![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Готовимся к экзамену по матану
- •1. Основные теоремы дифф. Исчисления: Теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций).
- •2. О.Т.Д.И.: теорема Ролля. (Мишель Ролль — фр. Математик (1652–1719))
- •3. О.Т.Д.И.: теорема Лагранжа. (:Жозеф Луи Лагранж — великий фр. Математик и механик (1736–1813)).
- •4. О.Т.Д.И.: теорема Коши-Лагранжа. (обобщение теоремы Лагранжа). (Огюстен Луи Коши — фр. Математик (1789–1857) хорошо, что умер, а то убила бы!)
- •5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0,∞/∞. (Гильом Франсуа де Лопиталь — фр. Математик (1661–1704))
- •6. Определение производных и дифференциалов высших порядков.
- •9. Общий план исследования функций. Теорема о достаточных условиях монотонности функции на интервале.
- •10. О.П.И.Ф.: Экстремумы функции. Теоремы о необходимом (формулировка) и достаточном условии экстремума дифференцируемой и непрерывной функции на интервале.
- •11. О.П.И.Ф.: Определение выпуклости вверх (вниз) функций. Теорема о достаточных условиях выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции.
- •12. О.П.И.Ф.: Определение точки перегиба. Теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.
- •13.О.П.И.Ф.: Определение асимптоты функции. Виды асимптот.
- •14. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.
- •15. Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции. Непрерывность.
- •16. Предел функции. Непрерывность функции многих переменных.
- •32. Понятие несобственного интеграла.
9. Общий план исследования функций. Теорема о достаточных условиях монотонности функции на интервале.
1)Если f(x) дифференцируема на ( a, b ) и ее производная больше (больше либо равна) нуля, то f(x) строго возрастает (не убывает) на интервале ( a, b ) 2) Если f(x) дифференцируема на ( a, b ) и ее производная меньше (меньше либо равна) нуля, то f(x) строго убывает (не возрастает) на ( a, b ).
Доказательство:
Пусть
,
тогда по теореме Лагранжа
.
Для пункта 2 аналогично.
10. О.П.И.Ф.: Экстремумы функции. Теоремы о необходимом (формулировка) и достаточном условии экстремума дифференцируемой и непрерывной функции на интервале.
описание
точек локальных экстремумов: Будем
говорить, что точка
—
точка локального максимума (минимума),
если существует некоторая окрестность
точки
,
такая, что для любого х из нее будет
следовать, что
.
Точки локальных максимумов и минимумов
называются точками экстремума.
Теорема
о необходимом условии экстремума: Если
—
точка экстремума функции f(x),
диффференцируемой на ( a, b ) , то
Доказательство: применим теорему Ферма
к интервалу
,
где
для любого х принадлежащего
,
откуда следует, что
.
Замечание: это условие является
необходимым, но не достаточным.
Теорема
о достаточном условии экстремума
функции: если функция f(x) непрерывна в
точке
и дифференцируема в некоторой окрестности
этой точки (в проколотой окрестности),
и
и
,
т.е. производная в точке
меняет знак.
Доказательство:
По теореме Лагранжа
1.
2.
.
Из п.1 и п.2 следует, что
всегда,
,
т.е.
точка макс.
Опр.: критическими точками функции у=f(x) назовем точки, где производная равна нулю или не существует.
11. О.П.И.Ф.: Определение выпуклости вверх (вниз) функций. Теорема о достаточных условиях выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции.
График функции f(x) называется на интервале ( a, b ) выпуклым вверх (вниз) если график у=f(x) лежит ниже (выше) любой касательной, проведенной к графику в этом интервале. Опр.: точкой перегиба называется точка графика в которой график меняет направление выпуклости.
Теорема
о дост. усл. выпуклости: если
на ( a, b ), то график у=f(x) выпуклый
вниз (вверх)
12. О.П.И.Ф.: Определение точки перегиба. Теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.
Опр.: Точкой перегиба называется точка графика, в которой график меняет направление выпуклости.
Теор.:
(необх. и дост. усл.) Пусть f(x) дважды
дифференцируема на ( a, b ) и
существует такая точка С — точка
перегиба, тогда
2. Если вторая производная функции f(x),
дифференцируемой на ( a, b ) кроме,
может быть, самой точки С, в т.С меняет
знак, то точка С — точка перегиба.
/не по делу/ Общий план исследования функций: 1) Определить область задания функции 2) Определить четность, нечетность, периодичность. 3) Определить нули функции и точки пересечения с 0у 4) исследовать точки разрыва 5) построить асимптоты 6) Исследовать участки монотонности 7) определить точки экстремума 8) определить направление выпуклости 9) определить точки перегиба 10) построить эскиз функции
13.О.П.И.Ф.: Определение асимптоты функции. Виды асимптот.
Опр.:
асимптота — прямая, к которой график
функции f(x) приближается сколь угодно
близко, но не пересекает ее при стремлении
х к
или к точкам разрыва второго рода, когда
Асимптоты бывают: вертикальные,
горизонтальные, наклонные.
1)
Если существует точка С такая, что
,
то прямая х=С вертикальная асимптота
функции.
2)
Если существует,
то прямая у=b
— горизонтальная асимптота функции.
3)
Если существует прямая
,
такая, что
,
то прямая
—
наклонная ассимптота.