funcan / Formulirovki

Пусть функционал линеен и ограничен. Если область определения этого функционала ( ) , где — гильбертово пространство, то функционал можно расширить на всё пространство .

Определение 5.39. Оператор : → называется самосопряжённым, если , выполнено выражение

, = ,

Утверждение 5.23. Собственные значения для самосопряжённого оператора обязательно вещественны.

Определение 5.40. Выражение вида , называется квадратичной формой оператора.

Утверждение 5.24. Если оператор — самосопряжённый, то

, = , = ,

Отсюда естественным образом следует , R.

Утверждение 5.25. (О норме самосопряжённого оператора) Если — самосопряжённый оператор, то ‖ ‖ = max(| |, | |). (Норма оператора равняется супремуму модуля квадратичной формы на единичной сфере)

Теорема 5.8. (О регулярных значениях самосопряжённого оператора) Пусть : → — линейный самосопряжённый оператор, = −

. Тогда верно следующее:

( ) > 0, , ‖ ‖ > · ‖ ‖

Утверждение 5.26. Любое , которое не является вещественным, является регулярным значением для самосопряжённого оператора.

= + , ̸= 0

Теорема 5.9. Для самосопряжённого оператора выполнено ( ) [ ; ], где и были приведены в прошлой лекции (см. ( ??)).

11

Теорема 5.10. Если — самосопряжённый, 0 6 6 (Для любого

самосопряжённого оператора можно добиться выполения этого свойства), то , ( ).

Определение 5.41. Пусть определён линейный, ограниченный оператор : → . называется инвариантным подпростран-

ством оператора , если

,

Утверждение 5.27. — инвариантное подпространство линейного

ограниченного оператора тоже инвариантно.

Теорема 5.11. Пусть — линейный ограниченный оператор. Тогда, если — инвариантное подпространство оператора , то — инва- риантное подпространство для *.

Утверждение 5.28. ( ) = ( ) ( ).

Определение 5.42. — компактное множество, если из лю-

бой его последовательности можно выделить подпоследовательность, которая

∙Сходится.

∙Её предел лежит в .

Теорема 5.12. В конечномерном пространстве компактность замкнутости и ограниченности.

Теорема 5.13. Компактность замкнутость и ограниченность.

12

Теорема 5.14. Пусть : → — компактный самосопряжённый оператор. Тогда имеет место следующее утверждение:

̸= 0& ( )

Утверждение 5.30. Предельной точкой дискретного спектра может быть только = 0.

Утверждение 5.31. 1 = ‖ ‖.

Теорема 5.15. (Альтернатива Фредгольма) Рассмотрим компактный оператор : → , где — банахово пространство и следующие

уравнения:

Тогда возможны два варианта:

1.Однородные уравнения (о) и (со) имеют нулевые решения. Тогда (но) имеет решение при любой правой части.

2.Однородное уравнение (о) имеет ненулевое решение.

Тогда размерности пространств решений (о) и (со) совпадают, а уравнение (но) имеет решение, если его правая часть ортогональна пространству решений (со).

(Гильберта-Шмидта) (О существовании собственного базиса/диагонализируемости компактного самосопряжённого оператора)

Если оператор : → — компактный и самосопряжённый, то в существует гильбертов базис, состоящий только из собственных векторов оператора .

Утверждение 5.32. Оператор Гильберта-Шмидта компактен.

Определение 5.45. Уравнениями Фредгольма называются следующие уравнения:

Где — оператор Гильберта-Шмидта.

13

Определение 5.46. Пусть — полное метрическое пространство. Отображение : → называется сжимающим, если

0 < < 1 1, 2 : ( ( 1), ( 2)) 6 · ( 1, 2)

Теорема 5.17. Пусть — сжимающее отображение. Тогда оно имеет единственную неподвижную точку 0, то есть такую, что ( 0) =

0.

Определение 5.47. Число , при которых оператор ( − ) не обра-

тим, называются собственным числом интегрального оператора.

Определение 5.48. Пусть — оператор Гильберта-Шмидта. Тогда ядро оператора называется повторным ядром.

Теорема 5.18. (О существовании и единственности решения уравнения Вольтерра) Уравнение Вольтерра

∫

( ) = ( , ) ( ) + ( ) [ , ]

( )( )

имеет единственное решение, которое может быть найдено методом последовательных приближений.

Определение 5.49. Функция ( ) называется допустимой, если ( ) удовлетворяет граничным условиям и , ( , , ′) ( ) .

Определение 5.50. 0( ) называется локальным максимумом функционала [ ], если:

: ‖ − 0‖ 1 < [ 0] > [ ]

Определение 5.51. 0( ) называется локальным минимумом функционала [ ], если:

: ‖ − 0‖ 1 < [ 0] 6 [ ]

Определение 5.52. Функция ( ) 2, которая является решением

уравнения уравнения Эйлера, называется экстремалью. функционала

[ ].

Геодезическая кривая — кратчайшая кривая, соединяющая две точки на поверхности.

14