§ 4. Теорема умножения определителей.
Из
определения умножения матриц следует,
что для квадратных матриц
и
произведение
·
=
– квадратная матрица. Так как каждой
квадратной матрице можно поставить в
соответствие определитель, возникает
вопрос: может ли определитель |
|
как-то зависеть от определителей |
|
и |
|?
На этот вопрос отвечает следующая
теорема.
|
Теорема: (4.2) |
Определитель произведения нескольких матриц n-го порядка равен произведению определителей этих матриц. |
►Учитывая
свойство ассоциативности произведения
нескольких матриц, ограничимся
доказательством теоремы для
произведения двух матриц: A·B=C.
Для доказательства утверждения построим
вспомогательный определитель d:
его размеры (2
,
2
).
-
a11
a12
…
a1n
0
0
…
0
a11
a12
…
a1n
c11
c12
…
c1n
a21
a22
…
a2n
0
0
…
0
a21
a22
…
a2n
c21
c22
…
c2n
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
an1
an2
…
ann
0
0
…
0
→
an1
an2
…
ann
cn1
cn2
…
cnn
-1
0
…
0
b11
b12
…
b1n
-1
0
…
0
0
0
…
0
0
-1
…
0
b21
b22
…
b2n
0
-1
…
0
0
0
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
0
0
…
-1
bn1
bn2
…
bnn
0
0
…
-1
0
0
…
0
Применим
теорему Лапласа к исходной записи
определителя: воспользуемся разложением
определителя по первым
строкам. Так как только один минор
порядка
не равен нулю, то получаем равенство:
d=|A|·|B|.
Теперь преобразуем исходный определитель так, чтобы его величина не изменилась, а форма записи обнаружила бы определитель C. Воспользуемся таблицей умножений:
|
Столбец
|
b11 |
b21 |
… |
bn1 |
Столбец
|
Столбец
|
b12 |
b22 |
… |
bn2 |
Столбец
|
Столбец
|
b1n |
b2n |
… |
bnn |
Столбец
|
|
|
a11 |
a11 |
… |
a1n |
c11 |
|
a11 |
a11 |
… |
a1n |
c12 |
|
a11 |
a11 |
… |
a1n |
c1n |
|
|
a21 |
a22 |
… |
a2n |
c21 |
|
a21 |
a22 |
… |
a2n |
c22 |
|
a21 |
a22 |
… |
a2n |
c2n |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
an1 |
an2 |
… |
ann |
cn1 |
|
an1 |
an2 |
… |
ann |
cn2 |
|
an1 |
an2 |
… |
ann |
cnn |
▫ столбцы
1÷
определителя d
умножаем, соответственно на элементы
столбца 
,
,
…, 
,
определителя |B|;
▫ прибавим
получившиеся линейные комбинации по
каждой строке определителя d
к его (
+1)-столбцу
→ (
+1)-й
столбец стал: c11,
c21,
… , cn1,
0,
0, … , 0;
▫ столбцы
1÷
определителя d
умножаем, соответственно на элементы
столбца 
,
,
…, 
,
определителя |B|;
▫ прибавим
получившиеся линейные комбинации по
каждой строке определителя d
к его (
+2)-столбцу
→ (
+2)-столбец
стал: c12,
c22,
… , cn2,
0,
0, … , 0;
▫ столбцы
1÷
определителя d
умножаем, соответственно на элементы
столбца 
,
,
…, 
,
определителя |B|;
▫ прибавим
получившиеся линейные комбинации по
каждой строке определителя d
к его (
+
)-столбцу
→ (
+
)-й
столбец стал: c1n,
c2n,
… , cnn,
0,
0, … , 0;
В результате выполненных преобразований величина исходного определителя не изменилась, но нам удалось в определителе d выделить минор, элементы которого равны элементам матрицы C. Одновременно минор, на месте которого находились элементы матрицы B, замещён нулями, а нулей – элементами матрицы C.
