Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский педагогический государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel

.pdf

Скачиваний:

692

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

10.73 Mб

Скачать

☆

1 / 231 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Е.И.Деза,Л.В.Котова

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

112 задач с подробными решениями

Рекомендовано УМО по образованию

в области подготовки педагогических кадров в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности

050201.65 «Математика», направлению 050100 «Педагогическое образование»

(профиль «Математика»)

URSS

МОСКВА

ББК 22.lя73 22.131 22.132

Деза Елена Ивановна, Котова Лидия Владимировна

Сборник задач по теории чисел (112 задач с подробными решениями): Учебное пособие. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. - 224 с.

Данное пособие содержит обширную коллекцию упражнений и задач по всем классическим разделам арифметики и теории чисел (теория делимости, простые и состав ные числа, арифметические функции, отношение сравнимости, малая теорема Ферма и теорема Эйлера, сравнения и системы сравнений с неизвестной величиной, квадратич ные вычеты и символ Лежандра, показатели, первообразные корни и индексы, цепные дроби и др.). Каждый параграф содержит примеры решения задач, упражнения, аналогич ные рассмотренным примерам, и задачи для самостоятельного решения. Кроме того, в пособии представлены циклы заданий для проведения контрольных и лаборатор ных работ, а также типовые задания для проверки усвоения обязательного минимума

содержания дисциплины.

Пособие написано на основе лекций, которые в течение многих лет читаются

студентам математического факультета Московского государственного педагогического университета, и может быть использовано для проведения семинарских занятий и орга низации самостоятельной работы студентов высших учебных заведений (прежде всего

педагогических вузов) по дисциплине «Теория чисел», а также для проведения элек

тивных курсов арифметической тематики и активизации учебно-исследовательской деятельности старшеклассников, выбравших естественно-математический профиль обучения; оно будет полезно для всех читателей, интересующихся арифметикой и эле

ментарной теорией чисел.

Рецензенты:

доц. кафедры дифференциальных уравнений МАИ,

канд. физ.-мат. наук Н. В. Александрова;

проф. кафедры теории чисел МПГУ, канд. пед. наук А. В. Жмулева; доц. факультета культурологии Государственного академического университета

гуманитарных наук, канд. физ.-мат. наук А. А. Привалов

Издательство «Книжный дом "ЛИБРОКОМ"».

117335, Москва, Нахимовский пр-т, 56.

Формат 6Ох9О/16. Печ. л. 14. Зак. № ЖТ-12.

Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».

117312, Москва, пр-т Шестидесятилетия Октября, 11 А, стр. 11.

ISBN 978-5-397--02608-6	© Е. И. Деза, Л. В. Котова, 2011
	©Книжный дом <<ЛИБРОКОМ», 2011

НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА

E-mail: URSS@URSS.ru

10448 ID 123883

Каталог изданий в Интернете:

http://URSS.ru

Тел./факс (многоканальный):

URSS	+ 7 (499) 724-25-45

Содержание

Обозначения . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	7
Введение	. . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
Тhава 1.	Задачи по курсу теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		12
§ 1.	Теорема о делении с остатком. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		12
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	16
§ 2.	Отношение делимости .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
§ 3.	Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		21
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . .	27
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . .	28
§4. нод инок .................................			29
	Примеры решения задач	', ....................... .	30
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	31
	Задачи .............................	• .....	32
§ 5.	Алгоритм Евклида ............................	.	33
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	34
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
	Задачи ..................................	.	36
§ 6.	Взаимно простые числа	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . .	38
	Упражнения . . . . . . .	. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .	40

