13.О.П.И.Ф.: Определение асимптоты функции. Виды асимптот.

Опр.: асимптота — прямая, к которой график функции f(x) приближается сколь угодно близко, но не пересекает ее при стремлении х к или к точкам разрыва второго рода, когда Асимптоты бывают: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

1) Если существует точка С такая, что , то прямая х=С вертикальная асимптота функции.

2) Если существует , то прямая у=b — горизонтальная асимптота функции.

3) Если существует прямая , такая, что , то прямая — наклонная ассимптота.

14. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.

Опр.: Функцией 2-х переменных называется отображение f сопоставляющее упорядоченной паре чисел , которые принадлежат плоскости число z причем единственным образом. f → R,

Опр2.: Множество Ω которое содержится в плоскости такое что для любых существует называется областью определения функции.

Опр. 3: Графиком функции 2-х переменных называется поверхность в множество упорядоченных четверок чисел), т.е. геометрическое место точек с координатами

Опр. 4: Линиями уровня функции называется мн-во точек на пл-ти (0ху) удовлетворяющие уравнению

Геометрический смысл линий уровня: Проекции сечений вида z = С на плоскость . Аналогично вводится понятие для ФМП.

Опр. 1: Функцией n переменных будем называть отображение f которое сопоставляет упорядоченному набору из n действительных чисел действительное число z, причем единственным образом. f →R

Опр. 2: Областью определения функции называется множество

Опр. 3: Графиком функции называется множество точек в пространстве таких, что координаты их удовлетворяют соотношению: для любых , принадлежащих Ω.

15. Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции. Непрерывность.

Опр.: ипсилон окрестностью точки М , принадлежащей называется множество точек М, координаты которых удовлетворяют условию: . Обозначение:

Опр.: ипсилон окрестностью точки называется множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

О пр.: точка М называется предельной точкой множества омега, если для любого ипсилон больше нуля ипсилон-окрестность точки М, пересеченная с множеством омега не равно пустому множеству. см. рис.

Множество омега содержащее все предельные точки называется замкнутым. Множество омега, такое, что для любой точки М принадлежащей множеству омега существует ипсилон больше нуля, такое, что называется открытым. Тогда множество омега называется областью.

Множество точек М плоскости называется открытой областью, 1) если каждая точка этого множества является его внутренней точкой. 2) если любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой также приналежат М. Если к открытой область присоединить всю ее границу, то получится множество, называемое замкнутой областью. Применяется и общий термин область, обозначающий оба варианта, а также открытую область с частью границы.

Скорее всего множество может состоять из нескольких "кусочков", а область — это когда все точки связаны.

Предел. Опр.: пределом функции в точке называется число А , если ,откуда или

Пределом функции в точке ) называется число А, конечное, если для любого ипсилон больше нуля существует дельта больше нуля, такая, что М принадлежит дельта-окрестности точки М₀ , или . Обозначение:

Опр.: функция непрерывна в точке М₀, если

Опр.: функция непрерывна в точке М₀, если