Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel

50 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел

х = Ь, у= О, у= /(х), равно Е lf(x)J, где суммирование ведется

а,;;;;х,;;;;ь

по всем целым х из отрезка [а, Ь].

18. Докажите, что число точек (х, у) с натуральными координатами х, у

под гиперболой ху = п равно 2 Е Lп/xj - Lv'1iJ2 , где суммиро­

О<z.;;;;у'n

ванне ведется по всем натуральным х, не превосходящим п, п Е N.

§ 8. Мультипликативные функции

Арифметическая функция / называется мультипликативной, если

/(1) = 1 и /(mп) = /(m)/(п) для любых взаимно простых натураль­

ных чисел т и п.

Мультипликативная функция / называется вполне мультипликативной,

если /(mп) = /(m)/(п) для любых натуральных чисел т и п.

Например, функция /(п) =па является вполне мультипликативной для любого действительного а: /(mп) = (тп)а =тапа = /(m)/(п) для

любых натуральных тип.

Свойства мупьтиппикативных функций

1.Произведение мультипликативных функций есть мультипликативная

функция.

2.Если/ - мультипликативная функция, то для данного

п= pf1 • р~2 . " .. р~·'

где Р1, Р2, ... , р8 - различные простые Числа, а а1, а2, ... , а8 Е N,

имеет место равенство

Так, поскольку любой натуральный делитель d числа п = pf1 • р~2 • ••• • р~·

имеет вид d=i/t1 ·r/i2.• •• • ·ls·, где О~,81 ~а1, О~,82~а2, ... , О~ fЗs ~ as,

то

то есть

8

L J(d) = П (1+J(pi)+1(р;) + ... + 1(pr')).

djn i=l

Аналогично, поскольку любой натуральный делитель d произведения тп

то есть функция h(n) = L: /(d) мультипликативна. Доказательства других

dln

свойств можно найти, например, в [ЗJ.

ной, и, следовательно, мультипликативной, поскольку для любых на­

туральных чисел т и п имеет место равенство:

!>

2. Проверьте формулу

8

L J(d) = П<1 + J(pi) + t(p;) + ... 1(pr'))

для функции /(п) = п2 и всех натуральных п ~ 20.

52 Глава 1. Задачи по курсу теории чисел

Решение. Рассмотрим, например, п = 20. Каноническое разложение

числа 20 имеет вид 22 • 5. Тогда выписанная выше формула принимает вид Е d2 = (1+22 + (22)2)(1+52). Натуральными делителями числа

dl20

20 являются числа 1, 2, 4, 5, 10 и 20, поэтому мы получаем формулу

12 + 22 + 42 + 52 + 102 + 202 = (1+22 + 42)(1 + 52). Легко убедиться

в том, что указанное равенство верно: 546 = 21 · 26. С>

3. Определим функцию u 2(n) как сумму квадратов всех натуральных

Решение. По определению, o-2(n) = 2:: d2• Как мы только что убеди­

Р; -1

как сумма а;+ 1 членов геометрической прогрессии с начальным эле-

ментом 1 и знаменателем Pi, то мы доказали, что u2(pf1 • ••• • р~') =

4.Найдите и2(5), и2(10), и2(20).

Решение. Рассмотрим, например, п = 20. С одной стороны, действуя

по определению, мы получим, что и2(20) = 12+22+42+52+ 102+202,

то есть и2(20) = 546. С другой стороны, мы можем воспользоваться

5. Докажите, что функция u 2(n) является мультипликативной. Являет­

ся ли она вполне мультипликативной?

Решение. Покажем, что для любых взаимно простых натуральных

чисел т и n имеет место равенство u2(mn) = u2(m)u2(n). Не огра­

ничивая общности можно считать, что каждое из чисел т и n больше

единицы (для остальных случаев проведите рассуждения самостоя­ тельно!). В этом случае каждое из чисел т и n обладает каноническим

5.Докажите, что функция ua(n), а Е {О, ±1, ±2, ±3, ±4}, является

мультипликативной. Является ли она вполне мультипликативной?