4	Содержание
§ 7.	Функции LxJ и {х}. . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . .	41
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	43
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	46
	Задачи ......................	._ . . . .	. . . . . . . .	47
§ 8.	Мультипликативные функции . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . .	50
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	51
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	53
	Задачи . . . . . . . . . .	• . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	53
§ 9.	Число и сумма делителей . . . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . .	54
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	55
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	56
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	57
§ 10.	Функция Эйлера. . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	58
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	59
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	60
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	61
§ 11.	Функция Мебиуса . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	63
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	65
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	66
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	67
§ 12.	Отношение сравнимости .. . . . . . . . . . . . . . .		. . . . . . . .	68
	Примеры решения задач . . .			69
	Упражнения . . . . . . .	. . .		69
	Задачи ............	.		71
§ 13.	Классы вычетов . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	72
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	72
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	75
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	76
§ 14.	Полная и приведенная системы вычетов . . . . .		. . . . . . . .	77
	Примеры решения задач	. . . • . • . • • • . • . • • • .	• . • • . . . .	78
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	79
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . .	80
§ 15.	Малая теорема Ферма и теорема Эйлера . . . . . .		. . . . . . .	81
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . .	82
	Упражнения . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . .	82
	Задачи . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	• . . . . . .	83
§ 16.	Линейные сравнения и системы сравнений . . . .		. . . . . . .	86
	Примеры решения задач	. . . . . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . .	87

		Содержание	5
	Упражнения . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	89
	Задачи . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
§ 17.	Сравнения и системы сравнений по простому модулю . . . .		92
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		93
	Упражнения . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	95
	Задачи . . . . . . .	. . . . . . . i • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •	96
§ 18.	Сравнения по степени простого и по составному модулю . .		97
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		98
	Упражнения . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	106
	Задачи ...................................		106
§ 19.	Квадратичные вычеты и символ Лежандра ............		107
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		111
	Упражнения . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	114
	Задачи ...................................		115
§ 20.	Показатели и первообразные корни . . . . . . . . . . . . . . . . .		116
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		118
	Упражнения . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	121
	Задачи ...................................		122
§21. Индексы ...................................			123
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		124 ;'
	Упражнения . . . .	. . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . .	129
	Задачи ...................	• ...............	131
§ 22.	Цепные дроби ...............................		134
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		137
	Упражнения ................................		143
	Задачи ...................................		144
§ 23.	Применения цепных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		146
	Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		148
	Упражнения • ..	• ............................	153
	Задачи ...................................		154
§ 24.	Разные теоретико-числовые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . .		157
Dmвa 2.	Задачи для организации промежуточноrо		162
	и нтоrовоrо контроля ...........................		162
§ 1.	Задачи для проведения контрольных работ ............		162
§ 2.	Задачи лабораторной работы по теме
	«СравненИя по составному модулю» . . . . . . . . . . . . . . . .		180

6	Содержание
§ 3.	Задачи лабораторной работы по теме
	«Цепные дроби» ..............................	183
§ 4.	Типовые задания обязательного минимума
	по арифметике и теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	193
Ответы: и решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		200
Тh.блица простых чисел, не превосходящих 10000 . . . . . . . . . . . . . . .		208
Тh.блицы индексов ....................................		213
Литература ........................................		219

Обозначения

•	N = {1, 2, 3, ...} - множество натуральных чисел.
•	Z = { ... , -3, -2, -1, О, 1, 2, 3, ... } - множество целых чисел.
•	rest(a, Ь) -	остаток отделения целого числа а на натуральное число Ь:
	а= Ьq + rest(a, Ь), где q, rest(a, Ь) Е Z, и О~ rest(a, Ь) < Ь.
•	Rest(a, Ь) -	наименьшее по абсолютной величине число, получаю
	щееся при делении целого числа а на натуральное число Ь:

Rest(a, Ь) = rest(a, Ь) при rest(a, Ь) ~ Ь/2,

и Rest(a, Ь) = rest(a, Ь) - Ь при rest(a, Ь) > Ь/2.

•ЬJа - целое число Ь, отличное от нуля, делит целое число а, то есть

а = Ьс, где с Е Z.

•(а1, ••• , an) -наибольшийобщийделитель(НОД) целых чисел а{, ... ,an,

хотя бы одно из которых не равно нулю, то есть наибольшее целое

число, делящее каждое из чисел а1, ... , an.

