ГДЗ Погорелов 7-9 клас / gdz_geometriya_7_klass_pogorelov

2)В ∆АВВ1 и ∆ВАА1: АА1 = ВВ1 (АА1 = АС – СА1 = АВ – АВ1

=ВВ1)

АВ — общая сторона.

САВ = СВА (т.к. АВС — равнобедренный, а у равнобедренных треугольников углы при основании равны).

Таким образом, ∆АВВ1 = ∆ВАА1 по 1-му признаку равенства треугольников.

№ 14.

На основании АВ равнобедренного треугольника АВС даны точки А1 и В1. Известно, что АВ1 = ВА1. Докажите, что треугольники АВ1С и ВА1С равны.

В ∆АВ1С и ∆ВА1С:

АС = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)САВ = СВА (т.к. ∆АВС — равнобедренный). АВ1 = ВА1 (из условия)

53

Таким образом, ∆АВ1С = ∆ВА1С по 1-му признаку равенства треугольников.

№ 15.

Треугольники АСС1 и ВСС1 равны. Их вершины А и В лежат по разные стороны от прямой СС1. Докажите, что треугольники АВС и АВС1 равнобедренные.

Т.к. ∆АСС1 = ∆ВСС1, то: АС = ВС, АС1 = ВС1.

Таким образом, ∆АВС и ∆АВС1 равнобедренные по определению.

Что и требовалось доказать.

№ 16.

Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению задачи 12.

Задача решена в п. 24 учебника (стр. 32).

№ 17.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки С1 и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если треугольники АВС1 и ВАС2 равны.

54

Т.к. ∆АС1В = ∆АС2В, то А = В. Следовательно, ∆АВС равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

№ 18.

1)Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.

2)Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.

1)

55

В ∆АА1В1 и ∆В1С1С:

АА1 = СС1 как половины равных сторон (т.к. АА1 = АВ : 2 = ВС

: 2 = СС1)

А = С, т.к. ∆АВС — равнобедренный и А и С — углы при основании.

Таким образом, ∆АА1В1 = ∆В1С1С по 1-му признаку равенства треугольников.

Отсюда А1В1 = В1С1.

Таким образом, ∆А1В1С1 — равнобедренный (по определению).

2)

В ∆АА1В1, ∆А1ВС1, ∆СС1В1:

А = В = С (т.к. ∆АВС — равносторонний).

АА1 = А1В = ВС1 = С1С = СВ1 = В1А (как половины равных сторон).

Таким образом, ∆АА1В = ∆А1ВС = ∆СС1В1 по 1-му признаку равенства треугольников.

Откуда А1С1 = С1В1 = А1В1.

Таким образом, ∆А1В1С1 равносторонний по определению.

№ 20.

Докажите, что у равнобедренного треугольника:

1) биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

56

2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже равны.

1) BAK = KAC = OCA = OCK, т.к. А = С, и СО и КА — биссектриссы.

В ∆AKB и ∆СОВ: АВ = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)BAK = ВСО (т.к. АК и СО — биссиктриссы равных углов).В — общий. Таким образом, ∆AKB = ∆СОВ по 2-му призна-

ку равенства треугольников.

Откуда AK = СО, что и требовалось доказать.

2)AQ = QB = BF = FC, т.к. AF и CQ — медианы.

В ∆AFB и ∆CQB:

АВ = ВС (т.к. ∆АВС — равнобедренный)

QB = BF

В — общий. Таким образом, ∆AFB = ∆CQB по 1-му признаку равенства треугольников.

Откуда AF = CQ.

57

№ 21.

Докажите, что у равных треугольников АВС и А1В1С1:

1)медианы, проведенные из вершин А и А1, равны;

2)биссектрисы, проведенные из вершин А и А1, равны.

1)

С = С1, А = А1, В = В1.

ВО = ОС = В1О1 = О1С1, т.к. АО и А1О1 — медианы, и ВС = В1С1.

В ∆АОС и ∆А1О1С1: АС = А1С1, ОС = О1С1, С = С1.

