Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Костромской государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра 2014

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

503.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Без доказательства.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной. Если решение единственное, то система называется определенной, если более одного решения, то неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Рассмотрим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А =

a ...
	11
	.
.
.

am1...

	a
	1n
	.
	.
	.
	.

	amn

– матрица системы

Дополним ее столбцом свободных членов

	a ...				a		b
			11			1n	1
~			.				.

A =	.						.	– расширенная матрица.
	.						.

		a		...	a		b
			m1			mn
							m

Теорема Кронекера-Капелли.

(Л.Кронекер 1823-1891г. Немецкий математик. А.Капелли 1855-1910г. Итальянский математик).

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был

равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Система совместна r (A) = r( A ).

Следствие. Если r(A) r( A) система несовместна.

r(A)=r – ранг матрицы системы

~ r( A ) – ранг расширенной матрицы

n – число неизвестных

~ r(A) = r( A ) = r

система совместна

		r n
r=n		r n

~ r(A) r( A)

система несовместна, нет решений

единственное бесконечное решение множество

решений

r – базисн. неизв. (n-r) – своб. неизв.

Пример 6.1

Исследовать систему уравнений. В случае совместности решить

x				x		2	x			3	x				4	x				5	7
	1					2				3					4					5
					2x				x					x				3x					2
3x					2x			2	x			3		x			4	3x				5	2
			1					2				3					4					5
	x			2x				2x						6x							23
	x	2		2x			3	2x					4	6x					5		23
		2					3						4						5
					4x				3x						3x						x			12
5x					4x			2	3x					3	3x					4	x		5	12
			1					2						3						4			5

Ответ: Система совместна и имеет бесконечное множество решений вида:

х1	16 х3 х4			5х5 ,	х2		23 2х3 2х4 6х5	, где	х3 , х4 , х5 R
Пример 6.2
Исследовать систему
2x1 3x2 x3 x4 5
		2x3 x4 1
3x1 x2		2x3 x4 1
		3x3 4x4 6
x1 2x2		3x3 4x4 6
6x 4x		2	4x 6x			4	1
	1	2		3		4

Ответ: Система несовместна (нет решений)

Пример 6.3
Исследовать и решить систему уравнений.
2x			5x		2	8x	3	8
	1				2		3
	4x		3x			9x		9
	4x		3x		2	9x		9
	1				2		3
	2x		3x			5x		7
	2x		3x		2	5x	3	7
	1				2		3
x		8x		2	7x		12
	1			2		3
Ответ: Система совместна и имеет единственное решение х1 3 ,									х2 2 ,	х3	1

§7. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера

I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.

	a x			a x	2	a x b
		11	1	12	2	13	3	1
	a21x1			a22 x2		a23 x3		b2	(1)
	a x			a x	2	a x b
		31	1	32	2	33	3	3
a	a	a
11	12		13
Обозначим: A a21	a22	a23		– матрица системы,
	a32	a33
a31	a32	a33

	x
		1
	X x2
		x
		x
		3

– матрица-столбец неизвестных,

	b
		1
B		b
B		b
		2
		b
		b
		3

   

-–матрица-столбец свободных членов

Найдем

	a			a		a		x			a			x	a		x	2
		11		12		13				1		11		1	12
A X		a		a		a			x			a		x	a		x
			21		22		23			2			21			22		2
														1
		a		a		a			x			a		x	a		x
			31		32		33						31			32		2
										3				1

a		x
13		3
a	23	x
	23	3
a	33	x
	33	3

   

Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:

A X B

(2) – матричная запись системы линейных уравнений.

Найдем решение этого матричного уравнения. Пусть А –

невырожденная

матрица, т.е.

0 , значит A

. Умножим обе части (2) на

A X

B .

Поскольку

A E , то E X A

B .

EX= X, значит

X A

(3)

– решение (2) и системы (1).

Пример 7.1 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение:

A X

1	2	1			x				0
						1
						1
2	1	1	;	X	x	2	;	B	1 .
						2
1	3	1			x				2
1	3	1			x				2
						3

X B – матричная запись системы.

A 1 B – решение системы.

1	2
A 2	1
1	3
2

A 1	1
	5
	5

1
1 1 0 A 1.
1
1	1
			X
0	1	.	X
1
1	3

	2		1	1	0	3
A 1 B		1
			0	1	1	2 .