•[а1, ... , an] -наименьшееобщеекратное(НОК) целых чисел а1" .. ,an,

каждое из которых не равно нулю, то есть наименьшее натуральное

число, делящееся на каждое из чисел а1, .•. , an.

•	Р = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} -	множество простых чисел, то есть
	натуральных чисел, имеющих ровно два натуральных делителя; р, q,
		•	_	а1	а2		а"	, где
	Р1, ..• ,р8 , q1, ... , qt - простые числа,		n -	р1	· р2	· ... · Ps
	Р1,р2, ... ,р8 - различные простые числа,			и а1, а1, ... , а8			Е N -
	каноническое представление натурального числа n > 1, то есть пред
	ставление n в виде произведения натуральных степеней различных
•	простых чисел; n = Р1 ·Р2 ·•.• ·р8 -	бесквадратное число.
	S = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...} -		множество составных чисел,
	то есть натуральных чисел, имеющих не менее трех натуральных де
	лителей; N = Р U S U{1}.
•	LхJ- целая часть действительного числа х, то есть наибольшее целое

число, не превосходящее х.

• {х} - дробная часть действительного числах: {х} = х - LxJ.

8	Обозначения

•Гхl - наименьшее целое число, большее или равное х.

•\\х\\ = min{{x}, 1 - {х}} - расстояние от х до ближайшего целого

	числа.
•	ip(n) -	функция Эйлера, дающая число натуральных чисел, не превос
	ходящих n и взаимно простых с ним: ip(n) = \{х Е N: х ~ n, (х, n) = 1}\.
•	µ(n) -	функция Мебиуса: µ(1)	= 1, µ(n) = (-1)8 для бесквадратного
	числа n = Р1 ·... ·Ps, и µ(n) =		О в остальных случаях.
•	v(n) -	число различных простых делителей натурального числа n.
•	П(n) -	число простых делителей n, считаемых с повторениями.
•	7r(x) =	Е 1-числопростыхчисел,непревосходящихположительное

p~:i:

действительное число х.

•Е f(d) - сумма значений комплекснозначной функции /(х), oпpe dln

деленной для всех х Е N, по всем натуральным делителям d нату-

рального числа n.

•	r(n) = Е 1 -		число натуральных делителей натурального числа n.
		dln
•	u(n) = Е d -		сумма натуральных делителей натурального числа n.
		dln
•	и8(n) = Е d8 -		в-функция делителей, дающая сумму s-ых степеней
		dln
	натуральных делителей натурального числа n, где s -			любое ком-
	плексное число; в частности, u0 (n) = r(n), и u1(n) = u(n).
•	Л(п) -	функция Мангольдта: A(n) = Inp для n = pk, где р Е Р,
	а k Е N, и Л(п) =О в остальных случаях.
•	Л(n) -	функция Кармайкла: Л(ра) = <р(ра) для простого р ~ 3 и на
	турального а:;		Л(2а) = 2а-2 для натурального а~ 3, в то время как
	,\(2) =	1, и ,\(4) = 2; наконец, Л(рf1 • ••• • р~') = [Л(рf1 ), ••• , Л(р~·)],
	где Р1, ... , Ps -		различные простые числа, а 0:1, ••• , а8	Е N.

•а= Ь(modn) - целые числа а и Ь сравнимы по модулю n, n Е N, то

есть а и Ь имеют одинаковые остатки при делении на n, или, что

то же, n/(a - Ь).

•а 1= Ь(mod n) - целые числа а и Ь несравнимы no модулю n, n Е N,

то есть а и Ь имеют различные остатки при делении на n, или, что

то же, n f(a - Ь).

• а0 = {х Е Z: х =a(mod n)} ={... ,а - 2n, а - n, а, а+ n, а+ 2n,

а+3n, ... } - класс вычетов (числа а) по модулю n, то есть множество

всех целых чисел, сравнимых с числом а по модулю n.

