Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel

90

Гnава 1. Задачи по курсу теории чисел

степени:

а)

{

х=a(mod 13) .

х =Ь(mod 5) '

х =a(mod 3)

б)

х =Ь(mod 5)

{

х =c(mod 7)

в)

х =a(mod7)

{

х =Ь(mod81)

задачu

1.

Сколько решений имеет сравнение:

е) 24х =40(mod 80);

а)

14х

=28(mod 77);

б)

15х

=25(mod 35);

ж) 13х =26(mod 65);

в) 12х =18(mod 42);

з) 21х =56(mod 70);

г)

18х

=27(mod45);

и) 25х =50(mod 100)?

д)

1lx

=33(mod 55);

2.

Решите сравнение:

ж) 47х =2(mod 127);

а)

lOx =15(mod65);

б)

15х

=9(mod 39);

з) 212х =-44(mod20);

в)

12х =8(mod 52);

и) 155х =-55(mod 15);

r) 48х =171(mod 111);

к) 295х

=

15(mod415);

д)

ll4x =6(mod 186);

л) lOOOx =200(mod 300);

е) 92х

=8(mod 164);

м) 3650х =1450(mod 5350).

а) {

5х =9(mod 12) .

в)

{

6х =12(mod 30)

3х =15(mod 30) '

12х =36(mod 42)

6

{

4х =8(mod 14)

r)

{

4х

=

4(mod 15)

)

15х=12(mod 27)

3х

=8(mod 10)

§ 16. Линейные сравнения и системы сравнений

91

д)

{ 4х =2(mod 10) .

з)

{

12х =6(mod 27)

3х

=3(mod 6)

'

lOx =8(mod 12)

е

{

5х =lO(mod 25) .

и)

{

600х =150(mod 375)

)

lOx =15(mod 35)

'

810х =420(mod 210)

ж)

{

14х =2(mod 16) .

к)

{ "looox =20(mod 300) .

6х

=18(mod 21)

'

625х =400(mod 175)

6. Решите систему сравнений первой степени:

х =3(mod 8)

{

5х =1l(mod 18)

а)

х

=ll(mod 20)

;

ж)

3х

=9(mod 16)

{

х

=l(mod 5)

8х

=4(mod 25)

5х =8(mod 14)

6х =2(mod 7)

6)

3х =72(mod 15)

;

з)

15х =3(mod 36)

;

{

2х =-2(mod 10)

{

2х

=2(mod 20)

6х =2(mod 20)

2х =2(mod 16)

в)

х

=-2(mod 5)

;

и)

х =15(mod 37) ;

{

4х

=l l(mod 29)

{

16х =O(mod 4)

lOx =20(mod 30)

6х =-8(mod 15)

г)

4х

=2(mod 10)

;

к)

8х

=-4(mod 12)

;

{

8х

=16(mod 4)

{

4х =5(mod 7)

9х =9(mod 21)

IOx =5(mod 15)

д)

27х =9(mod 45)

;

л)

6х =6(mod 21)

;

{

3x=:l(mod4)

{ 4х

=-6(mod 10)

8х =2(mod 14)

IOOOx =: 20(mod 300)

е)

lOx =IO(mod 22)

;

м)

625х =400(mod 175) .

{

8х

=4(mod 12)

{

8х

=16(mod 4)

7.

Решите систему сравнений первой степени:

х =l(mod 3)

х =l(mod 3)

х =O(mod2)

х =4(mod5)

х =-2(mod 3)

х =2(mod4)

а)

х =2(mod 7)

6) х =-3(mod 5) ; в)

х =3(mod5) .

х =9(mod 11)

х =4(mod6)

х =4(mod6)

х =3(mod 13)

х =7(mod 15)

х

=

5(mod7)

§ 17. Сравнения и системы сравнений по простому модулю

93

94

Гnава 1. Задачи по курсу теории чисел

+ х - 1 = O(mod 7) выполняется либо при х =

l(mod 7), либо при

х = -l(mod 7).

1>

76х244 -

353х123 + 43х121

+

359 = O(mod 5)

{ 76х244 -

353х123 + 43х121

+

359 =O(mod 7).

и

121

=

l(mod4), то для

х f=. O(mod5) сравнение х244 + 2х123 -

-

2х121

- 1 = O(mod 5)

эквивалентно сравнению

х0 + 2х3 -

-

2х -

1=O(mod5) или, что то же, сравнению 2х3 -

2х = O(mod 5).

Для решения сравнения 76х244 - 353х123 +

43х121 + 359 :::: O(mod 7)

заменим коэффициенты многочлена 76х244 -

353х123 + 43х121 + 359 их

§ 17.

