funcan / Formulirovki

Основы функционального анализа и теории функций, четвёртый семестр.

Лектор — Тресков Сергей Андреевич Лекции записаны Ремневым Михаилом

Сборка выполнена 14 июня 2013 г., 21:50

Содержание

1

Определение 5.1. Векторное (линейное) пространство – это математическая структура, которая формируется набором элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число – скаляр.

Определение 5.2. Произвольное множество векторов из векторного пространства E называется линейно независимым, если каждое конечное подмножество векторов этого множества также линейно независимо.

Определение 5.3. Метрическим пространством называется непустое множество , в котором определено расстояние между любой

парой элементов (метрика).

Обозначается – (M, ), : 2 → R, причём для выполняются следующие условия:

1.( , ) > 0 & ( = 0 = )

2.( , ) = ( , )

3.( , ) 6 ( , ) + ( , ) (неравенство треугольника)

Определение 5.4. Пределом функции : 1 → 2 называется 2, такой что

> 0 ( ) > 0, 1 & ̸= 0 :

1( , 0) < 2( ( ), ) <

Определение 5.5. Подмножество называется открытым,

если любая точка в нём содержится вместе с некоторой окрестностью.

Определение 5.6. Подмножество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Определение 5.7. Замыкание множества – это объединение множества и всех его предельных точек. Обозначают или .

Определение 5.8. 1 , 2 . Подмножество 1 плотно в

2 2 1

2

Определение 5.9. Пусть 1 . 1 всюду плотно 1 = . (То есть для любой точки из M существует последовательность из1, которая сходится к этой точке.)

Определение 5.10. Множество M называется сепарабельным, если у него найдётся счётное, всюду плотное подмножество.

Определение 5.11. Счётное множество – множество, все элементы которого можно пронумеровать.

Определение 5.12. Последовательность { } называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если она удовлетворяет условию Коши:

> 0 = ( ), 1, 2 > , ( 1 , 2 ) <

Метрическое пространство называется полным, если любая содержащаяся в нем фундаментальная последовательность имеет предел.

Определение 5.14. Назовём нормой вектора отображение ‖.‖ :

→ R+, для которого выполнены следующие условия:

1.‖ ‖ > 0 (‖ ‖ = 0 = 0)

2.‖ ‖ = | |‖ ‖

3.‖ + ‖ 6 ‖ ‖ + ‖ ‖

Определение 5.15. Две нормы называются эквивалентными, если они порождают один и тот же запас открытых множеств.

Определение 5.16. Две нормы 1 и 2 на пространстве V называются эквивалентными, если существуют две положительные константы1 и 2, такие, что для любого выполняется

1 1( ) 6 2( ) 6 2 1( )

Банахово пространство — полное нормирован-

Cкалярное произведение — это отображение

., . : 2 → C (или R), удовлетворяющее следующим аксиомам:

3

1., = ,

2.1 + 2, = 1, + 2,

3., > 0 ( , = 0 = 0)

Определение 5.19. Векторы , называются ортогональными, если , = 0. Обозначается .

√

Определение 5.20. ‖ ‖ = , . Пока это «контрабандное» утверждение, докажем его позже.

Определение 5.21. Линейное пространство E называется пространством со скалярным произведением над P, если определено скалярное произведение ., . : 2 → P.

Утверждение 5.1. Тождество параллелограмма:

Обязательно выполнено для пространств с нормой, порождённой скалярным произведением.

Гильбертовым пространством называется пространство со скалярным произведением, которое полно относительно нормы, порождённой этим скалярным произведением.

Подмножество векторного пространства называется выпуклым, если оно содержит вместе с любыми двумя точками соединяющий их отрезок.

Утверждение 5.2. Скалярное произведение непрерывно по первому и второму аргументам.

, − ′, ′ = , − ′, + ′, − ′, ′ 6

6 ‖ − ′‖ · ‖ ‖ + ‖ ′‖ · ‖ − ′‖

Теорема 5.1. Пусть — замкнутое выпуклое подмножество гильбертового пространства . Тогда

4

Теорема 5.2. — замкнутое подпространство . , , — ближайший. Тогда = ( − )

Ортонормированную систему будем называть полной, если её нельзя пополнить (то есть добавить единичный вектор, перпендикулярный предыдущим).

Ортонормированную систему будем называть замкнутой, если для любого вектора из гильбертова пространства неравенство Бесселя становится равенством.

Утверждение 5.3. Пусть система векторов { } полна, тогда { } =

.

Утверждение 5.4. Если { } полна, то верно уравнение замкнутости: = ∑∞1 .

Теорема 5.3. Пусть 1, . . . , , . . . – произвольная ортонормированная

система векторов в гильбертовом пространстве H, и пусть числа

1, . . . , , . . . таковы, что ряд ∑| |2 сходится. Тогда существует такой вектор , что = , и

т.е. такой , для которого являются коэффициентами Фурье, а норма вычисляется в соответствии с равенством Парсеваля.

Два векторных пространства со скалярным произведением называются изоморфными, если существует обратимое линейное отображение, такое что скалярное произведение переходит в скалярное произведение.

Утверждение 5.5. Если — сепарабельное гильбертово пространство, то изоморфоно 2.

Определение 5.27. Ортонормированная система векторов { } называется гильбертовым базисом, если любой вектор пространства может быть представлен в виде бесконечной линейной комбинации

{ }.

5

Утверждение 5.6. В сепарабельном гильбертовом пространстве найдётся счётный гильбертов базис.

Утверждение 5.7. Все ортогональные многочлены степени имеют ровно корней, причём эти корни:

1.R

2.— простые корни.

