sin |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
# 4. 3 ! 5 40 . ' ,' .
4 , ABCD – !, – !", # – -
BD.
% # EF !. ' , )# – -
ABD, – , ( '' '
23
, - |
|
|
' , |
|
|
! , EK = |
50 = 25 . |
|
|
2 |
|
., |
EP = 40 = 20 , - |
|
|
2 |
|
) ∆ ! ". |
$ . 1.11. % ! ABCD |
|
3, PK = EK − EP = 25 − 20 = 5 . |
" !: 5 . 5
1.4. ' ' -' 9 1.2
2 ! ’ , &
!.
':
1.2 B ABC, AC = 4 , BC = 5 , cos A = 92 ;
2.&, &
1:2, ! & 12 ;
3.# , ! ! , !
9 3 2, ! ;
4.# ABD , ABC ! C
1350, AC = 6 , BD = 2 ;
5.2 A ABC , AC = 4 , BC = 7 , AB = 5 ;
6.AB ABC , BC = 9 , cosC = 73 ,
sin A = 23 ;
7." , 600,
3 27 ;
8.! , !, -
4 6 , 600, !
450;
9." , , !
6, 25π 2, ! 3 ;
10.2 ! ,
! 20 , ! – 4 ;
11.&, ! & 18 2, -
300;
12. " M H CH !
ABC , AC = 7 CM = 7 , ! !-
24
AB ;
13." ! ! ! 5 ,
' & & !, !
, 2 7 ;
14.# & 1200, !
10 ;
15.# ! 6 , O1 O2 – ,
O1O2 = 6 2 ;
16.# , ! & !,
! 14 , 12 16 ;
17.# ! !
a b, ! ! ;
18.3 & ! & , 17 , ! 15 ;
19.& ,
, ! , ! &
12 8 , ! ;
20.AB AC ABC, BC = 8 , -
, ! AC BC, ! 6,4 4 .
21.& !, -
10 , – 8 , ! 300, !,
& !, ! ! ! ;
22." ! ! !, -
! ! ! 1:2, ! 2 32;
23.# ! ! , !-
24 , ! 24 2;
24.$ , ! S,
& ;
25.# ! , -15 , , ! , 3 ;
26.! ! ,
! 1 ;
27.2 a ! ", b c, ! &-
;
28.& ! , ! -
b c;
29.# & !, ! 3 ,
! ! π/4 2 ;
30.# & ABCD, , ! &
ABC ABD, ! R r;
31.# ! R r,
d.
25
1.5. " ;$
! ! !
, ! . # -
, – ! . . ,
, , -
, ! , – ’ ; ! -
, . |
|
, !, 3x–6=0 , =2 |
|
’ ; x2 + y2 = 25 , =3, y=4 |
|
. 2 ! & $ -
, ! . $ & $, ' & $. 7 ' ,
, , & & .
’ ! !. , !, -
ax²+bx+c=0 ! ’ :
x = −b± b2 − 4ac |
|
|
1,2 |
2a |
. |
|
# , D=b²– 4ac & , x1≠x2; D
, x1=x2, D , ’ . ) , ’ ',
:
x1+x2 = –b/a; x1 x2 = c/a.
x²+px+q=0 ! ’
:
x = − |
p |
± |
p2 |
− q , & x1+x2 = –p; x1 x2 = q. |
|
|
|||
1,2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
7 ! ' ! ! ,& :
a paq = a p+q ; |
a pb p = (ab)p ; |
(a p )q = a pq ; |
||||||||||||
a0=1; a1=a; |
|
p a p b = p ab ; |
p a =b bp =a; |
|||||||||||
|
a p |
= a p−q |
|
a− p = |
1 |
|
|
a p |
a p |
|||||
|
|
; |
|
; |
|
= |
|
; |
||||||
|
aq |
a p |
b p |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||
|
p g a = pg a ; |
|
pk agk = p ag ; |
|
|
|
g |
|||||||
|
|
p ag = a p ; |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
p a . |
|
|
|
|
|||
a p = p a ; |
p a |
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
p b |
|
|
|
|
|
|
2 ! 1.
0 &
:
26
(a±b)2=a2±2ab+b2; (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3; a2– b2=(a+b)(a–b);
a3± b3=(a±b)(a2 ab+b2); (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b); (a–b)3=a3–b3–3ab(a–b).
8 – ! & -
, , & . ! -
<, . %, 2 > 1 1 < 2 ! : 2 & 1, & 1 2. + !-
(!, < b < ). 1 , b
& ( ) , & , !: ≥ b (b 9 ) -
: « & & b» («b & »); : «
b» («b & »). ' ! ≠ b , b ,
, &. ( ! -
.
, & ! . %, -
!, & (&
& ) . % &
! . 3, &
! ,
(& > <, < >).
