ГДЗ Погорелов 7-9 клас / gdz_geometriya_7_klass_pogorelov

2) 120о.

№ 6.

Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.

Задача решена в п. 39 учебника (стр. 56).

№ 7.

Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.

Допустим, окружность с центром О касается прямой в двух точках А и В, таким образом, у треугольника АОВ: ОАВ =ОВА = 90о, а этого не может быть.

№ 8.

Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.

Задача решена в п. 40 учебника (стр. 57).

№ 9.

Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?

103

ОВ = ОА = АВ (по условию), таким образом, ОАВ = 60о (т.к.

∆АВО — равносторонний).

Т.к. ОА а, то BAK = 90о – 60о = 30о.

№ 10.

Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.

ABK = BAK = 30о (из предыдущей задачи)

BKA = 180o – ( BAK + ABK) = 180o – 30o – 30o = 120o (т.к.

сумма внутренних углов треугольника равна 180˚).

BKF = 180o – 120o = 60o (т.к. BKF и BKA смежные).

Ответ: 60о, 120о.

№ 11.

Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания.

Точки О, А, О1 лежат на одной прямой. Рассмотрим 2 случая 1) Случай внутреннего касания окружностей.

ОО1 = ОА + О1А = 30 + 40 = 70 см

104

2) Случай внутреннего касания окружностей.

О1О = ОА – О1А = 40 – 30 = 10 см Ответ: 70 см, 10 см.

№ 12.

Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?

Допустим, они касаются, тогда их центры и точка пересечения лежат на одной прямой и расстояние между центрами равно либо 25 + 50 = 75, либо 50 – 25 = 25, но 75 ≠ 60 и 25 ≠ 60, таким образом, пришли к противоречию.

№13*.

1)Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ.

105

2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?

1) Допустим, ∆АОВ и ∆ВОС — равнобедренные, таким образом, АО = ОВ = ОС, и А = С = АВО = ОВС, а это возможно лишь если АВО = ОВС = 90о, т.к. они смежные, то есть их сумма равна 180˚ но тогда А = С = 90о, что не может быть, т.к. в этом случае сумма углов треугольника будет боль-

ше 180о.

2)Пусть прямая а пересекает окружность с центром в точке

Охотя бы в трех точках А, В, С. Тогда точки А, В, С принадлежат окружности, и ОА = ОВ = ОС (как радиусы) и лежат на прямой а. Треугольники ОАВ и ВОС — равнобедренные. Но это невозможно (в п. 1 мы это доказали). Значит, предположение не верно, могут пересекаться более чем в двцх точках.

№14*.

1)Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой

ОО1.

2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.

106

1)Докажем, что АВ ОО1.

В ∆ОАО1 и ∆ОВО1:

ОА = ОВ (как радиусы), О1А = О1В (как радиусы), ОО1 — общая.

Таким образом, ∆ОАО1 = ∆ОВО1 по 3-му признаку равенства треугольников, откуда AOK = KOB, AO1K = BO1K.

В ∆АОВ:

ОА = ОВ, следовательно, ∆АОВ — равнобедренный, AOK =KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к.∆АОВ — равнобедренный, то есть OK АВ.

Таким образом, АВ ОО1.

2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.

Допустим, что две окружности с центрами О и О1 пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ОО1, АВ ОО1, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО1.

Таким образом, мы пришли к противоречию.

№15*.

1)Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.

107

2)Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.

3)Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.

1) Так как прямая а не касается окружности, то она пересекает окружность в двух точках.

В ∆АОС:

ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к. ОВа (по условию)). Значит, ∆АОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.

2)Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести к прямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ. Тогда, из п. 1, точки А и С лежат на окружности.Противоречие, т.к. по условию прямая а имеет с окружностью только однук общую точку.

3)Если две окружности касаются в некоторой точке А, то они имеют общую касательную в этой точке.

Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем ∆ОО1А. Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,

108

в одной из которых лежит точка А. ∆ОО1А = ∆ОО1А1 по 1-му признаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскостьА1О1О = АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА = ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеих окружностей. Противоречие. По условию окружности имеют только одну точку пересечения. Таким образом, точки О, О1, А лежат на одной прямой.

Через точку А проведем прямую а, а ОА. Таким образом, а

— касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружности касаются в точке А.

№16*.

1)Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.

2)Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

109

1)В ∆ОРМ и ∆OQM:

ОМ — общая,

ОР = OQ, как радиусы,

ОР МР, OQ MQ (т.к. МР и MQ — касательные). Таким образом, ∆ОРМ = ∆OQM по1-му признаку равенства

треугольников. Откуда МР = МО.

2) Пусть через точку М можно провести три касательных к окружности: МР, MQ, МА. Тогда из п. 1 следует, что МР = MQ = MA, откуда точки Р, Q, А лежат на одной окружности с центром М. Получилось, что две окружности имеют три общие очки. Противоречие. В задаче 14 § 5 мы это доказали. Таким образом, через данную точку нельзя провести более двух касательных к данной окружности.

№ 17.

Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.

110

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров.

В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами и высотами, откуда они являются и серединными перпендикулярами. Значит, центры вписанной и описанной окружности совпадают.

№ 18.

Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сто-

рон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 = AB + AC −BC .

2

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

АС1 = АВ1 (по свойству касательных)

АС1 + АВ1 = АВ – ВС1 + АС – СВ1 = АВ + АС – (ВА1 + СА1) = АВ + АС – ВС = 2АС

Таким образом, AC1 = AB + AC −BC .

2

№ 19.

Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с.

111

Задача решена в п. 43 учебника (стр. 58).

№ 20.

Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.

Построение ясно из рисунка.

№ 21.

Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Центр окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ, на расстоянии, равном r от А и В.

№ 22.

Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.

112