Задачu

1. Является ли мультипликативной функция:

натуральное число 13 имеет ровно два натуральных делителя 1 и 13. При

этом и(6) = 1+2+3+6 = 12, и и(lЗ) = 1 + 13 = 14.

3.Функция т(n) мультипликативна.

4.Функция u(n) мультипликативна.

При доказательстве первого свойства можно воспользоваться, напри-

мер, Формулой Е /(d) = п:=1(1 + /(pi) + f(pf) + ... + /(pf')) dlp71••• •·pZ' =

для мультипликативной функции /(n) 1. Именно, т(р~1 • ••• ·р~') =

=Е 1= п:=I (1+ /(pi)+ f(pf)+" .+ /(pf'))= п:=.(ai+l). Вто-

d1Р71"·"pz•

рое свойство можно доказать аналогично при использовании мулъ-

типликативной функции /(n) = n. Мультипликативность функций т(n) и u(n) становится при этом очевидна.

Пр,uмеры решенuя задач

1. Вычислите т(и(12)).

Реwение. Поскольку число 33 может быть представлено в виде про­

изведения отличных от единицы натуральных чисел ровно двумя спо­

собами, именно, как 33 (один множитель) или 3 · 11 (два множите­

ля), то натуральное число х имеет либо один, либо два простых

делителя. В первом случае х = ра, и т(х) =а+ 1. Таким образом,

а+ 1 = 33, то есть а = 32 и х = р32 • Во втором случае х = paq/J,

и т(х) =(а+ 1)(,8 + 1). Таким образом, (а+ 1)(,8 + 1) = 3 · 11, то естъ

8.Докажите, что для бесквадратного числа n величина т(n) является

степенью двойки. Верно ли обратное?

5. Найдите наименьшее натуральное число, имеющее 1О натуральных

делителей; все двузначные натуральные числа, имеющие 10 нату.:.

ральных делителей.

б. Найдите все натуральные n, для которых т(п) = 9, а и(п) = 91.

7.Найдите натуральное число п, если п = 32pq, а и(п) = 27njl0.

8.Найдите т(n3 ), если известно, что т(п2) = 15.

примеры решения задач

1.Вычислите: <р(12); <р(63000).

Реwение. Поскольку среди чисел 1, 2, 3, ... , 12 ровно4 числа (именно,

числа 1, 5, 7, 11) взаимно просты с 12, то, по определению, ср(12) = 4.

Впрочем, мы можем и воспользоваться"формулой: ср(12) = ср(22 • 3) =

2. Сколько существует правильных несократимых дробей со знаменате­

лем 150?

Реwение. Дробь а/150 является правильной несократимой дробью

тогда и только тогда, когда а Е N, а < 150 и (а, 150) = 1. Легко

видеть, что число таких дробей равно <р(150). Поскольку <р(150) =

= <р(2 · 3 · 52) = 5 · (2 - 1)(3 - 1)(5 - 1) = 40, то и число правильных

3.Найдите количество натуральных чисел n, не превосходящих 615,

таких что (п, 615) = 15.

Реwение. В этомслучае натуральное число п/15 ~ 41 , и (n/15, 41) = 1.

Количество таких чисел равно <р(41) = 40. Таким образом, и ко­

личество натуральных чисел n, не превосходящих 615, таких что

4.Решите уравнение <р(х) = х/3.

Реwение. Очевидно, что х =f. 1. В этом случае х обладает каноничес­

ким разложением х = р~' · ... ·pfk, и <р(х) = х(1- 1/р1) ••• (1 - 1/pk).

После сокращения на х наше уравнение принимает вид (1-1/р1) •••

. . . (1 - 1/pk) = 1/3. Выписывая возможные множители левой части

1/2, 2/3, 4/5, 6/7 "" , мы видим, что дробь 1/3 может быть полу­

чена только при перемножении дробей 1/2 и 2/3. Таким образом,

кращения на отличное от нуля число <р(у) уравнение <р(2х) = ср(3х) nринимает вид ip(2a+I)cp(3P) = ip(2a)<p(3P+t).