Применим
теорему Лапласа к преобразованной
записи определителя: воспользуемся
разложением определителя по первым
строкам. Так как только один минор
порядка
не равен нулю, то получаем равенство:
d=
·
·|C|,
где SM
=(
+1)+(
+2)+…+(
+
)+
1+2+ … +
=
·
+
(
+1)=2
2+
.
Но тогда d
=
·
·|C|=|C|,
следует |C|=|A|·|B|.
◄
Замечания: 1). Известно, что произведение матриц некоммутативно. А результат теоремы такой, что: |AB|= |BA|= |A|·|B|=|B|·|A|.
2). Если умножение квадратных матриц A и B определять правилами: строка–столбец, строка–строка, столбец–строка, столбец–столбец, то во всех случаях получим один результат: |C|=|A|·|B|.
☺☺
Пример 4–15:
Заданы квадратные матрицы:
=
и
=
.
Вычислить произведение матриц, применяя
правила умножения: строка–столбец,
строка–строка,
столбец–строка,
столбец–столбец.
Решение:
1) Вычислим
определители заданных матриц: |
|=–5
и |
|=10.
2) Вычислим матрицу C, применяя различные правила умножения матриц:
A1: Применим правило умножения матрицAиB:строка–столбец.
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.
|
Столбец |
2 |
1 |
1 |
Столбец |
Столбец |
-3 |
-4 |
-5 |
Столбец |
Столбец |
1 |
3 |
2 |
Столбец |
|
|
1 |
2 |
3 |
7 |
|
1 |
2 |
3 |
-26 |
|
1 |
2 |
3 |
13 |
|
|
3 |
4 |
2 |
12 |
|
3 |
4 |
2 |
-35 |
|
3 |
4 |
2 |
19 |
|
|
4 |
5 |
4 |
17 |
|
4 |
5 |
4 |
-52 |
|
4 |
5 |
4 |
27 |
Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.
A2: Применим правило умножения матрицAиB:строка–строка.
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.
|
Строка |
2 |
-3 |
1 |
Столбец |
Строка |
1 |
-4 |
3 |
Столбец |
Строка |
1 |
-5 |
2 |
Столбец |
|
|
1 |
2 |
3 |
-1 |
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
-3 |
|
|
3 |
4 |
2 |
-4 |
|
3 |
4 |
2 |
-7 |
|
3 |
4 |
2 |
-13 |
|
|
4 |
5 |
4 |
-3 |
|
4 |
5 |
4 |
-4 |
|
4 |
5 |
4 |
-13 |
Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.
A3: Применим правило умножения матрицAиB:столбец–строка.
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.
|
Строка |
2 |
-3 |
1 |
Столбец |
Строка |
1 |
-4 |
3 |
Столбец |
Строка |
1 |
-5 |
2 |
Столбец |
|
|
1 |
2 |
3 |
-3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
|
1 |
2 |
3 |
-6 |
|
|
3 |
4 |
2 |
-3 |
|
3 |
4 |
2 |
1 |
|
3 |
4 |
2 |
-8 |
|
|
4 |
5 |
4 |
4 |
|
4 |
5 |
4 |
7 |
|
4 |
5 |
4 |
1 |
Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.
A4: Применим правило умножения матрицAиB:столбец–столбец.
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.
|
Столбец |
2 |
1 |
1 |
Столбец |
Столбец |
-3 |
-4 |
-5 |
Столбец |
Столбец |
1 |
3 |
2 |
Столбец |
|
|
1 |
2 |
3 |
9 |
|
1 |
2 |
3 |
-35 |
|
1 |
2 |
3 |
18 |
|
|
3 |
4 |
2 |
13 |
|
3 |
4 |
2 |
-47 |
|
3 |
4 |
2 |
24 |
|
|
4 |
5 |
4 |
12 |
|
4 |
5 |
4 |
-37 |
|
4 |
5 |
4 |
17 |
Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.
3) Сравнивая полученные результаты, имеем: для всех рассмотренных правила умножения матриц: |C|=–50.
Ответ: для всех рассмотренных правила умножения матриц: |C|=–50.
☻