- •Методичні вказівки
- •1. Загальні положення
- •2. Основи оптимального управління
- •3. Лінійне програмування
- •3.1. Загальна постановка задачі
- •3.2. Види математичних моделей
- •3.3. Графічний розв’язок систем т лінійних нерівностей з двома змінними
- •3.4. Графічний метод
- •3.5. Симплексний метод
- •3.6. Транспортна задача
- •4. Цілочислове програмування
- •4.1. Загальна постановка задачі
- •4.2. Метод Гоморі
- •4.3. Графічний метод
- •5. Нелінійне програмування
- •5.1. Загальна постановка задачі
- •5.2. Дробово-лінійне програмування
- •5.3. Метод множників Лагранжа
- •5.4. Дослідження функції на екстремум за заданою опр
- •6. Модель лєонтьєва багатогалузевої економіки (балансовий аналіз)
- •7. Динамічне програмування
- •7.1. Загальна постановка задачі
- •7.2. Оптимальна стратегія заміни обладнання
- •7.3. Оптимальний розподіл ресурсів
- •7.4. Оптимізаційна модель управління товарними запасами
- •8. Контрольні завдання
- •9. Зразки розв’язання задач Задача 1.
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача №8
- •Задача 9
- •1 Етап.
- •2 Етап.
- •3 Етап.
- •4 Етап.
- •10. Список використаних джерел
9. Зразки розв’язання задач Задача 1.
Підприємство виробляє два види продукції. Для виготовлення першого виду продукції використовують два види ресурсів: сировина і електроенергія, витрати яких на одиницю продукції і місячні запаси наведено у таблиці.
Вихідний ресурс |
Витрати вихідного ресурсу на одиницю продукції, грн. |
Запаси, грн. | |
І вид |
ІІ вид | ||
Сировина |
0,8 |
0,5 |
400 |
Електроенергія |
0,4 |
0,8 |
365 |
Вивчення ринку збуту показало, що місячний попит на І вид продукції перевищує попит на ІІ вид не більше ніж на 100 кг. Окрім того, встановлено, що попит на І вид продукції не перевищує 350 кг за місяць. Роздрібна ціна одиниці продукції І виду - 16 грн., а ІІ – 14 грн.
Яку кількість кожного виду продукції повинно щомісяця виробляти підприємство, щоб виручкавід реалізації продукції була максимальною?
Розв’яжемо задачу за допомогою графічного методу
Позначимо: через - місячний обсяг випуску продукції І виду, кг; через- місячний обсяг випуску продукції ІІ виду, кг.
Складемо економіко-математичну модель задачі.
За критерій оцінки приймемо виручку від реалізації продукції (В), яка визначається за формулою
,
де - ціна одиниціі-го виду продукції, грн.; -обсяги виробленої продукції, кг.
Цільова функція буде мати вигляд
при обмеженнях
Знайдемо область припустимих розв’язків.
1. ,
2.,
3. ,
4.
5. - І чверть.
Областю припустимих розв’язків є п’ятикутник .
Для знаходження екстремальних значень цільової функції при графічному розв’язку знайдемо вектор , який є градієнтом функції
.
Проводимо лінію рівня , яка є перпендикулярною до вектора. Оскільки цільова функція досліджується на максимум, то переміщується лінія рівня за напрямком вектора. Точкою виходу з області припустимих значень є точка, координати якої визначаються як перетин прямихта. Розв’язком системи є значеннякг ікг.
Таким чином, найбільше значення функції або максимальна виручка від реалізації продукції складе
Задача №2
Підприємство виробляє три види продукції. Для виготовлення кожного виду продукції використовують два види ресурсів: сировина і електроенергія, витрати яких на одиницю продукції і місячні запаси наведено у таблиці.
Вихідний ресурс |
Витрати вихідного ресурсу на одиницю продукції, тис. грн. |
Запаси, тис. грн. | ||
|
І вид |
ІІ вид |
ІІІ вид | |
Сировина |
2 |
1 |
3 |
200 |
Електроенергія |
1 |
2 |
1 |
300 |
Роздрібна ціна одиниці продукції І виду - 3 тис. грн., ІІ виду – 4 тис. грн., ІІІ виду – 2 тис. грн.
Яку кількість кожного виду продукції повинно щомісяця виробляти підприємство, щоб виручкавід реалізації продукції був максимальним?
Розв’яжемо задачу за допомогою симплексного методу
при обмеженнях
Переведемо економіко-математичну модель до канонічного вигляду
Складемо симплексну таблицю першого кроку
БЗ |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 | ||
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
0 |
200 | |
0 |
1 |
2 |
1 |
0 |
1 |
300 | |
-3 |
-4 |
-2 |
0 |
0 |
0 |
Заповнимо індексний рядок для змінних за формулами
і для вільного члена
.
Оскільки, маємо від’ємні оцінки при умові, що цільова функція, то знайдений розв’язок не є оптимальним. Складемо симплексну таблицю другого кроку.
За ключовий стовпець обираємо четвертий стовпець, який відповідає найменшому значенню індексної оцінки -4, а за індексний елемент 2, тому що найменше значення відношення вільного члена до відповідного елемента ключового стовпця .
БЗ |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 | ||
0 |
|
0 |
1 |
50 | |||
4 |
1 |
0 |
150 | ||||
-1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
600 |
Оскільки, маємо від’ємну оцінку при умові, що цільова функція, то знайдений розв’язок не є оптимальним. Складемо симплексну таблицю третього кроку.
За ключовий стовпець обираємо третій стовпець, який відповідає від’ємному значенню індексної оцінки -1, а за індексний елемент , тому що найменше значення відношення вільного члена до відповідного елемента ключового стовпця.
БЗ |
3 |
4 |
2 |
0 |
0 | ||
3 |
1 |
0 | |||||
4 |
0 |
1 | |||||
0 |
0 |
Оскільки, всі оцінки при умові, що цільова функція, то знайдений розв’язок є оптимальним.
Таким чином, підприємству необхідно виробляти продукцію І і ІІ виду, а випуск продукції ІІІ виду припинити.