Сравнения и системы сравнений по простому модулю

95

наименьшими по абсолютной величине вычетами по модулю 7. По­

скольку 76 =-l(mod 7), -353 =-3(mod 7), 43 =l(mod 7), и 359

=

= 2(mod 7), то наше сравнение эквивалентно сравнению -х244

-

- 3х12з + х121 + 2 =O(mod 7).

Поскольку 2 f= O(mod 7), то нулевой класс х =O(mod 7) не является

решением нашего сравнения.

=l(mod 7). Для таких

Если х

f= O(mod 7), то (х, 7) = 1,

и х6

х

заменим показатели степеней в записи многочлена -х244 -

3х123 +

+ х121 + 2 их остатками от деления на 6. Поскольку 244 =4(mod 6),

123 = 3(mod 6) и 121 = l(mod 6),

то для

х f= O(mod 7) сравнение

х244 - 3х

123 + х121 + 2 =O(mod 7) эквивалентно сравнению х4 - 3х3 +

+ х + 2

=O(mod 7). Перебирая представители 1, 2, 3, -3,

-2, -1

ненулевых классов вычетов по модулю 7, мы получаем единственный

класс вычетов по модулю 7: х =-3(mod 7).

Решимтег;рьсистемусравнений {

х=ab((modd 5)) , гдеаЕ{1, -1},

х:=

то 7

и ь = -3.

Если х =a(mod 5), то х = 5t +а, где t Е Z. Подставляя полученное

выражение для х во второе сравнение системы, мы получим сравне­

ние 5t +а= Ь(mod 7), или, что то же, сравнение 5t =Ь - a(mod 7).

Домножая обе части сравнения на число 3, взаимно простое с мо­

дулем, мы получим сравнение 15t =3(Ь- a)(mod 7), или, что то же,

сравнение t =3(Ь- a)(mod 7). Таким образом, t = 7t1+ 3(Ь -

а), где

t1

Е Z, и х = 5t +а = 5(7t1+ 3(Ь - а)) +а = 35t1 + 15Ь -

14а, где

t1

Е Z.

Следовательно, решениями сравнения 76х244 - 353х123 +43х121 +359 =

= O(mod 35)

являются следующие классы вычетов по модулю 35:

х

=15Ь - 14a(mod 35), где а Е {1, -1}, и Ь = -3. Подстановка дает

окончательный результат: х =ll(mod 35), их= 14(mod 35).

1>

Уnражненuя

1. Решите сравнение по простому модулю:

а) х3 + х2 -

2х + 1 =O(mod 5);

б)

133х5 - 148х4 + 85х3 - 98х2 + х + 6 =O(mod 7);

в)

12х18 + 3х16 + 7х14 + 8х13 + 7х12 + llx 11 + 13х10 + 6х7 + 31х5 +

+ 5х4 + llx3 + 7х2 =O(mod 7);

=O(mod 11);

г) 232х484 + 852х252 - 124х202 -

х200 + 78

д) 292х181 -

121х133 + 252х122 -

171х121 -

133х62 + 5 =O(mod 13);

е) 357х427 -

81Ix403 - 127х311 +45 =O(mod 7);

§ 18. Сравнения по степени простоrо и по составному модулю

97

следующий алгоритм.

•

Рассмотрим сравнение /(х) =O(modp) и найдем все его решения;

пусть х =x1(modp) - одно из этих решений, то

есть /(х1) =

=O(modp), их= Х1 + pt1, t1 Е z.

•

Рассмотрим линейное сравнение /(х1)/р+/' (x 1)t1 =O(modp) и най­

дем все его решения; пусть t 1 =t' (mod р) -

одно из этих решений, то

есть t1 = t, +pt2, их= Х1 +pt1 = Х1 +p(t, +pt2) = (х1 +pt,)+р2t1 =

= Х2 + p2t2, t1 Е Z.

•

Рассмотримлинейное сравнение/(х2)/р2 +/'(x2)t2 =O(mod р) и най-

дем все его решения; пусть t2 =t"(mod р) -

одно из этих решений,

то есть t1 = t11 +рtз, и х = Хз + рзtз, tз Е Z.

•

Рассмотримлинейное сравнение f(Xa-1)/pa-I +/'(Xa-i)ta-I :::O(modp)

и найдем все его решения; пусть ta-I =t" .. .'(modp) -

одно из этих

решений, то есть ta-1 = t"".' + pta, их= Ха+ pata, ta

Е Z.

Следовательно, х =Xa(modpa) - одно из рещений первоначального

n =

а,

ak

R

1 •

R

2 • ••• •

R

k, где

R.

число

р1

• ••• • pk

равно произведению

i -

решений сравнения /(х) =O(modp~;), i = l, 2, ... , k.

