Векторная алгебра

a || b

a b 0.

коллинеарны

III. Векторное произведение векторов, заданных координатами

Даны два вектора: a

axi ay j az k и

b bxi by j bz k .

Найти: a b .

Предварительно найдем векторное произведение ортов:

z

a)

i i 0

(| i i | | i

| | i | sin 0) .

Аналогично

j j 0,

k k 0.

1

k

j

1) | k | 1,

i

1

0

1

y

б)

i j k ,

| i j | | i

| | j | sin

2

1;

2) k i ,

k j;

x

3)

с конца k

поворот от i

к

j по крат-

чайшему пути виден против часовой стрелки;

j i k

(по свойству 1).

Аналогично:

j k

i ;

k j i ;

k i

j;

i

k

j.

Тогда

a b (axi ay j az k ) (bxi by j bz k ) axbxi i aybx j i azbx k i axby i j

ayby j

j azby k j axbz i k aybz

j k azbz k k

aybx ( k ) azbx

j axby k azby ( i ) axbz ( j) aybz i

(aybz azby )i (azbx axbz ) j (axby aybx )k

i

j

k

ax

ay

az

.

bx

by

bz

i

j

k

a b

Итак,

ax

ay

az

.

bx

by

bz

Пример 7.1.

a 3i 2 j k ;

b i

3 j.

Найти: а) a

b;

б) a b.

Решение. а) a (3; 2;1),

b ( 1;3;0);

a b 3( 1) 2 3 1 0 9.

б) a b

i

j

k

3i

j 7k.

3

2

1

1

3

0

Даны две точки пространства: M1 (x1, y1, z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) .

M2

Разделить отрезок M 1M 2 в данном отношении ( 0). Это

значит найти на отрезе такую т.М, что M1M (или

M

M1M MM 2 ) .

MM 2

M1

Доказать, что координаты т. M (x, y, z) вычисляется по форму-

лам:

x1 x2

y1 y2

z1 z2

x

;

y

;

z

.

1

1

1

Частный случай. Деление отрезка пополам.

Координаты середины отрезка:

x

x1 x2

;

y

y1 y2

;

z

z1 z2

.

2

2

2