Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

bilutapa-kurstfkp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

iϕ

−z0

dt = iRe

dϕ = i (t−z0 ) dϕ,

dt = −i (t−z0 ) dϕ = −

t−z0

(t−z0 )(t−z0 )

получим

z −z0

−

= − Z (t

f (t)

z ) 1−

0t−z0

t) dt

−

− 0

−

z −z0

− Z

= 0,

(t−z0 )(t−z)

t−z

t−z0

f (t)(z

−z0 ) dt

f (t) dt

и поскольку из (2.62) при z = z0 следует, что

2π

f (z0 ) =

2πi Z

t−z0

= 2π Z

f (t) dϕ = 2πi Z

t−z0

f (t) dt

отсюда получаем равенство

f (z0 ) = 2πi Z

z C(R, z0 ).

(2.64)

t−z

f (t) dt

Сложив равенства (2.62) и (2.64) и положив <ef (t) = u(t), получим

f (z) + f (z0 ) = πi Z

t−z .

(2.65)

u(t) dt

Поскольку из (2.65) при z = z0 следует, что

u(z0 ) = 2πi Z

t z0

u(t) dt

−

то (2.65) можно записать в виде

t−z0

f (z) = πi Z

t−z − 2πi Z

+ iC

u(t) dt

или

(t−z0 )(t−z) u(t) dt + iC,

C = =mf (z0 ).

(2.66)

f (z) = 2πi Z

t−2z0

Равенство (2.66), выражающее			значения аналитической в круге

C(R, z0 ) и непрерывной в C(R, z0 )			функции f (z) через значения дей-

ствительной части этой функции на окружности | t−z0 |= R, называется

и н т е г р а л ь н о й ф о р м у л о й

Ш в а р ц а. Применяя формулу (2.66) к

функции f (z)/i, можно получить выражение функции f (z)

через зна-

чения ее мнимой части на окружности

−

Полагая

iψ

z −z0 = re

и отделяя действительные части в (2.66), полу-

чим

t−z0 +z −z0

u(z) = <e

u(t) dt =

2πi

(t−z0 )[ t−z0 −(z −z0 ) ]

2π

Reiϕ + reiψ

u (z0 + Reiϕ) dϕ,

2π

Reiϕ

−

reiψ

или

2π

u(z) =

(R2 − r2) u (z0 + Reiϕ)

(2.67)

2π

−

2Rr cos (ψ

−

ϕ) + r2

dϕ.

Это ф о р м у л а П у а с с о н а.

2.10. Функции класса Гельдера

Говорят, что заданная		на связном	множестве	E функция f (z)
у д о в л е т в о р я е т н а	E	у с л о в и ю	Г е л ь д е р а	(условию H), ес-
ли существуют такие положительные числа A и µ, 0 < µ ≤1, что
\| f (z1 ) − f (z2 ) \| ≤ A \| z1 −z2 \|µ
для любых точек z1 , z2	из E. Число A называетсся к о э ф ф и ц и е н т о м,
а µ п о к а з а т е л е м	условия H. Если требуется явно указать µ, то

говорят, что функция f (z) удовлетворяет условию H(µ). Значение коэффициента A нас обычно не будет интересовать.

Приведем некоторые свойства функций, удовлетворяющих условию Гельдера.

10. Если множество E о г р а н и ч е н о и функция f (z) удовлетворяет на E условию H(µ), то она удовлетворяет и условию H(ν) при всяком

ν (0, µ).

Действительно, в этом случае

| f (z1 )−f (z2 ) | ≤ A | z1 −z2 |µ = A | z1 −z2 |µ − ν | z1 −z2 |ν ≤ A1 | z1 −z2 |ν ,

где A1	= A d µ − ν , а d = sup \| z1 −z2 \| диаметр множества E.
	z1,z2 E

В дальнейшем мы будем пользоваться условием H главным образом для функций точки t заданной замкнутой гладкой кривой Жордана .

20. Если функция ϕ(t) имеет на гладкой кривой : t = t(s), 0 ≤s ≤L, ограниченную производную по t, т. е. существует предел

lim	ϕ(t1 )	− ϕ(t)	= ϕ0(t) и \| ϕ0(t) \| ≤ M, t ,
lim			= ϕ0(t) и \| ϕ0(t) \| ≤ M, t ,
t1→ t	t1	−t
t1 , t

то ϕ(t) удовлетворяет на условию H(1).