=O(modpa),

В свою очередь, подсчет числа решений сравнения /(х)

няется для любого целого х, то есть его решениями являются классы

х =O(mod 2) и х =l(mod 2).

А. Мы доказали, что х =O(mod 2) - решение сравнения /(x)=:O(mod2).

Следовательно, /(О) =O(mod 2) и х = 2t1 +О, где t1 Е Z.

Рассмотрим сравнение /(х) =O(mod 22), где х = 2t 1 +О, t1

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(0)/2 + /(О) · t 1 =

=O(mod2).

Легко видеть, что /(О)= 62. Поскольку /(х)= 18х+29, то /(0)=29.

Таким образом,

мы получаем сравнение 62/2 + 29 · t1 = O(mod 2),

или, что то же,

сравнение 31 + 29 · t 1 =O(mod 2). Поскольку 31 =

=I(mod2) и 29 =l(mod 2), то мы получаемсравнение 1+t1 ::O(mod2),

выполняющееся для t1 =l(mod 2). Таким образом, t1 = 2t2 + 1, где

t2 Е Z, и х = 2t1 +О= 2(2t2 + 1) +О= 22t2 + 2, t2 Е Z.

Рассмотрим сравнение /(х) =O(mod 23), где х = 22t2+2, t2

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(2)/22 + /

(2) · t 2 =

=O(mod2).

§ 18. Сравнения no степени простого и по составному модулю

99

t 2 =l(mod 2). Таким образом, t2 = 2t3+1, где t3 Е Z, и х = 22t2+ 2 =

= 22(2t3 + 1) + 2 = 23t 3 + 6, t3 Е Z.

Рассмотрим сравнение /(х) =O(mod 24), где х = 23t 3+ 6, t3

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(6)/23 + /

(6) · t3 =

=O(mod2).

Легко вИдеть, что /(6) = 560 и /(6) = 137. Таким образом, мы

получаем сравнение 560/(23) +

137 · t3 =O(mod 2), или, что то же,

сравнение 70 + 137 · t 1 =O(mod 2). Поскольку 70 =O(mod 2) и 137 =

=l(mod 2), то мы получаем сравнение t 3 =O(mod 2). Таким образом,

tз = 2t4, где t4 Е Z, и х = 23tз + 6 = 23(2t4) + 6 = 24t4 + 6, t4 Е Z.

Рассмотрим сравнение / (х) =О{mod 25), где х = 24t4 + 6, t4

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(6)/24 + /

(6) · t4 =

=O{mod2).

Поскольку /(6) = 560 и /(6)

= 137, то мы получаем сравнение

560/(24) + 137 · t4 =O{mod 2), или, что то же, сравнение 35 + 137 · t4 =

=O{mod 2). Поскольку 35 =l(mod 2) и 137 =l{mod 2), то мы полу­

чаем сравнение 1 + t4 =O(mod 2), выполняющееся для t4 =1(mod 2).

Таким образом, t4 = 2t5+1, где t 5 Е Z, их= 24t4+6 = 24{2t5+1)+6 =

= 25t5 +22, ts Е Z.

Следовательно, решением сравнения /(х) =O(mod 32) является класс

х =22(mod 32).

В. Мы доказали, что х =l(mod2) -

решение сравнения /(x)=:O(mod2).

Следовательно, /(1) =O{mod2) их= 2t1 +1, где t 1 Е Z.

Рассмотрим сравнение /(х) =O(mod 22), где х = 2t1 +1, t 1

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(1)/2 + /

(1) · t 1 =

=O(mod2).

Легко вИдеть, что /(1) = 100 и /(1) = 47. Таким образом, мы полу­

чаем сравнение 100/2 + 47 · t1 =O{mod 2), или, что то же, сравнение

50 + 47 · t1 =O(mod 2). Поскольку 50 =O(mod 2) и 47 =l(mod 2), то

мы получаем сравнение t 1 =O(mod 2). Таким образом, t 1 =

2t2 , где

t2 Е Z, их= 2t1+1=2(2t2)+1=22t2+1, t2 Е Z.

Рассмотрим сравнение / (х) =O(mod 23), где х = 22t2+ 1, t2

Е Z. Для

его решения перейдем к линейному сравнению /(1)/22 + /

{1) · t2 =

=O{mod2).

Поскольку /(1)

= 100 и / {1) = 47, то мы получаем сравнение

100/(22) + 47 · t2

=O{mod 2), или, что то же, сравнение 25 + 65 · t2 =

=O{mod 2). Поскольку 2.5 =l{mod 2) и 47 =l{mod 2), то мы получа­

ем сравнение 1 + t2 =O(mod 2), выполняющееся для t2 = l(mod 2).