		Обозначения	9
•	f(x)=anxn+an-1xn- 1+ ... +a1x+ao, an,an-1,".,aoEA, аn#=О
	многочлен степени n над кольцом (А, +, ·);deg f (х) - степень мно
	гочлена /(х).
•	(а/р) -	символ Лежандра: (а/р) = 1, если целое число а, взаимно
	простое с нечетным простым числом р, является квадратичным вы
	четом по модулю р (то есть сравн~ние		х2 = a(modp) разреши
	мо), и	(а/р) = -1, если целое число а,	взаимно простое с нечет

ным простым числом р, является квадратичным невычетом по моду

лю р (то есть сравнение х2 =a(modp) неразрешимо); если а/р, то

(а/р) =О.

•	(a/n) = п:=I(a/pi)a; ДЛЯ нечетного n = pf1 ••••• р~· - символ Якоби.
•	Pn (а) - показатель целого числа а (взаимно простого с n) по модулю n,
	то есть наименьшее натуральное число"(, такое что a"f =l(modn);
	если Pn(g) = <p(n), то g -				первообразный корень по модулю n.
•	ind	а - индекс числа а по модулю n с основанием g, то есть такое це
	лое9число fi Е [О, <p(n)-1], что а= gP(mod n). Здесьn Е {2, 4,ра, 2ра}
	для нечетного простого р и натурального а, g -							первообразный ко-
	рень по модулю n, и а -				целое число, взаимно простое с n.
•	[ао, а1,					1
			... , an, .. .] = ао+--------цепнаядробь. Здесь ао -
				а1 +----,--
						an+".
	некоторое целое число, а все an, n Е N -						натуральные числа, причем
	последнее, если оно суrnествует, отлично от 1.
•	t5k = [ао,а1, ... ,ak] =Pk/Qk, k=O, 1, ... , n, .. ., -							подходящие дроби для
	цепной дроби [ао, а1, ... , an, .. .]; ak, k =О, 1, ... , n, ... - неполные
	частные цепной дроби [ао,а1, ... ,an,· . .];						ak = [ak, ak+I• ... , an, .. .],
	k =О, 1, ... , n, ... - полные частные цепной дроби [ао,а1, ... ,an,·· .].
•	n! = 1 · 2 · ... · n - факториал натурального числа n; О! = l.
•	n)	=	n!	)', n, т Е N, n ~ т - число сочетаний из n элементов
	(т		'( _
			т.n	т.				.
	по т элементов; числа (~) являются коэффициентами разложения
	бинома		Ньютона: (а+ Ь)n		=	(~)an + (~)аn-1ь + (~)аn-2ь2 + ". +
	+ (n~2)a2ьn-2 + (~)аьn-1 + (:)ьn.
•	Fn = 22" + 1, n =О, 1, 2, ... -					числа Ферма.
•	Mn = 2n - 1 n = 1, 2, 3, ... -					числа Мерсенна.

1 / 231 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.11.2018118.27 Кб15D12.doc
#
28.03.20165.82 Mб22danilevskiy.doc
#
24.09.2019566.78 Кб18default.doc
#
15.09.2019103.42 Кб5Detochka_lovi.doc
#
02.12.201926.98 Кб0Detsk_surdopsikhologia.docx
#
06.06.201510.73 Mб692Deza_Kotova_Sbornik_zadach_po_teorii_chisel.pdf
#
06.06.2015196.1 Кб54diagnostikapamyati.doc
#
06.06.201514.32 Кб87Dialogues by heart.docx
#
27.03.201665.02 Кб11Die_Deklination_der_Substantive.doc
#
28.03.2016915.97 Кб48DIPLOMA EXCLUSION.doc
#
28.03.2016377.34 Кб35Diplomnaya_-_Razrabotka_vizualnykh_kommunikatsiy_dli_muzeyno-etnograficheskogo_komplexa_Glava1_ves.doc