- •Содержание
- •Введение
- •Математическая постановка задачи.
- •Графическое решение задачи лп.
- •Первая задача анализа на чувствительность.
- •1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения
- •Вторая задача анализа на чувствительность. Увеличение объёма какого из ресурсов наиболее выгодно?
- •Третья задача анализа на чувствительность. В каких пределах допустимо изменение коэффициентов целевой функции ?
- •2. Насколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс дефицитным, и наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицитным ?
- •2.Аналитическое решение задачи лп.
- •1. Проверка критерия оптимальности. Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. Окончательный вариант симплекс-таблицы:
- •2.1 Оптимальное решение
- •2.2 Статус ресурсов
- •2.3 Ценность ресурса
- •2.4 Максимальное изменение запаса ресурса.
- •2.5 Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости).
- •3.1 Изменение правых частей ограничений
- •3.2 Добавление нового ограничения
- •3.3 Изменения условий задачи, влияющие на оптимальность решения
- •1. Изменение коэффициентов целевой функции.
- •3.4Изменение удельных расходов ресурсов
- •3.5 Добавление нового вида производственной деятельности
- •1. Таха х.А. Введение в исследование операций. 2-е издание.: Пер. С англ. — Москва: Издательский дом "Вильяме". — 912 с.Х.
2.5 Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости).
Предположим, что удельная прибыль от производственной изменяется от 1 до 1 + 1 , где 1 может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид : F = (1 + 1) x1 + x2 . Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для получения заключительной симплекс-таблицы, то последняя строка будет выглядеть следующим образом :
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 | ||||
F(X4) |
31/2 +31 |
0 |
0 |
1/4 |
¼+1 |
0 |
Коэффициенты при переменных x1, x2, x5 остаются равными нулю. Это уравнение отличается от уравнения до введения 1 только наличием членов, содержащих 1. Коэффициенты при 1 равны коэффициентам при соответствующих переменных в Р1-строке в таблице для полученного ранее решения
Мы рассматриваем строку для x1, т.к. коэффициент именно при этой переменной в выражении для целевой функции изменился на 1.
Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях 1, удовлетворяющих условию неотрицательности всех коэффициентов при небазисных переменных в F-уравнении. Т.о. должны выполняться следующие неравенства :
¼+1 ≥ 0→ 1 ≥ -¼
Т.о., при уменьшении коэффициента целевой функции при переменной x1 до значения, равного -¼ + 1 = 0,75 , или при его увеличении оптимальные значения переменных остаются неизменными. Однако оптимальное значение F будет изменяться.
Анализ модели на чувствительность.
Изменение ограничений может привести к недопустимости или неоптимальности предыдущего решения. Рассмотрим этот вопрос более подробно. С этой целью приведём формулировки прямой и двойственной задач, а также симплекс-таблицу для (текущего) оптимального решения исходной задачи.
Прямая задача Двойственная задача
F = 4x1 + 6x2 → max Z = 2y1 + 3y2 + 7y3 +3y4 → min
x1 - 2x2 ≤ 2 y1 + 2y2 + y3≤4
2x1 + x2 ≥ 3 - 2y1 + y2 + y3 + y4≤6
x1 + x2 ≤ 7 y1, y4, y3 ≥ 0
x2 ≤ 3
x1,x2≥ 0
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
3 |
0 |
x2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
x4 |
8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
-1 |
-1 |
F(X5) |
34 |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
2 |
M |
3.1 Изменение правых частей ограничений
Предположим, что в ограничении x1 - 2x2 ≤ 2 правая часть изменилась с 2 на 3. Как это отразится на текущем решении?
Из соотношений двойственности следует, что изменение правых частей ограничений может повлиять только на допустимость решения. Поэтому определим новое решение задачи (обратная матрица в симплекс-таблице для оптимального решения заштрихована). Оно имеет следующий вид :
Р3 1 0 -1 3 3 5 новый
Р2 = 0 0 0 1 * 3 = 3 = столбец Р0
Р1 0 0 1 -1 7 4 таблицы
Р4 0 1 2 -1 3 14
С Т.к. элементы правой части таблицы остались неотрицательным, состав текущих базисных переменных не изменился. Они приняли только новые значения x1 = 4; x2 = 3;
x3 =5; x4 =14; x5, x6 = 0. Новое значение F =4*4 + 6*3=34.
Рассмотрим случай, когда значения текущих базисных переменных становятся недопустимыми. Предположим, что правые части ограничений (2) и (3) изменились следующим образом : x1 - 2x2 ≤ 3, x1 + x2 ≤ 1 . Столбец Р0 вычисляется следующим образом :
Р3 1 0 -1 3 3 11 новый
Р2 = 0 0 0 1 * 3 = 3 = столбец Р0
Р1 0 0 1 -1 1 -2 таблицы
Р4 0 1 2 -1 3 2
Текущее решение будет недопустимым, т.к. переменная x1 стала отрицательной.