Действительно, полагая ϕ [ t(s) ] = u(s) + iv(s), применяя к дифференцируемым в силу гладкости кривой функциям u(s), v(s) теорему

о среднем значении и принимая во внимание соотношения (0.16) и (0.27)

(см. ¾Введение¿), получим

√

| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤

| t1 −t2 |.

Отсюда следует, что аналитическая в области D функция f (z)

удовле-

творяет условию H(1) в любой замкнутой подобласти D1 D, посколь-

ку любые точки z1 , z2 из D можно соединить гладкой линией γ D1

производная f 0(z) ограничена в D

30. Если функция ϕ(t) удовлетворяет условию

| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ A | t1 −t2 |µ

(2.68)

в любых точках t1 и t2 кривой , для которых | t1 −t2 | ≤ δ, где δ

некоторое положительное число, то она удовлетворяет условию H(µ)

на

всей кривой .

В самом деле, если | t1 −t2 |> δ и | ϕ(t) |≤M на , то

| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) | ≤ 2M <

| t1 −t2 |µ,

δ µ

поэтому для любых точек t1 , t2 на		функция ϕ(t) будет удовлетво-
			2M
рять0	условию H(µ) с коэффициентом	A0 = max A,		.
			δ µ
4	. В силу соотношения (0.27) условие H(µ) эквивалентно условию
	\| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) \| ≤ A [ σ(t1 , t2 ) ] µ = A \| s1 −s2 \|µ.				(2.69)

50. На основании двойного неравенства (0.24) и свойств 30, 40	заклю-
чаем, что условие H(µ) эквивалентно требованию, чтобы на каждой
_
стандартной дуге ab кривой выполнялось неравенство
\| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) \| ≤ A \| r1 − r2 \|µ,	(2.70)

где r1 = | t1 −a |, r2 = | t2 −a |.

Внеравенствах (2.68) – (2.70) под A можно понимать одну и ту же величину, так как при необходимости в некоторых из них величину A

можно заменить большей.

Вдальнейшем нам понадобятся следующие неравенства.

Для любых положительных чисел σ1 , σ2 и µ, 0 ≤µ ≤1, имеем

σ1µ + σ2µ ≤ 2 1−µ(σ1 + σ2 ) µ,

(2.71)

| σ1µ − σ2µ | ≤ | σ1 − σ2 |µ.

σ2

(2.72)

Считая σ1 ≥σ2 , что не ограничивает общности, и полагая

σ =

, прихо-

σ1

дим к неравенствам

1 + σ µ

1−µ (0

1),

1 − σ µ

1 (0

σ < 1),

(1 + σ) µ ≤

≤

(1 − σ) µ ≤

≤

справедливость которых устанавливается путем определения максимумов функций переменного σ, стоящих в левых частях.

Далее, при x ≥0 и 0 ≤µ ≤1 имеет место неравенство

(1 + x) µ − 1 ≤ µx,	(2.73)
так как для функции f (x) = (1+x) µ − 1 − µx имеем
f (0) = 0, f 0(x) = µ [ (1 + x) µ−1 − 1 ] ≤ 0.
Функцию, удовлетворяющую на гладкой кривой условию H(µ),
будем называть еще п р и н а д л е ж а щ е й к л а с с у	H(µ) на , или,
если не требуется указания значения µ, к л а с с у	H.
_

	60. Пусть разомкнутая гладкая кривая ab разбита точкой t0 на две
части:		_	_	_	и ϕ(t) H(µ)
части:		at0 и t0b. Если функция ϕ(t) непрерывна на		ab	и ϕ(t) H(µ)
	_	_	_
на	at0	и t0b, то ϕ(t) H(µ) и на ab.

	_	_
Действительно, если	t1 at0, t2 t0b и σ1 = σ(t1 , t0), σ2 = σ(t0, t2 ), то
в силу (2.71) получим
\| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) \| ≤ \| ϕ(t1 ) − ϕ(t0) \| + \| ϕ(t0) − ϕ(t2 ) \| ≤

≤ A (σ1µ + σ2µ) ≤ 2 1−µA (σ1 + σ2 ) µ = 2 1−µA σ µ(t1 , t2 ).

