§ 3. Умножение матрицы на матрицу.
Матрица
определена как прямоугольная
таблица,
геометрически – это прямоугольник с
размерами
и
.
Две матрицы – два прямоугольника:
с размерами
и
,
с размерами
и
.
При рассмотрении операции сложения
матриц было обнаружено требование по
согласованию размеров прямоугольников:
=
,
=
.
Это требование обеспечивает взаимодействие
матриц в системах векторов:
=
-
- …-
– цепочка строк,
или:
=
-
- …-
– цепочка столбцов,
причём,
если матрица
представлена в схеме
,
то и матрица
должна быть представлена в этой же
схеме. Но, главное: матрицы взаимодействуют
группами элементов – векторами!
Если
определить операцию умножения матриц
в виде:
·
=
,
то возникает вопрос: сколько строк и
столбцов имеет матрица
?
Это определило всего две возможные
схемы взаимодействия матриц при их
перемножении:
1*: строка левой матрицы ↔ столбец правой матрицы,
2*: столбец левой матрицы ↔ строка правой матрицы.
Для
схемы 1*:
в матрице
строк столько, сколько у матрицы
,
столбцов столько, сколько у матрицы
.
Для схемы 2*:
в матрице
строк столько, сколько у матрицы
,
столбцов столько, сколько у матрицы
.
В практике закрепилось использование схемы 1*, которую сокращённо называют правилом: строка – столбец.
|
Определение: (4.3) |
Произведением
матриц
|
и
является матрица
,
элементы которой определяются
соотношением:
,
для
всех
,
,
то
есть применяется правило строка
– столбец.
Замечание: Из
определения произведения матриц следует:
элемент
равен скалярному произведению строки-
матрицы
на столбец-
матрицы
.
Свойства операции умножения матрицы на матрицу:
1*.
≠
– не переместительна
(не коммутативна);
2*.
=
=
–
сочетательная
(ассоциативная).
3*.
=
+
–
распределительное (дистрибутивное).
Замечание: следует
иметь в виду: в свойстве1*в общем случае может быть так, что матрица
существует, а матрица
не существует!
В связи
с введением операции произведения
матриц возникает вопрос: как нужно
выполнить произведение матриц
и
,
чтобы получилась матрица, транспонированная
по отношению к матрице
.
Если обозначить транспонированные
матрицы как:
,
и
,
то верна следующая теорема.
|
Теорема: (4.1) |
Матрица,
полученная транспонированием
произведения
|
,
равна
.
►1)
Представим произведение матриц:
в виде схемы вычисления элемента 
матрицы
:
-
А
В
C
♥
i
♦
♦
♦
♦
♦
♦
♥
☻
i
♥
♥
♥
♥
j
j
2).
Учитывая определение транспонирования
матрицы, изобразим также равенство
=
в виде аналогичной схемы:
-
В′
А′
C′
♦
♦
♦
j
♥
♥
♥
♥
♥
♥
♦
☻
j
♦
♦
i
i
Видим: элемент
матрицы
равен элементу
матрицы С.◄
Замечание: Определение транспонирования матрицы и доказанная теорема о транспонировании произведения матриц будут неоднократно использоваться при рассмотрении определителей и матриц линейных преобразований в векторных пространствах.
☺☺
Пример 4–05:
Вычислить произведение матриц: C
=AB=
.
Решение:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц AиB:
▫ для вычисления столбца-1 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-1 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-2 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-2 матрицыB;
-
Столбец
9
6
Столбец
Столбец
-6
-4
Столбец
2
-3
0
2
-3
0
4
-6
0
4
-6
0
Использование
технологического шаблона в виде таблицы
позволит отработать алгоритм вычисления
произведения матриц и защитить от ошибок
в вычислениях. Проследим вычисление
столбца-1 матрицы C:
=
,
=
.
Ответ: C=
.
Пример 4–06:
Вычислить
произведение матриц: C=AB=
.
Решение:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц AиB:
▫ для вычисления столбца-1 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-1 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-2 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-2 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-3 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-3 матрицыB;
|
Столбец |
3 |
4 |
9 |
Столбец |
Столбец |
2 |
-1 |
6 |
Столбец |
Столбец |
5 |
3 |
5 |
Столбец |
|
|
5 |
8 |
-4 |
11 |
|
5 |
8 |
-4 |
-22 |
|
5 |
8 |
-4 |
29 |
|
|
6 |
9 |
-5 |
9 |
|
6 |
9 |
-5 |
-27 |
|
6 |
9 |
-5 |
32 |
|
|
4 |
7 |
-3 |
13 |
|
4 |
7 |
-3 |
-17 |
|
4 |
7 |
-3 |
26 |
Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C:
=
,
=
,
=
.
Ответ:
=
.
Пример
4–07:Вычислить
произведение матриц: C=AB=
.
Решение:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц AиB:
▫ для вычисления столбца-1 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-1 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-2 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-2 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-3 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-3 матрицыB;
▫ для вычисления столбца-4 матрицы Cнад матрицей размещаем столбец-4 матрицыB.
-
Столбец
2
-1
16
8
Столбец
Столбец
2
-5
24
16
Столбец
5
2
-2
3
0
5
2
-2
3
0
6
4
-3
5
0
6
4
-3
5
0
9
2
-3
4
0
9
2
-3
4
0
7
6
-4
7
0
7
6
-4
7
0
(продолжение таблицы).