		5	1	3	2	7

Пример 7.2
x		x	2		3x	3		1
	1								Ответ: x1 0; x2 2; x3 1.
2x1 x2					2x3			4
4x x				2	4x		3	2
	1

II. Правило Крамера

a		x	a	x	2	a	x
	11	1	12		2	13	3
a21x1			a22 x2 a23 x3
a		x	a	x	2	a	x
	31	1	32		2	33	3

а		а		а
	11	12			13
а	21	а	22	а	23

а	31	а	32	а	33

- определитель системы, составленный из коэффициентов

при неизвестных

- определители, полученные из

путем замены соответственно

первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов.

1. Если определитель системы 0 , то система имеет единственное решение:

х1			1	,



2.	0				,
3.		0

х2		2 ,	х3		3 – формулы Крамера;

1	или			2	, или 3	0	, то система не имеет решений;
,	1	2		3 0 ,		то	система или не имеет решений или имеет

бесконечное множество решений.

Пример 7.3

Решить систему формулам Крамера.

x		2x		2	x	0
	1				3
	2x	x			x	1
			2
	1				3
	x	3x			x	2
				2
	1				3

Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

а			х
	11		1
			x
a		21
			1
1.		0
2.		0
3.		0

а		х				b				a			a			b	a			a		b
12				2			1				11		12			1		12		11			1
12				2			1				11		12			1		12		11			1
a			x			b				a			a		1	b	a		2	a		b
a	22		x		2	b				a		21	a	22		b	a	22		a	21	b
	22				2		2					21		22		2		22			21		2
, то система имеет единственное решение:																					х1			1	,	х2	2	;
, то система имеет единственное решение:																					х1				,	х2		;


,	1					или 2			0		, то система не имеет решений;
,	1						2	0	, то система имеет бесконечное множество решений.

§8. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

a11x1 a12 x2 ...							a1n xn b1
							a2n xn b2
a21x1 a22 x2							a2n xn b2

.....................................

a	m1	x a	m2	x	2	...	a	mn	x	n	b
	m1	1	m2		2			mn		n	m

Матрицу системы и расширенную матрицу с помощью элементарных преобразований можно свести или к треугольному виду или к ступенчатому виду.

a		a		a		b
	11		12		1n	1

	0	c	22	c	2n	d
						2



	0	0		cnn
						dn

(1)

a		a		a		a		b

	11		12		1r		1n	1

	0	c	22	c	2r	c	2n	d	2




	0	0 crr				crn		dr

(2)

Матрице (1) соответствует система:

a11x1	a12 x2 ... a1n xn b1
	c22 x2 ... c2n xn d2
	c22 x2 ... c2n xn d2

...................................

	cnn xn	dn

Если а11, с22, …сnn 0, то начиная с последнего уравнения найти единственное решение xn, xn-1,…,x1.

Если условие а11, …, сnn 0 не выполняется, то переставить столбцы. Матрице (2) соответствует система:

Если a11, c22,…,crr

...

... a

c22 x2

c2r xr

c2n xn d2

.................................................

...

бесконечное множество решений.

0, то r(A)= r( A ) =r<n

		а
		11
	r базисных неизвестных: x1, x2,…,xr, где	0
	r базисных неизвестных: x1, x2,…,xr, где

		0

(n-r) свободных неизвестных: xr+1, …, xn Выразить x1,…,xr через xr+1,…,xn. Замечание. Если в матрице (1) или (2) есть

cij=0, а di 0 (противоречивое уравнение),

r(A) r( ~ ). A

	а
	12
с	с

r222

0	c	rr
		rr

такая i–я строка, у которой все

то система несовместна, так как

Данный метод называется методом Гаусса.

Метод Гаусса позволяет решить систему и исследовать ее на совместность.

Пример 8.1

Решить систему методом Гаусса.

x1 2x2 3x3 32x1 6x2 10x3 0

3x1 12x2 3x3 9

Ответ: х1 2 , х2 1, х3 1

§9. Однородные системы уравнений.

Рассмотрим однородную систему уравнений.

