9. Общий план исследования функций. Теорема о достаточных условиях монотонности функции на интервале.

1)Если f(x) дифференцируема на ( a, b ) и ее производная больше (больше либо равна) нуля, то f(x) строго возрастает (не убывает) на интервале ( a, b ) 2) Если f(x) дифференцируема на ( a, b ) и ее производная меньше (меньше либо равна) нуля, то f(x) строго убывает (не возрастает) на ( a, b ).

Доказательство: Пусть , тогда по теореме Лагранжа . Для пункта 2 аналогично.

10. О.П.И.Ф.: Экстремумы функции. Теоремы о необходимом (формулировка) и достаточном условии экстремума дифференцируемой и непрерывной функции на интервале.

описание точек локальных экстремумов: Будем говорить, что точка  — точка локального максимума (минимума), если существует некоторая окрестность точки , такая, что для любого х из нее будет следовать, что . Точки локальных максимумов и минимумов называются точками экстремума.

Теорема о необходимом условии экстремума: Если  — точка экстремума функции f(x), диффференцируемой на ( a, b ) , то Доказательство: применим теорему Ферма к интервалу , где для любого х принадлежащего , откуда следует, что . Замечание: это условие является необходимым, но не достаточным.

Теорема о достаточном условии экстремума функции: если функция f(x) непрерывна в точке и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки (в проколотой окрестности), и и , т.е. производная в точке меняет знак.

Доказательство: По теореме Лагранжа 1.

2. . Из п.1 и п.2 следует, что всегда, , т.е. точка макс.

Опр.: критическими точками функции у=f(x) назовем точки, где производная равна нулю или не существует.

11. О.П.И.Ф.: Определение выпуклости вверх (вниз) функций. Теорема о достаточных условиях выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции.

График функции f(x) называется на интервале ( a, b ) выпуклым вверх (вниз) если график у=f(x) лежит ниже (выше) любой касательной, проведенной к графику в этом интервале. Опр.: точкой перегиба называется точка графика в которой график меняет направление выпуклости.

Теорема о дост. усл. выпуклости: если на ( a, b ), то график у=f(x) выпуклый вниз (вверх)

12. О.П.И.Ф.: Определение точки перегиба. Теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.

Опр.: Точкой перегиба называется точка графика, в которой график меняет направление выпуклости.

Теор.: (необх. и дост. усл.) Пусть f(x) дважды дифференцируема на ( a, b ) и существует такая точка С — точка перегиба, тогда 2. Если вторая производная функции f(x), дифференцируемой на ( a, b ) кроме, может быть, самой точки С, в т.С меняет знак, то точка С — точка перегиба.

/не по делу/ Общий план исследования функций: 1) Определить область задания функции 2) Определить четность, нечетность, периодичность. 3) Определить нули функции и точки пересечения с 0у 4) исследовать точки разрыва 5) построить асимптоты 6) Исследовать участки монотонности 7) определить точки экстремума 8) определить направление выпуклости 9) определить точки перегиба 10) построить эскиз функции