Ясно также, что если функция ϕ(t) непрерывна на замкнутой гладкой

кривой и ϕ(t) H(µ)	на дугах γ1	и γ2 , на которые	разбивается
двумя точками, то ϕ(t) H(µ) и на .
70. Если ϕ(t) H(µ),	ψ(t) H(ν)	на , то функции	ϕ(t) + ψ(t),

ϕ(t)·ψ(t) принадлежат классу H(λ) на , где λ = min (µ, ν).

Для суммы это утверждение очевидно, а для произведения оно сле-

дует из неравенства
\| ϕ(t1 )ψ(t1 ) − ϕ(t2 )ψ(t2 ) \| ≤ \| ψ(t1 ) \|·\| ϕ(t1 ) − ϕ(t2 ) \| +
			+ \| ϕ(t2 ) \|·\| ψ(t1 ) − ψ(t2 ) \| .
80. Пусть ϕ(t) H(µ) на		,	0 ≤ λ < µ ≤ 1, t0 произвольная
фиксированная точка на и		( t	−t0		λ 0 , t 6= t0,
ψ(t) =		( t	−t0		λ 0 , t 6= t0,
		ϕ t)	ϕ(t )
		\| −		\|

	0,					t = t0.

Тогда ψ(t) H(µ−λ) на .
Действительно, пусть γ стандартная дуга с концами a, b, выре-
заемая из стандартным кругом радиуса δ	с центром в точке t0.
В силу 60 можно ограничиться случаем, когда	t находится на части

_ _

t0b дуги γ. Положение точки t на дуге t0b однозначно определяется

величиной r = | t−t0 |, поэтому, полагая ψ (r) = ψ(t), ω(r) = ϕ(t) − ϕ(t0) и считая h > 0 (что не ограничивает общности), будем иметь

| ψ (r + h) − ψ (r) | =

(r(+ h) λ

−

r(λ)

≤

ω r + h)

ω r

(

+ ) −

(

) |

(r + h)

−

(2.74)

≤

(r + h) λ

+ | ω(r) |

r λ (r + h) λ

Обозначим последние два слагаемые соотношения (2.75) соответс-

твенно через 1 и	2 . Ввиду того, что ω(r) H(µ), имеем				(2.75)
1 ≤ A1 (r + h) λ		= A r + h		h µ −λ < A h µ −λ.
	h µ		h	λ
Чтобы оценить	2 , воспользуемся неравенством \| ω(r) \| ≤				A r µ и

рассмотрим два возможных случая: r ≤ h и r > h.

(2.72) получим

r µ −λ

≤ A h µ −λ,

2 ≤ A r + h

а при r > h в силу (2.73) будем иметь

Ar µ −λh 1 + r

− 1 i < Aλ h 1 + λ − µh µ −λ

≤

1 +

В силу (2.75) – (2.77) из (2.74) получаем

При r ≤ h в силу

(2.76)

< Ah µ −λ. (2.77)


\| ψ (r + h) − ψ (r) \| ≤ 2A h µ −λ,
следовательно, согласно 50 функция ψ(t) H(µ−λ) на γ.
Перейдем к рассмотрению функции ψ(t) на части \γ кривой :

t = t(s) = x(s) + iy(s), где s длина дуги кривой , отсчитываемая в положительном направлении. Будем считать, что t(0) = a, t0 = t(s0 ) =

= x0 + iy0 . Положив ρ = r−λ, где r = | t−t0 | на \γ, получим

dt		=	ds		= λr−λ−2\| [ x(s) − x0 ] x0(s) + [ y(s) − y0 ] y0(s) \| ≤
	dρ			dρ
					≤ λr	−λ−1	≤ λδ	−λ−1	.
					≤ λr		≤ λδ		.

Поэтому согласно 20, 70 и 10 функция ψ(t) H(µ) H(µ−λ) на \γ. Таким образом, в силу 60 функция ψ(t) H(µ) H(µ−λ) и на .

90. Пусть ϕ(t) H(µ) на , t0 некоторая фиксированная точка

кривой , ω (t) ограниченная на функция, | ω (t) | < M , имеющая производную по t всюду, кроме, быть может, точки t = t0, удовлетворяю-

щую условию

dω

≤

(2.78)

некоторая

| t−t0 |

( )

где

ψ(t) = [ ϕ(t) − ϕ(t0) ]

. Тогда

( )

постоянная,

ω t

ψ t

H(µ) на .

