5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0,∞/∞. (Гильом Франсуа де Лопиталь — фр. Математик (1661–1704))

Пусть две функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки α за исключением, быть может, самой точки α. Пусть, далее, и производная отлична от нуля всюду в указанной выше окрестности точки α. Тогда, если существует (конечное или бесконечное) предельное значение , то существует и предельное значение , причем справедлива формула = (1). Теорема дает нам правило для раскрытия неопределенностей вида 0/0, сводящее вычисление lim отношения двух функций к вычислению lim отношения их производных.

Док-во: Пусть {x_g} — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к α и состоящая из чисел, отличных от α. Будем рассматривать эту последовательность, начиная с того номера n, с которого все x_n принадлежат окрестности точки α, указанной в формулировке теоремы. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке α, положив их равными нулю в этой точке. Тогда, очевидно, f(x) и g(x) будут непрерывны на всем сегменте [α, x_n] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того отлична от нуля всюду внутри этого сегмента. Т.О. для f(x) и g(x) на сегменте [α, x_n] выполнены все условия теоремы Коши-Лагранжа. Согласно этой теореме внутри сегмента [α, x_n] найдется т. С такая, что . Учитывая, что по нашему доопределению, , мы можем следующим образом переписать формулу (2). Пусть теперь в этой формуле . Тогда, очевидно, С_n→α. Так как мы предположили существование предела отношения производных функций, правая часть при обязана стремиться к этому предельному значению. Стало быть, существует предел при и левой части. По определению предельного значения функции этот предел равен . Таким образом, в пределе при равенство (2) переходит в равенство (1). Теорема доказана.

6. Определение производных и дифференциалов высших порядков.

Опр.: назовем производной первого порядка функции f(x). Пр-я от про-ной некоторой функции называется производной второго порядка, или второй производной этой функции. Про-я от 2-й пр. называется третьей пр-й, и т.д. Производной начиная со второй называются пр. высших порядков и обозначаются . Производная n-нога порядка является производной порядка, т.е. . Физич. смысл: 1-я производная — мгновенная скорость точки в момент времени х, вторая производная — скорость изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.

Дифференциалы высших порядков. Опр.: Дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Д-л d (dy) от дифференциала dy называется д-лом второго порядка функции f(x) и обозначается d²y, т.е. . Д-л d(d²y) от д-ла d²y называется д-лом 3-го порядка функции f(x) и обозначается d³у и т.д. Д-л от д-ла называется д-лом энного порядка функции f(x) и обозначается dⁿy. Дифференциал энного порядка индуктивно определяется по формуле: откуда т.е. энная производная у=f(x) в некоторой точке х равна отношению энного д-ла этой функции в точке х к д-лу аргумента в степени n.

7. Многочлен Тейлора (Брук Тейлор — английский математик (1685–1731)) для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в формуле Пеано (Джузеппе Пеано — итальянский математик (1858–1932) и в форме Лагранжа.

Основная формула мат. анализа. Теорема. Пусть функция имеет некоторой окрестности точки α производную порядка (n — любой фиксированный номер). Пусть, далее, х — любое значение аргумента из указанной окрестности, р — произвольное положительное число. Тогда между точками α и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула: , где . Эта формула называется формулой Тейлора, а выражение R_n+1(х) — называется остаточным членом (записанным в общей форме). Ве остальное кроме остаточного члена называется пэ энное ,

Частными случаями формулы Тейлора являются след. представления остаточного члена:

Преобразуем формулу остаточного члена. Поскольку точка ξ лежит между точками α и х, то найдется такое число θ из интервала 0 < θ < 1, что ξ - α = θ (х - α). При этом Таким образом, формула может быть переписана в виде:

1. при этом условии остаточный член приводится к форме Лагранжа. . Наиболее употребительная форма. Для подсчета погрешностей.

2. остаточный член в форме Коши. (на всякий случай)

3. Пусть функция f(x) имеет производные порядка (n - 1) в некоторой окрестности точки α и производную порядка n в самой точке α. Тогда справедливо следующее равенство (форма Пеано!): При поиске пределов, где не важна погрешность, а важна функция (беск. малая, беск. большая...)

4. Формула Маклорена (Колин Маклорен — английский математик (1698–1746)) — формула Тейлора с центром в точке α = 0. Т.о., формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х = 0. Выглядит следующим образом:

8. Представление функций ℮^х, sin x, cos x, ln (1+ x), (1+ x)^m по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов и значений функций.

По Тейлору: .По Маклорену: .

, где остаточный член в форме Лагранжа равен:

По Тейлору:

По М.: где n — нечет число, ост. член тэта от 0 до 1

По Т.:

По М.: , где n — четное число, ост. член как в синусе, но вместо sin cos.

По Тейлору:

Энная производная по нат. логарифму имеет вид:

По Маклорену.: , ост. член Лагранжа:

По Т: + По Маклорену: ,

В частном случае, когда а=n — целое число, остаточный член равен нулю, мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона. Напр. , последний множитель раскладываем по этой формуле.

Внимание: могут спросить формулу остаточного члена. Подставлять в формулу производную энной степени, взяв вместо n число n+1. В синусе и косинусе энный член от эн плюс два, т.к. производной от предыдущего не существует.

Применение формулы Маклорена: вычисление значений функций, вычисление пределов функций. Примеры:

,