... a

m1 1

																		a		...	a			x
																			11		1n				1
																			11		1n				1
В матричном виде:														A X 0 , где А=								; Х=				.
																				...
																		am1		...	amn			xn
			a ...						a				0
~				11						1n
~															– расширенная матрица
A			...							...			...		– расширенная матрица
				am1					amn				0
				am1					amn				0
		~																			~		однородная система
А~ A				(вычеркнув нулевой столбец) r( A) r( A) r																			однородная система
всегда совместна.
Возможны два случая:
		1) r = n ( когда												A 0) единственное решение x1=…=xn=0
		2) r<n							(когда						A 0) бесконечное					множество					решений x1,…,xr		–
				базисные неизвестные; xr+1,…,xn – свободные неизвестные.
Пример 9.1 Исследовать и решить систему
3x				x				2x 0
		1				2				3
		1				2				3
	2x			3x					5x			0
	2x			3x				2	5x			0
		1						2		3
	x		x				x			0
	x		x		2		x			0
	1				2				3
Ответ:							х1		0	, х	2		0 ,		х			0
											2					3
Пример 9.2 Исследовать и решить систему
x			2x				2	4x 3x						4	0
	1						2			3				4
				5x					6x			4x				0
3x				5x				2	6x			4x			4	0
		1						2		3					4
	4x			5x					2x			3x				0
	4x			5x				2	2x			3x			4	0
		1						2		3					4
				8x					24x				19x					0
3x				8x				2	24x				19x				4	0
		1						2			3						4
Ответ: бесконечное множество решений вида х1 8х3																							7х4 , х2 6х3 5х4 ,				где
х3 , х4 R

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.20251.86 Mб1Лекция_овощные.doc
#
01.04.202538.72 Кб2лесгафт пед.идеи.docx
#
13.09.2019274.43 Кб15Лесное хозяйство. Курсовая работа..doc
#
05.06.201526.41 Кб14Лимит остатка кассы вопрос 90.docx
#
05.06.2015707.58 Кб26Линейная алгебра 2014.doc
#
05.06.2015503.51 Кб17Линейная алгебра 2014.pdf
#
13.11.2019924.16 Кб10Линейная алгебра (бакалавры).doc
#
10.02.20153.44 Mб896Линейная Алгебра от 2 октября 2013.doc
#
05.06.20157.98 Mб563Линейные цепи однофазного синусоидального тока.doc
#
10.02.201518.13 Кб18литература.docx
#
05.06.2015158.42 Кб53Литье по выплавляемым моделям.docx

x				x		2	x			3	x				4	x				5	7
	1					2				3					4					5
					2x				x					x				3x					2
3x					2x			2	x			3		x			4	3x				5	2
			1					2				3					4					5
	x			2x				2x						6x							23
	x	2		2x			3	2x					4	6x					5		23
		2					3						4						5
					4x				3x						3x						x			12
5x					4x			2	3x					3	3x					4	x		5	12
			1					2						3						4			5

	a			a		a		x			a			x	a		x	2
		11		12		13				1		11		1	12
A X		a		a		a			x			a		x	a		x
			21		22		23			2			21			22		2
														1
		a		a		a			x			a		x	a		x
			31		32		33						31			32		2
										3				1

x				x		2	x			3	x				4	x				5	7
	1					2				3					4					5
					2x				x					x				3x					2
3x					2x			2	x			3		x			4	3x				5	2
			1					2				3					4					5
	x			2x				2x						6x							23
	x	2		2x			3	2x					4	6x					5		23
		2					3						4						5
					4x				3x						3x						x			12
5x					4x			2	3x					3	3x					4	x		5	12
			1					2						3						4			5

	a			a		a		x			a			x	a		x	2
		11		12		13				1		11		1	12
A X		a		a		a			x			a		x	a		x
			21		22		23			2			21			22		2
														1
		a		a		a			x			a		x	a		x
			31		32		33						31			32		2
										3				1

x				x		2	x			3	x				4	x				5	7
	1					2				3					4					5
					2x				x					x				3x					2
3x					2x			2	x			3		x			4	3x				5	2
			1					2				3					4					5
	x			2x				2x						6x							23
	x	2		2x			3	2x					4	6x					5		23
		2					3						4						5
					4x				3x						3x						x			12
5x					4x			2	3x					3	3x					4	x		5	12
			1					2						3						4			5

	a			a		a		x			a			x	a		x	2
		11		12		13				1		11		1	12
A X		a		a		a			x			a		x	a		x
			21		22		23			2			21			22		2
														1
		a		a		a			x			a		x	a		x
			31		32		33						31			32		2
										3				1