3.( , )

Доказательство. Используем метод «от противного»:

Пусть существует только < точек в ( , ), где ( ) меняет знак. Рассмотрим P = ( − 1) · · · ( − ). Тогда ( )P ( ) сохраняет знак.

∫

P ( ) ( ) ( ) ̸= 0

что противоречит предположению < .

Отсюда следует = , а это и означает, что все корни многочлена расположены на интервале ( , ) и различны.

Утверждение 5.8. и +1 не имеют общих корней.

Доказательство. Предположим, что существует 0, такой что:

{

( 0) = 0+1( 0) = 0

Выпишем рекуррентное соотношение (??) в точке = 0:

Выделенные цветом слагаемые равны нулю, а это значит, что −1( 0) = 0. Рассматривая пару:

{

−1( 0) = 0( 0) = 0

и расписав рекуррентное соотношение аналогичным образом, получим−2( 0) = 0. Рассуждая так дальше, в конце концов получим, что 0( 0) = 0, что невозможно, поскольку 0 равен ненулевой константе. Противоречие.

6

Утверждение 5.9. ( 0) −1( 0) +1( 0) < 0.

Доказательство. Для доказательства этого факта воспользуемся выведенной рекуррентной формулой (??), учитывая, что ( 0) = 0:

Поскольку −1, , +1 > 0, то для выполнения равенства требуются разные знаки многочленов +1 и −1 в точке = 0:

−1( 0) +1( 0) < 0

Корни многочлена лежат между корнями +1.

тут уж надо картинки, и вообще тут

треш

Для числовой последовательности 0 . . . можно

ввести формальный степенной ряд ( ) = ∑∞ — производящую

=0

функцию этой последовательности.

Определение 5.29. Отображение из в назовём линейным оператором, если область определения оператора ( ) и выполнены следующие условия:

1.( + ) = +

2.( ) =

Обозначают : → .

Определение 5.30. Множество ограничено, если существует шар( ), в котором содержится все множество:

( > 0) ( ( , ) < )

Определение 5.31. Оператор : называется ограниченным, если он переводит любое ограниченное множество в ограниченное.

Утверждение 5.11. Линейный оператор ограничен он непрерывен.

7

Определение 5.32. Нормой линейного оператора называется следующая величина:

‖ ‖

‖ ‖ =

̸=0 ‖ ‖

Утверждение 5.12. Линейный оператор ограничен его норма конечна.

Утверждение 5.13. Для нормы линейного оператора выполнены все аксиомы нормы.

Доказательство. ∙ неотрицательность и равенство нулю только для нулевого оператора — очевидно

∙ умножение на скаляр

‖ ‖ = ‖ ‖ = | | ‖ ‖ = | | ‖ ‖

| |=1 | |=1

∙ неравенство треугольника

‖ + ‖ = ‖( + ) ‖ 6 (‖ ‖ + ‖ ‖) 6 ‖ ‖ + ‖ ‖

Утверждение 5.14.

‖ ‖ 6 ‖ ‖ ‖ ‖ 6

Утверждение 5.15. Для нормы композиции линейных операторов верно неравенство

‖ · ‖ 6 ‖ ‖ · ‖ ‖

Определение 5.33. Оператором Гильберта-Шмидта назовём оператор: ∫

( )( ) = ( , ) ( )

R

Теорема 5.4. Рассмотрим линейный оператор 1 : → . Если выполнены следующие условия:

8

1.— полное.

2.( 1) = 1 2.

3.1 2 (То есть 1 плотно в 2).

То найдётся линейный оператор 2, ( 2) = 2, такой, что:

‖ 2‖ 6 ‖ 1‖

(определены на одном и том же подмножестве ) и:

, →

→∞

Определение 5.35. Если для линейного оператора и последовательности линейных операторов имеет место:

‖ − ‖ → 0

то равномерно сходится к , что обозначается как .

Утверждение 5.16. Предел последовательности линейных операторов является линейным оператором.

Утверждение 5.17. Если → и ‖ ‖ 6 , где — некоторая константа, то оператор является ограниченным.

Рассмотрим последовательность : → . Утверждается, что, если — полное, то пространство ограниченных

линейных операторов { } образует полное нормированное пространство.

Определение 5.36. Если для полного пространства и операторов: → имеет место предельное соотношение

∑

→ ,

→∞

=1

∞

∑

то оператор = называют операторным рядом.

=1

9

Утверждение 5.19. −1 аддитивен и однороден.

Теорема 5.5. (Без доказательства) Если — линеен, ограничен и

отображает полное нормированное пространство на полное нормиро- ванное пространство, то −1 — линейный и ограниченный оператор.

Теорема 5.6. Пусть — полное пространство, : → — линейный

оператор, ‖ ‖ < 1. Тогда оператор − является обратимым, причём обратный оператор определяется как:

Утверждение 5.21. Множество регулярных значений ( ) оператораявляется открытым.

Определение 5.37. Пусть — банахово пространство. Тогда ′ бу-

дем называть пространством непрерывных линейных функционалов из в C или пространством, сопряжённым к .

Теорема 5.7. (Рисса) Пусть : → C — линейный ограниченнный функционал, тогда

1. ! , такой, что

, = ,

2., формула ( = , ) определяет линейный непрерывный функционал

→ C, причём ‖ ‖ = ‖ ‖

Определение 5.38. Для линейного оператора : → , оператор* : ′ → ′ называется сопряжённым оператором, если он выполняет отображение →, где ′ и ′ — линейные функционалы, и , =

10