- •Методичні вказівки
- •1. Загальні положення
- •2. Основи оптимального управління
- •3. Лінійне програмування
- •3.1. Загальна постановка задачі
- •3.2. Види математичних моделей
- •3.3. Графічний розв’язок систем т лінійних нерівностей з двома змінними
- •3.4. Графічний метод
- •3.5. Симплексний метод
- •3.6. Транспортна задача
- •4. Цілочислове програмування
- •4.1. Загальна постановка задачі
- •4.2. Метод Гоморі
- •4.3. Графічний метод
- •5. Нелінійне програмування
- •5.1. Загальна постановка задачі
- •5.2. Дробово-лінійне програмування
- •5.3. Метод множників Лагранжа
- •5.4. Дослідження функції на екстремум за заданою опр
- •6. Модель лєонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •7. Динамічне програмування
- •7.1. Загальна постановка задачі
- •7.2. Оптимальна стратегія заміни обладнання
- •7.3. Оптимальний розподіл ресурсів
- •7.4. Оптимізаційна модель управління товарними запасами
- •8. Контрольні завдання
- •9. Зразки розв’язання задач Задача 1.
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача №8
- •Задача 9
- •1 Етап.
- •2 Етап.
- •3 Етап.
- •4 Етап.
- •10. Список використаних джерел
3.5. Симплексний метод
Симплексний метод є універсальним, оскільки дозволяє розв’язати практично будь-яку задачу лінійного програмування, яка записана у канонічному вигляді.
Ідея симплекс-методу або методу послідовного покращення плану полягає у тому, що починаючи з деякого початкового опорного рішення здійснюється послідовно спрямоване переміщення по опорним рішенням задачі до оптимального. Значення цільової функції при цьому переміщенні для задач на максимум не спадає. Оскільки число опорних рішень є скінченим, то через скінчене число кроків одержують оптимальний опорний розв’язок.
Опорним розв’язком називають базисний невід’ємний розв’язок.
Алгоритм симплексного методу
1. Математична модель задачі повинна бути канонічною.
2. Відшукується вихідний опорний розв’язок і здійснюється перевірка його на оптимальність. Для цього заповнюється симплексна таблиця. Всі рядки таблиці першого кроку за виключенням рядка (індексний рядок) заповнюються за даними системи обмежень та цільової функції.
БЗ – базисна змінна.
Індексний рядок для змінних визначається за формулою
, ,
БЗ |
... | |||||
... | ||||||
... | ||||||
... | ||||||
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... | ||||||
... |
для вільного члена за формулою
.
Можливі наступні випадки при розв’язанні задачі на максимум:
- якщо всі оцінки , то знайдений розв’язок є оптимальним;
- якщо хоча б одна оцінка , але при відповідній змінній немає жодного додатного коефіцієнта, розв’язання задачі припиняється, тому що, тобто цільова функція є необмеженою у області припустимих розв’язків;
- якщо хоча б одна оцінка від’ємна, а при відповідній змінній є хоча б один додатній коефіцієнт, то необхідно переходити до другого опорного розв’язку;
- якщо від’ємних оцінок в індексному рядку декілька, то у стовпець базисної змінної (БЗ) вводять ту змінну, якій відповідає найбільша за абсолютною величиною від’ємна оцінка.
Якщо хоча б одна оцінка , то-й стовпець приймається за ключовий. За ключовий рядок приймається такий, якому відповідає мінімальне відношення вільних членівдо додатних елементів-го стовпця. Елемент, який знаходиться на перетині ключових рядка і стовпця називається ключовим елементом.
3. Заповнюється симплексна таблиця другого кроку:
- переписується ключовий рядок, з діленням кожного його елемента на ключовий елемент;
- заповнюється базисний стовпець, при цьому всі елементи окрім ключового дорівнюють нулю;
- решта коефіцієнтів таблиці знаходяться за правилом прямокутника.
Наприклад, якщо є ключовим елементом, тоді у симплексній таблиці другого кроку
.
Альтернативний оптимум
При розв’язанні задач лінійного програмування симплексним методом за критерій оптимальності приймають умову: оцінка вільних змінних для задач на максимум і умовадля задач на мінімум.
Якщо на будь-якому кроці хоча б одна з оцінок вільної змінної , а рештадля задач на максимум (для задач на мінімум), то прийнявши за ключовий стовпець той стовпець, дета знайдемо новий оптимальний розв’язок, при якому значення цільової функції не змінюється. У цьому випадку задача має альтернативний оптимум.
Критерієм альтернативного оптимуму при розв’язанні задач симплексним методом є рівність нулю хоча б однієї оцінки вільної змінної .
Якщо тільки одна оцінка вільної змінної дорівнює нулю, тоді розв’язок задачі знаходиться за формулою
, де .
Якщо дві оцінки і більше, наприклад , вільних змінних дорівнюють нулю, тоді оптимальний розв’язок знаходиться за формулою
, де