'! < " < D ! ! + " < + D ! – D < – ", &
(! < " < D) ! ,
(! < D > ") – ! . 7 !, , " D !-
, ! < " < D ! AC < BD A/D < /", &-
( ! ) ! !-
, – ! .
,, , ! -
, & . %, x2 – 4x + 3 > 0 ! = 4 ! = 2. -
! ! ! ’ , & ! -
, & , , &
& !.
%, ! ! x2 – 4x + 3 > 0 : ( – 1)( – 3) > 0,
, & , !-
: < 1, > 3, |
’ . |
||||
$ & &- |
|||||
, & ! |
P(x) |
≥ 0, ( P(x) Q(x)– &) & |
|||
|
|||||
|
|
|
Q(x) |
||
, . |
|
|
|||
7 x1, , xn – ’ & P(x) Q(x), |
|||||
! , |
P(x) |
|
(& P(x) Q(x)) - |
||
Q(x) |
|||||
|
|
|
(−∞, x1 ), (x1, x2 ), , (xn−1, xn ), (xn , +∞).
27
* , & P( x)
Q( x)
, &- -
P( x) .
Q( x)
# ’ ! af(x)>(<) aϕ(x) :
f(x) >(<)ϕ(x)
& : a>1, ; a<1, -
.
" ! Maxima , !
!. / expand -
. , ! ! :
/ divide
& :
/ gcd & &, factor & :
# &- !-
! =. , !, x 5/z:
28
/ ratsimp & :
" assume (to assume - !), ! & , :
/ forget (to forget - &) &,
! assume:
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
# 1. $ ’ f (x) = |
(x − 1)(x + 2)2 |
≥ 0 . |
|
|||||||
|
(x + 3) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
# |
' |
|
|||||||
x1 = −3, x2 |
= −2, x3 = 1. |
" |
f (x) |
|
|
|
|
|
||
(−∞, −3), (−3, −2), (−2,1), (1, +∞ ). " &- (−∞, −3), |
||||||||||
! x = −4 , , |
f (−4): |
|
|
|
||||||
|
|
f (−4) = |
(−4 − 1) (−4 + 2)2 |
= |
−5 4 |
= 20 > 0 . |
|
|||
|
|
(−4 + 3) |
−1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
' ! , f (x) > 0 ! x (−∞, −3).
# ! x=–3 ,
, &
. 3, f (x) f (x) < 0 x (−3, −2).
# ! x=–2 f (x) , -
( +2) ! !, , , ( +2)2 &-
’ .
29
$ . 1.12. $ ’ -
" !: (−∞, −3) {−2} [1, +∞).5
# 2. $ ’
# !
x=+1 f (x) .
% & & ! '
= –2 .
2 |
< |
3 |
− 3 . |
3x + 2 |
2x + 5 |
4 , ! ! – . % & !' ,
! ’ . # , ! ,
! . |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||
|
2(2x + 5)− 3(3x + 2) |
+ 3(3x + 2)(2x + 5) |
< 0 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|||||||||||
|
|
|
(3x + 2)(2x + 5) |
|
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|
|
|
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|
|
|||||||
18x |
2 + 52x + 34 |
|
|
|
|
18(x + 1)(x + 17 |
19 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ 2)(2x + 5) |
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
+ 2)(2x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
(3x |
|
|
|
|
(3x |
|
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|
a x2 + b x + c = a(x − x )(x − x ) = 18(x + 1)(x + 17 |
9 |
) |
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|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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1 |
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2 |
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||||||||
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|||||||||
|
|
x = |
−52 ± 522 − 4 18 34 |
= −13 ± 132 − 9 17 = −13 ± 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
2 |
18 |
|
|
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|
9 |
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|
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|
9 |
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
x = −17 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
; x = −1 |
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
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1 |
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2 |
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|||||
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||||||
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$ ! !- |
|||||||||||||||
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|
!, |
|
|
|||||||||||||||
|
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|
!: |
|
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||||||||||
$ . 1.13. $ ’ |
|
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5 |
|
17 |
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|
2 |
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|||||||||||||||
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, − |
−1, |
− |
|||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
x − |
2 |
9 |
|
|
3 |
.5 |
||||||||||
|
|
|
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|||||
# 3. |
$ ’ : |
|
3 − x |
|
− |
|
x + 2 |
|
= 5. |
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
41 : ; -’- |
|
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||||||||||||||||||
$ 4 !: |
|
|
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3 |
− x ≥ 0 |
x ≤ 3 |
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−2 ≤ x |
≤ 3 (3 '). |
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1) |
+ 2 ≥ 0 |
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x |
x ≥ −2 |
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3 − x − (x + 2) = 5 x = −2 .
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