§ 4. Теорема умножения определителей.

Из определения умножения матриц следует, что для квадратных матриц и произведение ·= – квадратная матрица. Так как каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определитель, возникает вопрос: может ли определитель || как-то зависеть от определителей || и ||? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема: (4.2)

Определитель произведения нескольких матриц n-го порядка равен произведе­нию определителей этих матриц.

►Учитывая свойство ассоциативности произведения нескольких матриц, ограничимся доказа­тельством теоремы для произведения двух матриц: A·B=C. Для доказательства утверждения построим вспомогательный определитель d: его размеры (2, 2).

a11

a12

…

a1n

0

0

…

0

a11

a12

…

a1n

c11

c12

…

c1n

a21

a22

…

a2n

0

0

…

0

a21

a22

…

a2n

c21

c22

…

c2n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

an1

an2

…

ann

0

0

…

0

→

an1

an2

…

ann

cn1

cn2

…

cnn

-1

0

…

0

b11

b12

…

b1n

-1

0

…

0

0

0

…

0

0

-1

…

0

b21

b22

…

b2n

0

-1

…

0

0

0

…

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

0

0

…

-1

bn1

bn2

…

bnn

0

0

…

-1

0

0

…

0

Применим теорему Лапласа к исходной записи определителя: воспользуемся разложением определителя по первым строкам. Так как только один минор порядка не равен нулю, то получаем равенство: d=|A|·|B|.

Теперь пре­образуем исходный определитель так, чтобы его величина не изменилась, а форма записи обнаружила бы определитель C. Воспользуемся таблицей умножений:

Столбец

b11

b21

…

bn1

Столбец

Столбец

b12

b22

…

bn2

Столбец

Столбец

b1n

b2n

…

bnn

Столбец

a11

a11

…

a1n

c11

a11

a11

…

a1n

c12

a11

a11

…

a1n

c1n

a21

a22

…

a2n

c21

a21

a22

…

a2n

c22

a21

a22

…

a2n

c2n

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

an1

an2

…

ann

cn1

an1

an2

…

ann

cn2

an1

an2

…

ann

cnn

▫ столбцы 1÷ определителя d умножаем, соответственно на элементы столбца , , …, , определителя |B|;

▫ прибавим получившиеся линейные комбинации по каждой строке определителя d к его (+1)-столбцу → (+1)-й столбец стал: c₁₁, c₂₁, … , c_n1, 0, 0, … , 0;

▫ столбцы 1÷ определителя d умножаем, соответственно на элементы столбца , , …, , определителя |B|;

▫ прибавим получившиеся линейные комбинации по каждой строке определителя d к его (+2)-столбцу → (+2)-столбец стал: c₁₂, c₂₂, … , c_n2, 0, 0, … , 0;

▫ столбцы 1÷ определителя d умножаем, соответственно на элементы столбца , , …, , определителя |B|;

▫ прибавим получившиеся линейные комбинации по каждой строке определителя d к его (+)-столбцу → (+)-й столбец стал: c_1n, c_2n, … , c_nn, 0, 0, … , 0;

В результате выполненных преобразований величина исходного определителя не изменилась, но нам удалось в определителе d выделить минор, элементы которого равны элементам матрицы C. Одновременно минор, на месте которого находились элементы матрицы B, замещён ну­лями, а нулей – элементами матрицы C.

Применим теорему Лапласа к преобразованной записи определителя: воспользуемся разложением определителя по первым строкам. Так как только один минор порядка не равен нулю, то получаем равенство: d=··|C|, где S_M =(+1)+(+2)+…+(+)+ 1+2+ … + = ·+(+1)=2²+. Но тогда d =··|C|=|C|, следует |C|=|A|·|B|. ◄

Замечания: 1). Известно, что произведение матриц некоммутативно. А результат теоремы та­кой, что: |AB|= |BA|= |A|·|B|=|B|·|A|.

2). Если умножение квадратных матриц A и B определять правилами: строка–столбец, строка–строка, столбец–строка, столбец–столбец, то во всех случаях получим один результат: |C|=|A|·|B|.

☺☺

Пример 4–15: Заданы квадратные матрицы: = и =. Вычислить произведение матриц, применяя правила умножения: строка–столбец, строка–строка, столбец–строка, столбец–столбец.

Решение:

1) Вычислим определители заданных матриц: ||=–5 и ||=10.

2) Вычислим матрицу C, применяя различные правила умножения матриц:

A¹: Применим правило умножения матрицAиB:строка–столбец.

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.

Столбец	2	1	1	Столбец	Столбец	-3	-4	-5	Столбец	Столбец	1	3	2	Столбец
	1	2	3	7		1	2	3	-26		1	2	3	13
	3	4	2	12		3	4	2	-35		3	4	2	19
	4	5	4	17		4	5	4	-52		4	5	4	27

Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.

A²: Применим правило умножения матрицAиB:строка–строка.

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.

Строка	2	-3	1	Столбец	Строка	1	-4	3	Столбец	Строка	1	-5	2	Столбец
	1	2	3	-1		1	2	3	2		1	2	3	-3
	3	4	2	-4		3	4	2	-7		3	4	2	-13
	4	5	4	-3		4	5	4	-4		4	5	4	-13

Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.

A³: Применим правило умножения матрицAиB:столбец–строка.

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.

Строка	2	-3	1	Столбец	Строка	1	-4	3	Столбец	Строка	1	-5	2	Столбец
	1	2	3	-3		1	2	3	1		1	2	3	-6
	3	4	2	-3		3	4	2	1		3	4	2	-8
	4	5	4	4		4	5	4	7		4	5	4	1

Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.

A⁴: Применим правило умножения матрицAиB:столбец–столбец.

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.

Столбец	2	1	1	Столбец	Столбец	-3	-4	-5	Столбец	Столбец	1	3	2	Столбец
	1	2	3	9		1	2	3	-35		1	2	3	18
	3	4	2	13		3	4	2	-47		3	4	2	24
	4	5	4	12		4	5	4	-37		4	5	4	17

Из таблицы видим ответ. Вычислим определитель: |C|=–50.

3) Сравнивая полученные результаты, имеем: для всех рассмотренных правила умножения матриц: |C|=–50.

Ответ: для всех рассмотренных правила умножения матриц: |C|=–50.

☻