В самом деле, пусть кривая задана уравнением t = t(s), где s


длина дуги кривой , ω = ω [ t(s) ]. Тогда в силу соотношений (0.16) и
(0.27) условие (2.78) эквивалентно следующему:
								C0
						d ω		C0		(2.79)
		C
где C0	=			0 = t(s0 ).		ds	≤	\| s−s0 \| ,	( )
где C0	=			0 = t(s0 ).					( )
		k0	,	t	Можно считать, что				ω t	действительная
		k0

функция, так как в противном случае можно было бы вести рассуж-

дения отдельно для действительной и мнимой частей. Положив ϕ (s) =

= ϕ[ t(s) ] , ψ (s) = ψ[ t(s) ] , имеем

| ψ (s + h) − ψ (s) | ≤ | [

(s + h) −

(s) ]

(s + h)

| +

+ | [

(s) −

(s0 ) ]·[

(s + h) −

(s) ] |.

сла-

Не нарушая общности, будем считать

s −s0 ≥ 0, h > 0. Первое

, а

гаемое в правой части последнего неравенства не превышает AMh

второе слагаемое при s−s0 ≤h 2AMh µ. Для второго слагаемого при s − s0 > h в силу теоремы о среднем значении и (2.79) имеем (0 < ξ < 1)


\| ϕ	(s) − ϕ (s0 ) \|·\|
< AC0		s−s0		1−µ
			h	1−µ

ω		ω		A(s−s0 )	µ	C0h
	(s + h) −		(s) \| ≤				<
	(s + h) −		(s) \| ≤	s+ξh−s0			<

h µ < AC0h µ .

Тем самым наше утверждение доказано.

. Пусть теперь

фиксированная точка на

, а θ

−→

= arg ( − 0)

t угол, составленный вектором

t0t

с каким-либо фиксирован-

ным направлением. Условимся, что θ изменяется непрерывно, когда

перемещается по

, не переходя через точку t0. Вследствие того, что

функция θ = arg (t−t0)

является мнимой частью функции log (t−t0)

d log (t−t0)

функция ω (t) = e−iλθ

t−t0

удовлетворяет условию (2.78) и, очевидно, явля-

ется ограниченной. Поэтому, если ϕ(t) H(µ) на , 0 ≤λ < µ ≤1

ψ(t) =

ϕ(t) − ϕ(t0)

(t−t0)λ

то в силу 80 и 90

функция ψ(t) H(µ−λ) на .

2.11. Интеграл в смысле главного значения по Коши

Пусть кусочно-гладкая кривая Жордана, а ϕ(t) заданная нанепрерывная функция. Как уже было показано, интеграл типа Коши

Φ(z) =	1	Z	ϕ(t) dt	(2.80)

	2πi		t−z

является аналитической функцией переменного z на комплексной плоскости всюду вне . Функция ϕ(t) называется п л о т н о с т ь ю интеграла

типа Коши, а t−z я д р о м К о ш и.

Когда z , интеграл в правой части формулы (2.80) в обычном

понимании не существует, но при некоторых дополнительных предположениях относительно плотности ϕ ему можно придать определенный

смысл.

Будем предполагать, что замкнутая гладкая кривая Жордана, а точка z = t0 . Пусть число δ > 0 и меньше стандартного радиуса δ0 кривой . Часть кривой , лежащую вне круга C(δ, t0), обозначим

через δ . Интеграл	1	Z	ϕ(t) dt
Φδ (t0) =	1		ϕ(t) dt	,	(2.81)

	2πi		t−t0
		δ
очевидно, имеет смысл в обычном понимании. Если существует
lim Φδ (t0) = Φ(t0),
δ→0
то он называется и н т е г р а л о м	в	с м ы с л е г л а в н о г о			з н а ч е н и я

п о К о ш и или сингулярным интегралом Коши, и его обозначают обычным символом интеграла

Φ(t0) =	1	Z	ϕ(t) dt		(2.82)
				.
	2πi		t−t0

Иногда символ интеграла в смысле главного значения по Коши дополняют буквами v.p. (v.p.R ) или звездочкой (R или R ).

