29. П. И н.И.: Формула интегрирования по частям.

Пусть каждая из функций f(x) и g(x) д-ма множестве Х и, кроме того, на этом множестве существует первообразн. для ф-и g(x)   f '(x). Тогда на мн-ве Х существует первооб. для ф-и f(x)g '(x), причем верна ф-ла: . Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу в виде: . Формула сводит вопрос о вычислении интеграла к вычислению интеграла . Применяется для интегралов вида: .

Например: . u= arctg x dv= xdx, отсюда: , v=x²/2.

30. П. И н.И.: Формула замены переменных под знаком интеграла.

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве {х} и пусть {t } — множество значений этой функции. Пусть далее для функции существует на множестве {t} первообразная функция , т.е. . Тогда всюду на мн-ве {х} для функции существует перв-я функция, равная , т.е.

Док-во путем интегрирования формулы для сложной функции.  — первообразная , тогда — первообразная функции , что и требовалось доказать.

Например: . Заменяем cos x на t.

31. Определенный интеграл и его связь с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. / не обязательно, будут спрашивать определения/ Задача, приводящая к понятию опр. Интеграла.

Опр. 1: Разбиением отрезка [ a, b ] называется последовательность отрезков , где индекс i изменяется от 0 до n-1 включительно, так что

Опр. 2: Радиусом разбиения λ называется максимум длин этих отрезков, λ=maxΔ i , где i меняется от 1 до n-1, где Δ i=

Опр. 3: Интегральной суммой функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется любая сумма вида:

Опр. 4: Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется предел интегральных сумм при λ → 0, где , если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, не зависит от выбора ξ _i

Теорема: (О достаточных условиях интегрирования функции) если функция f(x) кусочно-непрерывная на [ a, b ] , т.е. имеет конечное число разрывов 1-го рода, то она интегрируема на [ a, b ] т.е. существует предел интегральных сумм , существует .

Геометрический смысл: Площадь криволинейной трапеции ограниченной функциями у=f(x), х=α, х=b и осью Оу.(При f(x) > 0

Свойства неопределенного интеграла: 1. 2. 3. (аддитивность)

4. (линейность) 5.

/надо для ответа./ Опр.: Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида:

Теорема (Барроу (вечно живой (годы жизни неизвестны))) Пусть f(x) непрерывна на [ a, b ] тогда

Теор.: (Формула Ньютона-Лейбница (Исаак Ньютон — ученый (1642–1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ и математик (1646–1716))) Пусть f(x) кусочно-непрерывна на [ a, b ] , тогда она имеет первообразную функцию Доказательство: по св-ву опр. интеграла №1 откуда отсюда получаем

формула интегрирования по частям в этом свете: .

При замене переменных меняются и границы интегрирования.

32. Понятие несобственного интеграла.

Речь о несобственном интеграле заходит тогда, когда или у нас является бесконечным промежуток интегрирования, или функция имеет разрыв второго рода.

Опр.: Несобственным интегралом от функции f(x) непрерывной и ограниченной на полуоси называется предел, если он существует, собственного интеграла , если f(x) непрер. и огр. на полуоси , тогда , если он .

Опр. 2: Пусть f(x) непрерывна на [ a, b ) и интегрируема на [α, с] ≤ [ α, b ], тогда несобственным интегралом называется

Опр. №3: пусть f(x) интегрируема на [ a, С - ε ] и на [ С + ε , b ] для любого ипсилон больше нуля, тогда главным значением несобственного интеграла в смысле Коши называется Замечание: все определения верны и для обычных собственных интегралов.

Если сущ. каждый из отдельных интегралов то существует и интеграл , но обратное утверждение неверно.