Чтобы лучше понять смысл резонансов (пиков) полного прохождения в случае простых симметричных U(x) (одной прямоугольной ямы, барьера) полезно бегунком энергии находить в непрерывном спектре состояния с T = 1 и следить за изменением фазы осцилляций j (x)j2 в области отражения.

12 Импульсные распределения

Окно импульсного распределения j n(k)j2 подчиненно координатному: выбор номеров уровней происходит в окне координатных распределений. Масштабы задаются в контекстном меню. Полезно мышкой в графическом окне потенциала менять ширину ямы и следить за тем, как меняется вид импульсных и координатных распределений. Особенно интересны моменты появления новых уровней. Можно одновременно следить за трансформацией коэффициента прохождения T(E), если открыто соответствующее окно.

13 Временная эволюция волнового пакета

Две последние возможности в меню «Зависимости» касаются временной эволюции суперпозиции стационарных состояний в координатном и импульсном представлении. Внешний вид окон такой же, как в случае стационарных распределений. Масштабы задаются так же. Знакомство с пакетом необходимо начинать открытием соответствующего окна координатных распределений « (x; t)», в котором можно наблюдать результат смешивания дискретных состояний, либо имитировать волновой пакет, собранный в непрерывном спектре из эквидистантных энергий. Обе возможности открываются в данном окне так же, как масштабы через контекстные меню. Веса гармоник распределены в виде гауссовской функции (по энергии в непрерывном спектре, либо по номерам уровней в дискретном спектре).

Знакомство с временной эволюцией состояний дискретного спектра лучше начинать с не очень широкой прямоугольной ямы, например, заданной по умолчанию. Полезно прерывать движение, нажатием на клавишу остановки/возобновления расчетов, чтобы изменить, например, шаг по времени (пункт «ht» в меню «time parameters» контекстного меню).10 Расчеты будут быстрее, если увеличить шаг по x и шаг по времени.

10Для прерывания расчетов под графическим окном предусмотрена кнопка останова (зеленый треугольник кнопки запуска расчетов меняется в ходе расчетов на кнопку с двумя шпалами, приглашающую прервать расчет).

6

При изучении временной эволюции суперпозиции связанных состояний откройте два окна (x; t) и j n(k; t)j2. Запуск и формирование суперпозиции идет через первое окно. В случае широкой ямы полезно сравнивать знак среднего импульса с положением и направлением движения пакета в координатном представлении.

Наблюдение эволюции в непрерывном спектре требует резко расширить интервал наблюдения по x, чтобы видеть, как пакет подходит к яме и рассеивается на ней.11;12 Можно повторять рассмотрение с самого начала, если в табличке задания «time parameters» вернуть текущее время «time» к начальной нулевой точке.

14Автоматическая деформация потенциала

Автоматическая деформация потенциала производится после определения начального U1 и конечного U2 потенциалов на одинаковом числе интервалов: 0 i N (например, начальная яма глубокая, а конечная – мелкая). Любой такой потенциал можно назначить начальным (нажатием кнопки «U1» на панели инструментов программы), а другой – конечным (кнопкой «U2»). Промежуточные потенциалы Ui(z) на интервале i и ширины отрезков di(z) являются линейными функциями параметра z (0 z 1): Ui = U1i(1 - z) + U2iz, di = d1i(1 - z) + d2iz. Например, по умолчанию U1 это широкая, а U2 – очень узкая яма. В меню «Доп.возможности» предусмотрены варианты «En(z)» и «T(z)», открывающие окна, в которых строятся, соответственно, зависимость уровней энергии и коэффициента прохождения от z. В этих окнах вертикальной пунктирной линией дается бегунок по z, позволяющий увидеть для интересных мест на графике En(z) соответствующий потенциал U(x), волновые функции, импульсное распределение, T(E), если открыты соответствующие окна.

При некотором освоении вышеуказанных возможностей и понимании свойств многоямных (барьерных) потенциалов можно избрать одно из двух направлений дальнейшего знакомства с программой – периодический потенциал или квазистационарные состояния.

11При этом лучше увеличить шаг по x, чтобы сократить время расчета волновых функций.

12Расчет импульсного распределения в непрерывном спектре отсутствует.

7

15Периодический потенциал и квазиимпульс

Пункт «Periodic» из меню «Model» позволяет периодически распространить заданный потенциал на отрезке (0; xN) на всю действительную ось, чтобы изучать состояния зонного спектра.