-
Столбец
2
3
8
0
Столбец
Столбец
2
11
-8
-16
Столбец
5
2
-2
3
0
5
2
-2
3
0
6
4
-3
5
0
6
4
-3
5
0
9
2
-3
4
0
9
2
-3
4
0
7
6
-4
7
0
7
6
-4
7
0
Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C:
=
,
=
,
=
,
=
.
Ответ: C=
.
Пример
4–08:Вычислить: C=
,
еслиA
=
.
Решение:
1) Запишем цепочку строк-векторов матрицы A:
(
,0,0,...,0,...,0),
(0,
,0,...,0,...,0),
... , (0,0,0,...,
,
...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ...,
),
и умножим
её (скалярно) на столбец-
матрицы A:
(0,0, 0, ... ,
,
...,0). Легко видеть, что в матрице C=
=
столбец-
примет вид (0,0, 0, ... ,
,
...,0). Это значит, что цепочка строк-векторов
матрицы C
=
примет вид:
(
,0,0,...,0,...,0),
(0,
,0,...,0,...,0),
... , (0,0,0,...,
,
...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ...,
).
2) Если
теперь вычислить C=
=
,
то цепочка строк-векторов матрицы C
=
примет вид:
(
,0,0,...,0,...,0),
(0,
,0,...,0,...,0),
... , (0,0,0,...,
,
...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ...,
).
3) Применяя
метод математической индукции, для
матрицы C
=
можем записать:
(
,0,0,...,0,...,0),
(0,
,0,...,0,...,0),
... , (0,0,0,...,
,
...,0), ... , (0,0, 0, ... ,0, ...,
).
Ответ: C=
.
Пример
4–09:
Доказать, что если матрицыAиB– квадратные,
причём
≠
,
то всегда справедливы утверждения: а)
;
б)
.
Решение:
1) Учитывая
распределительное свойство умножения
матриц:
=
+
,
запишем:
.
2)
Учитывая распределительное свойство
умножения матриц:
=
+
,
запишем:
.
Ответ: доказано.
Пример
4–10:
Найти все матрицы, перестановочные с
матрицей:
=
.
Решение:
1) Пусть
имеем матрицу: 
,
такую, что
=
.
Учитывая правило умножения матриц,
легко заметить, что умножение этих
матриц возможно только в случае, если
матрица 
-
квадратная, причём той же размерности,
что матрица 
.
2) Примем:
=
,
и запишем выражение 
=
:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C=AB.
|
Столбец |
a |
d |
g |
Столбец |
Столбец |
b |
e |
h |
Столбец |
Столбец |
c |
f |
k |
Столбец |
|
|
3 |
1 |
0 |
3a +d |
|
3 |
1 |
0 |
3b +e |
|
3 |
1 |
0 |
3c +f |
|
|
0 |
3 |
1 |
3d +g |
|
0 |
3 |
1 |
3e +h |
|
0 |
3 |
1 |
3f +k |
|
|
0 |
0 |
3 |
3g |
|
0 |
0 |
3 |
3h |
|
0 |
0 |
3 |
3k |
Из таблицы видим ответ.
3)
Запишем теперь выражение 
=
:
В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D=BA.
|
Столбец |
3 |
0 |
0 |
Столбец |
Столбец |
1 |
3 |
0 |
Столбец |
Столбец |
0 |
1 |
3 |
Столбец |
|
|
a |
b |
c |
3a |
|
a |
b |
c |
a+ 3b |
|
a |
b |
c |
b+ 3c |
|
|
d |
e |
f |
3d |
|
d |
e |
f |
d+ 3e |
|
d |
e |
f |
e+ 3f |
|
|
g |
h |
k |
3g |
|
g |
h |
k |
g+ 3h |
|
g |
h |
k |
h+ 3k |
Из таблицы видим ответ.
4)
Воспользуемся равенством: 
→
получаем уравнения для вычисления
матрицы 
:
3a +d =3a → d =0; 3d +g =3d → g =0; 3b +e = a+ 3b → e = a; 3e +h = d+ 3e → h =0;
3h = g+ 3h → h = h; 3c +f = b+ 3c → f = b; 3f +k = e+ 3f → k = e; 3k = h+ 3k → h =0.
5)
Используя полученные уравнения, можем
записать: 
=
.
Ответ:
=
.
Пример
4–11:Доказать, что
матрица: 
=
удовлетворяет уравнению:
–(a+d)
x+ad–
=0.
Решение:
Замечание: рассматриваемый
пример интересен тем, что он демонстрирует
участие в матричном выражениискалярнойматрицы:
=
.
1)
Вычислим:
=
=
;
=
.
2)
Подставим в уравнение матрицу
:
,
или:
–
+
=
.
Ответ: доказано.
Пример
4–12:Вычислить
произведение матриц: A
= (4 0 -2 3 1) и B
=
:
а)AB;
б) BA.
Замечание: рассматриваемый
пример интересен тем, что он предельновыразительно демонстрирует
неравенство:
.
Решение:
а)
= (4·3 + 0·1 + (-2)·(-1) + 3·5 + 1·2) = (31) – матрица
с одним элементом;
б)
=
=
.
Ответ: матрицы в тексте.
☻