- •№0. Понятие бао, уао, их свойства. Частичное бао и уао
- •№1. Понятие высказывания. Простые и составные выск. Таблица истинности и их применения. Равные выск. Тавтологии.
- •20.Докажем по таблице истинности:
- •№2 Операции над высказываниями. Свойства.
- •Замечания к параграфам шш и стрелка Пирса:
- •№5 Логические задачи и логические парадоксы (антиномии)
- •Парадокс: Протагор и его ученик (антиномия)
- •№6 Понятие множества. Конечные и бесконечные м-ва. Числ мн-ва, в т.Ч. N, n0, z, q, r. Булеан β(м) мн-ва м и его числ-ть. Осн способы задания мн-в. Диаграмма Эйлера. Равные множества.
- •№7 Подмн-ва. Св-ва отношения включения. Критерий рав-ва множеств.
- •№8 Операции над множествами: объед, пересеч, вычитание, дополнение (уао), симметрическое вычитание, декартово умножение. Свойства.
- •№9 Теорема о численностях мн-в. Задачи.
- •№10 Изображ декартова произведения АхВ числовых множеств а и в
№9 Теорема о численностях мн-в. Задачи.
1) |β(A)|=2|A|
2) |A×B|=|A|·|B|
3) |AUB|+|A∩B|=|A|+|B|
4) |AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|
№3 рис.
Док-во: если сложить |A| и |B|, то сумма будет больше |AUB| ровно на |A∩B|, т.к. элементы из ∩ были посчитаны 2 раза.
Задача. В классе 40 человек, из которых 29 не интересуются ничем, 8 – спортом, 6 – пельменями. Сколько спортсменов интересуется пельменями?
Решение:
1) 40-29=11 (чел.)
2) пусть C – спортсмены, Р – любители пельменей
|C∩P|=|C|+|P|-|CUP|=8+6-11=3
Если сложить |A|, |B|, |C|, то сумма будет больше |AUBUC| на |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|,т.к. эл-ты отсюда были сосчитаны 2 раза. Поэтому надо исходную сумму уменьшить на |A∩B|+|B∩C|+|C∩A|.
Однако при этом эл-ты из А∩В∩С не будут сосчитаны ни разу, поэтому к ответу прибавляем |А∩В∩С| и получаем результат.
Задача. Нас 19 человек. Каждая из нас изучает хотя бы один из языков:E,D,F. |E|=15, |D|=16, |F|=13. Известно, что все три языка изучает 1 чел,E и D-8 чел,DиF-7чел, FиE-6чел.Вопрос: сколько чел изучает один E?только DиF?Сколько чел изучает только по одному языку?
|E∩неD∩неF|=2
|D∩F∩неE|=6
|E◊D◊F|=2+2+1=5
№10 Изображ декартова произведения АхВ числовых множеств а и в
Декартовым произведением мн-в A и B называется мн-во, состоящее изо всех упорядоченных пар вида (a,b), где aϵA, bϵB и только из них.
Пример: Пусть A={1,2,3}, тогда
A×B={(1,2), (2,2), (3,2),
(1,5), (2,5), (3,5)} Доказана теорема
|A×B|число эл-в=|A|·|B|
B×A={(2,1), (5,1),
(2,2), (5,2),
(2,3), (5,3)}
Видим, что декартово умножение не коммутативно. Оно и не ассоциативно. Докажем это. Возьмем A=B=C={0}
(A×B)×C=A×(B×C)
{(o,о),о}=л.ч.
{o,(о,о)}=п.ч.
л.ч≠п.ч. *