Периодичность потенциала (U(x + a) = U(x)) влечет существование при любой E -функций, для которых выполняется условие квазипериодичности: E(x + a) = ei (E) E(x). Распространяющиеся решения (состояния разрешенных зон) отвечают неразличимости j (x + a)j2 и j (x)j2, т.е. имеет смысл угла на комплексной плоскости между векторами (x + a) и (x) для любого x. Изменение угла на противоположный отвечает волновой функции (x) для той же E. Принято считать, что

- .

Угол «генетически» связан с импульсом, что видно из следующего примера. В пределе слабой модуляции потенциала (Umax - Umin ! 0) движение становится свободным, разрешенная зона занимает весь непрерывный спектр и распространяющееся решение принимает известный вид = eikx. Следовательно, ka = + 2 N (целое N позволяет менять k от -1 до +1). В связи с этим величину q =a в данном частном и во всех остальных случаях называют квазиимпульсом.

Врассмотренном пределе легко преобразовать известную зависимость E = k2 в закон дисперсии E = f(qa), т.е. <свернуть> всю параболу по ka в интервал - qa горизонтальным сдвигом кусков параболы из интервалов [- +2 N, + 2 N] в область изменения qa. Функция E = f(qa) является многозначной (любому квазиимпульсу отвечает бесконечное счетное множество энергий). Частота с которой следуют ветви энергии зависит от величины периода a. В точках qa = , qa = - и qa = 0 (за исключением ka = 0) скорость частицы dE/dq при одной E имеет по два значения, но |dE/dq| одинаковы.

Вобщем случае квазиимпульс находится по заданной E численно в результате сшивки -функции в точках разрыва потенциала на одном периоде U(x) и применения условия квазиперидичности (x) к граничным точкам периода. В некоторых полосах энергий (запрещенных зонах) квазиимпульс переста-

ет быть действительной величиной и, напротив, E(x + a) =E E(x), где E действительная величина, точнее две величины: 1 2 = 1. Поэтому решения неограниченно растут с ростом номера периода в соответствующем направлении. При отсутствие границы у периодического потенциала эти решения не имеют физического смысла.

8

Изучение общего случая в программе для простоты необходимо начинать с потенциала на отрезке (0; xN) в виде одной ямы, например, заданной по умолчанию. Заметим, что при выборе пункта «Periodic» автоматически добавляет один отрезок нулевого потенциала справа к тому потенциалу, который задавался при работе с другими пунктами меню «Model». В окне потенциала покажется столько ям и разделяющих барьеров, сколько разрешают масштабы по x, которые регулируются обычным для данной программы образом. На фоне потенциала соответствующим цветом показаны края разрешенных зон.

16 Как вычисляются En–края зон

Умножением (x) на некоторое число ei (E) делаем волновую функцию на левом краю периода действительнозначной и считаем число нулей N(E) на периоде для полученной Re (x). С ростом E это число растет единичными ступенями. Чтобы не делать лишнего окна данная зависимость строится в том же окне, что и T(E), которая для периодического потенциала не имеет смысла. Энергии, отвечающие появлению нового нуля на периоде лежат строго в центре каждой разрешенной зоны, т.е. там, где qa = 1=2.13

Идя от центра каждой зоны вверх и вниз по энергии, легко найти оба ее края, т.е. точки с qa = 0 и qa = 1. В программе это сделано экономично, и края En находятся почти мгновенно вслед за деформацией потенциала.

17Распределения по x и k в периодическом

потенциале

Если открыть окно волновых функций « n(x)», то в нем будут показаны волновые функции краев подзон. Полезно по виду Re (x), 3D : (x) усмотреть, каким квазиимпульсам отвечает каждое состояние, обратить внимание на число и положение нулей, увидеть основной и дополнительный периоды осцилляций.

Если открыть окно импульсного распределения, в нем автоматически отобразятся теми же цветами края зон. Состояния здесь рисуются со сдвигом по вертикали, поскольку импульс принимает эквидистантные значения с универсальным шагом для всех краев зон (почему?). Найдите в этом представлении

13Вы можете в этом убедиться, если вместе с окном N(E) будете смотреть закон дисперсии E(qa) и воспользуетесь бегунком энергии.

9