Таким образом, ∆АОС = ∆А1О1С1 по 1-му признаку, откуда

АО = А1О1. 2)

58

Т.к. ∆АВС = ∆А1В1С1, то: АС = А1С1, А = А1, С = С1.

BAK = KAC = B1A1K1 = K1A1C1, т.к. AK и A1K1 — бис-

сектрисы равных углов.

В ∆AKC и ∆A1K1C1: АС = А1С1, С = С1, KAC = K1A1C1.

Таким образом, ∆АKC = ∆A1K1C1 по 2-му признакуравенства треугольников.

Откуда AK = A1K1.

№ 22.

Точки А, С, В, D лежат на одной прямой, причем отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD.

Т.к. ∆АВЕ — равнобедренный, и ( САЕ и EАВ), ( ЕВА и

EBD) — смежные, то САЕ = 180о – ЕАВ = 180о – ЕВА =

EBD.

59

В ∆САЕ и ∆EBD:

АЕ = ВЕ (т.к. АВЕ — равнобедренный)

САЕ = EBD

СА = BD (т.к. СА = СО – АО = OD – OB = BD)

Таким образом, ∆САЕ = ∆EBD, следовательно, ∆CED — равнобедренный, (т.к. СЕ = ED как лежащие против равных углов в равных треугольниках), что и требовалось доказать.

№ 23.

Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Пусть AD = A1D1 — равные биссектрисы, A = A1, AC = A1C1 — равные стороны.

В ∆АDС = ∆A1D1C1: DAC = D1A1C1 (т.к. DAC половина угла BAC DAC = BAC : 2 = B1A1C1 : 2 = D1A1C1).

AD = A1D1, АС = А1С1. (по условию: AD = A1D1 — равные биссиктрисы, AС = A1С1 — равные прилежащие стороны).

60

Таким образом, ∆ADC = ∆A1D1C1 по 1-му признаку равенства треугольников, откуда С = С1 как лежащие против равных сторон в равных треугольниках)

В ∆АВС и ∆А1В1С1: АС = А1С1, А = А1 (по условию)

С = С1.

Таким образом, ∆АВС = ∆А1В1С1 по 1-му признаку равенство треугольников, что и требовальсь доказать.

№ 24.

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка D.

Докажите равенство треугольников:

1)ABD и CBD;

2)AMD и CMD.

Т.к. ВМ — медиана равнобедренного треугольника, то она

является и высотой и биссектрисой. Таким образом, AMD =

DMV = 90о, ABD = DBC,

1)В ∆ABD и ∆DBC: АВ = ВС (т.к. ∆АВС равнобедренный), BD — общая.

ABD = DBC (т.к. ВМ — биссектриса).

Таким образом, ∆ABD = ∆DBC по 1-му признаку равенства треугольников.

2)В ∆ADM и ∆MDC:

АМ = МС (т.к. ВМ — медиана)

61

DM — общая

AMD = DMC = 90о

Таким образом, ∆ADM = ∆MDC по 2-му катетам, что и требовалось доказать.

№ 25.

Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него

1)медиана BD является высотой;

2)высота BD является биссектрисой;

3)биссектриса BD является медианой.

В∆ABD и ∆DBC:

1)Если BD — медиана и высота, то AD = DC, ADB =CDB = 90°, BD — общая. ∆ABD = ∆CBD по двум катетам.

Откуда АВ = ВС, таким образом, ∆АВС — равнобедренный.

2)Если BD — высота и биссектриса, то ABD = DBC,ADB = BDC, BD — общая. ∆ABD = ∆CBD по 2катету и двум прилежащим углам.

Откуда АВ = ВС, таким образом, ∆АВС — равнобедренный.

3)Если BD — биссектриса и медиана:

Продлим BD до точки В1, так, что BD = DB1.

В ∆ABD и ∆СDB1:

AD = DC (т.к. ВD — медиана)

BD = DB1

ADB = CDB1 (из построения, как вертикальные).

62