Для существования интеграла (2.82) в смысле главного значения по Коши при любом t0 достаточно, чтобы ϕ(t) H на .

Для доказательства этого утверждения перепишем интеграл (2.81) в

виде

Φδ (t0) = 2πi Z

t−t0

dt + 2πi

t−t0 .

(2.83)

ϕ(t)

−

ϕ(t0)

Из условия ϕ(t) H следует сходимость несобственного интеграла

t−t0

δ→0 Z

t−t0

ϕ(t) − ϕ(t0)

lim

ϕ(t) − ϕ(t0)

dt.

(2.84)

Обозначим через

Cδ (см. Рис. 10) часть окружности | t − t0 | = δ,

лежащую внутри . Учитывая, что кривая гладкая, а для

1Cδ

имеем t −t0 = δeiϕ, αδ ≤ ϕ ≤ βδ , по теореме Коши для функции

−

получим

= Z

= i Z

δ dϕ = i(βδ − αδ ) → πi

при δ →0 .

(2.85)

t t0

−

αδ

Переходя в равенстве (2.83) к пределу при δ → 0 и учитывая (2.84),

(2.85), будем иметь

lim Φδ (t0) = Φ(t0) =

= 2πi Z

δ→0

2πi Z

t−t0

dt +

2 .

(2.86)

t−t0

ϕ(t) dt

ϕ(t) − ϕ(t0)

ϕ(t0)

2.12. Граничные значения интеграла типа Коши

1. Формулы Сохоцкого – Племеля. Пусть замкнутая гладкая кривая Жордана, функция ϕ(t) H(µ) на . Обозначим через t0 произвольную фиксированную точку на и перепишем (2.80) следую-

щим образом:	t−z	dt + 2πi		Z	t−z , z / .
Φ(z) = 2πi Z
1	ϕ(t) − ϕ(t0)		ϕ(t0)		dt

Из этого равенства в силу интегральной формулы Коши получим

Φ(z) = 2πi

t−z

dt + ϕ(t0), z D

(2.87)

ϕ(t) − ϕ(t0)

Φ(z) =

ϕ(t) − ϕ(t0)

dt, z D

−

(2.88)

2πi

t−z

где D+ и D− соответственно внутренняя и внешняя по отношению к

области комплексной плоскости z.

Покажем, что для функции

Ψ(z) = Z	ϕ(t)t− z	(	0) dt	(2.89)
	ϕ t
	−

существует lim Ψ(z) = Ψ(t0), рав- z→t0

номерный относительно t0 на , когда z →t0 изнутри или извне кривой по некасательному пу-


ти, т. е. так, что	нетупой		угол
между отрезком [ z, t0 ]		и	каса-
тельной к в точке t0		больше
некоторого числа	θ0, 0 < θ0 <			π	,
				2
одного и того же для всех t0.

В силу (2.89) имеем

Ψ(z) − Ψ(t0) = (z −t0)

Zδ

t +δeiαδ

Cδ

q γδ

r t0

iβ

q t0

+δe δ

Рис. 10

ϕ(t) − ϕ(t0)

dt.

(2.90)

(t−z)(t−t0)

Обозначим через γδ дугу, вырезаемую из кругом C(δ, t0)	радиуса
δ, меньшего стандартного радиуса δ0 кривой , соответствующего чис-
лу θ0, и запишем выражение (2.90) в виде
Ψ(z) − Ψ(t0) = I1 + I2 ,	(2.91)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 199 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20161.03 Mб152Belitsa_UMK_2012-1-uprazhnenia.doc
#
06.06.2015113.26 Кб5BILETY_1-10_sbornye.docx
#
06.06.2015697.32 Кб65bilety_kultura.rtf
#
22.04.2019221.3 Кб7Bilety_matika_Snezhane.docx
#
06.06.2015181.76 Кб9Bilety_po_kulture.doc
#
06.06.20151.33 Mб44bilutapa-kurstfkp.pdf
#
06.06.20153.13 Mб143Biokh_dvizh_24_aprelya (1).doc
#
28.03.2016317.95 Кб20bioprog0101.doc
#
28.03.2016936.05 Кб6blogs.pdf
#
09.11.20193.4 Mб22BMLA.DOC
#
28.03.20162.59 Mб15Brayan_Kernigan_Dennis_Ritchi_Biblioteka_progr.pdf