bilutapa-kurstfkp

f (z) не моногенна, даже не непрерывна в точке z = 0, так как f [(1+i)x] =

1

= e 4x4 →∞ при x →0.

Покажем, что при дополнительном требовании д и ф ф е р е н ц и р у е- м о с т и функций u(x, y), v(x, y) в точке z выполнение условий Коши – Римана является и д о с т а т о ч н ы м для моногенности функции f (z) = = u + iv в точке z.

Действительно, в силу дифференцируемости функций u(x, y), v(x, y)

32

и называются ф о р м а л ь н ы м и п р о и з в о д н ы м и функции f (z) по z и z соответственно.

Из (1.6) видно, что условия Коши – Римана в комплексной записи при-

Заметим, что все правила дифференцирования действительных функций действительного переменного переносятся на функции ком-

33

1.2. Аналитичность суммы степенного ряда

Заметим сначала, что если R > 0 радиус сходимости ряда

k =1

полученного из предыдущего почленным дифференцированием, тоже ра-

При данном N , учитывая неравенство (1.10) и выбранное r, получим,

34

дифференцировать в его круге сходимости, причем сумма почленно продифференцированного ряда равна производной суммы исходного ряда.

∞

X

S00(z) = k(k −1) ck zk −2,

k=2

ивообще, сумма степенного ряда (1.7) имеет в круге | z |< R производ-

ную любого порядка, для которой справедливо равенство

1.3. Конформное отображение

Пусть w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) аналитическая в области D

35

значные непрерывные функции x = x(u, v), y = y(u, v) со значениями в окрестности точки z0 . Нетрудно показать, что при непрерывном отоб-

ражении открытого множества прообраз любого открытого множества открыт и связность множества сохраняется, поэтому достаточно малая окрестность точки z0 в з а и м н о о д н о з н а ч н о отображается функцией w = f (z) на некоторую область, содержащую точку w0 . Обратная функция z = f −1(w) будет непрерывной в некоторой окрестности точки w0 и дифференцируемой в самой точке w0 , причем

кальной однолистности не следует однолистность, что показывает при-

м е н т а п р о и з в о д н о й аналитической функции. Пусть в области D задана аналитическая функция w = f (z), удовлетворяющая условию (1.11), и пусть γ проходящая через точку z0 гладкая кривая Жор-

дана с уравнением z = z(t) = x(t) + iy(t), α ≤ t ≤ β. Если z0 = z(t0 ), t0

Функция w = f (z) отображает кривую γ на некоторую кривую = f (γ),

q

dz = z0(t)dt = [ x0(t) + iy0(t) ] dt, ds = [x0(t)] 2 + [y0(t)] 2 dt = | z0(t) | dt,

q

dw = w0(t) dt = [ u0(t) + iv0(t) ] dt, dσ = [u0(t)] 2 + [v0(t)] 2dt = | w0(t) | dt,

36

где ds и dσ элементы длины дуги кривых γ и в точках z = z(t) и w = w(t) соответственно, а в силу (1.13) имеем

где ds0 и dσ0 элементы длины дуги кривых γ и в точках z0 = z(t0 )

и w0 = w(t0 ) = f (z0 ) соответственно.

Таким образом, м о д у л ь отличной от нуля п р о и з в о д н о й аналитической функции f (z) р а в е н к о э ф ф и ц и е н т у и с к а ж е н и я элемента длины дуги в точке z0 при отображении с помощью функции w = f (z) и не зависит от направления дуги в этой точке, поэтому мы

кривым γ и в точках z0 и w0 соответственно (см. Рис. 5), то

37

(равный arg f 0(z0 )), что и кривая γ, поэтому угол между кривыми γ и γ1 в точке z0 равен углу между их образами и 1 в точке w0 = f (z0 ).

Другими словами, в каждой точке z D, в которой f 0(z) 6= 0, при отображении с помощью функции w = f (z) имеет место к о н с е р в а т и з м

у г л о в.

К о н ф о р м н ы м о т о б р а ж е н и е м области D называется тополо-

гическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение этой области, при котором в каждой точке z D имеет место консерва-

тизм углов и постоянство искажения.

Из геометрического смысла модуля и аргумента производной непосредственно следует справедливость утверждения: если функция w = = f (z) осуществляет отображение, обладающее в каждой точке z области D консерватизмом углов и постоянством искажения, то она аналитична в D, причем f 0(z) 6= 0.

В силу последнего утверждения конформное отображение осу-

ществляется однолистной аналитической функцией w = f (z) с производной f 0(z) 6= 0.

Позже будет доказано, что у однолистной аналитической в области D функции f (z) производная f 0(z) 6= 0 всюду в D. Тогда обратная

функция z = f −1(w) обладает на множестве f (D) отличной от нуля про-

изводной, а следовательно, является и непрерывной функцией. Отсюда, ввиду сказанного при обсуждении вопроса об обращении функции комплексного переменного, следует утверждение: однолистная аналитическая функция w = f (z) конформно отображает область своего задания

D на некоторую область D1 плоскости w, причем обратная функция f −1(w) однолистна и аналитична в D1.

Рассмотрим теперь отображение с помощью функции w = f (z), где f (z) осуществляет конформное отображение области D. Очевидно, что при этом отображении в каждой точке z D имеет место постоян-

ство искажения, а углы сохраняются по абсолютной величине, но меняют знак. Такое отображение называется к о н ф о р м н ы м в т о р о г о р о д а или а н т и к о н ф о р м н ы м, а осуществляющая его функцияа н т и а н а л и т и ч е с к о й. В терминах формальных производных это означает, что wz = 0 в области D.

38

Главная линейная часть приращения аналитической в области D

обладает тем свойством, что при f 0(z0 ) 6= 0 она переводит окружность

| z−z0 |= r в окружность | ω − w0 |= ρ = | f 0(z0 ) | r с сохранением направ-

ления обхода. Это следует из того, что в силу (1.15)

|ω − w0 | = | f 0(z0 ) |·| z − z0 |, arg (ω − w0 ) = arg f 0(z0 ) + arg (z − z0 ).

Обратно, если частные производные ux , uy , vx , vy непрерывны и

с центром в точке w0 = f (z0 ), то функция f (z) аналитична либо антианалитична в D.

= r переводится главной линейной частью приращения функции f (z) в

точку w = w0 .

Пусть в некоторой точке z0 D имеем первый случай: fz0 = 0, fz0 6= 0. Докажем, что тогда функция f (z) аналитична в области D.

Действительно, пусть E = {z D : fz = 0} = {z D : fz 6= 0}, E1 = = {z D : fz = 0} = {z D : fz 6= 0}. Ясно, что E E1 = D, E ∩E1 = .

39

Далее, в силу непрерывности частных производных ux , uy , vx , vy формальные производные fz, fz тоже непрерывны в области D. Нам надо доказать, что E = D. Поскольку E 6= , то для этого достаточно показать, что ∂E ∩D = . Предположим, от противного, что ∂E ∩D 6= и z ∂E ∩D. Тогда, если z E, т. е. fz = 0, то по определению граничной точки z является предельной точкой множества E1, а в силу непрерывности fz отсюда следует, что и fz = 0, что невозможно; если же z E1, т. е. fz = 0, то z будет предельной точкой множества E, а значит, и fz = 0, что тоже невозможно. Таким образом, в рассмотренном случае f (z) будет аналитической в области D функцией.

Во втором случае, когда E1 ∩D 6= , таким же образом доказывается антианалитичность функции f (z) в области D.

1.4.Обращение некоторых элементарных функций. Понятия римановой поверхности и точки ветвления

вершиной в точке z = 0 будет областью однолистности функции (1.18). Разделим комплексную плоскость z на n областей

40

Так как w0 = nzn−1 6= 0 при z Dk , то каждая из областей Dk , как

область однолистности функции (1.18), конформно отображается ею на

При отображении (1.18) во взаимно однозначном соответствии находятся лишь точки z = 0, w = 0 и z = ∞, w = ∞, каждой же точке w 6= 0, ∞ ставится в соответствие n точек zk , k = 0, 1, . . . , n −1.

41