Глава 4. Алгебра матриц
В Главе
1 матрица определена как прямоугольная
таблица,
в которой строк
и столбцов
.
В частном случае это может быть и так:
,
– матрица-строка,
– матрица-столбец.
Транспонированием
матрица-столбец превращается в
матрицу-строку, и наоборот. Обращает на
себя внимание совпадение записей
и
с записями векторов:
-
одномерного,
-двумерного,
-трёхмерного
в геометрии.
С целью
максимального использования геометрических
образов в алгебре будем считать, что
строки –
-мерные
векторы, а столбцы –
-мерные
векторы. Вновь применим обобщение,
которое будет использовано в алгебре
матриц:
=
-
- …-
,
то есть цепочка строк одна за другой;
=
-
- …-
.
то есть
цепочка столбцов один за другим, причём:
.
Операции с матрицами – алгебра матриц – включают линейные операции и нелинейные. К линейным операциям относят: сложение матриц и умножение матрицы на число. Нелинейными являются: умножение матрицы на матрицу, вычисление и применение обратной матрицы.
Алгебра матриц широко используется во многих разделах высшей алгебры, а значит, и в практической деятельности специалистов.
§ 1. Сложение матриц.
Пусть
имеем две матрицы:
и
,
элементами которых являются элементы
числового поля. Толкование матрицы как
вектора подсказывает, что сложение
матриц возможно только в случае их
одинаковой
размерности:
у каждой из них число строк одинаковое,
и число столбцов одинаковое! Если
рассматривать матрицы как прямоугольники,
то они должны быть совмещаемы
параллельным переносом!
|
Определение: (4.1) |
Суммой
матриц
|
и
является матрица
,
элементы которой определяются
соотношением:
,
для
всех
,
.Замечания:1). Точно так определяется сумма векторов, заданных в координатной форме.
2). Становятся очевидными требования к размерности участвующих в операции матриц.
Свойства операции сложения матриц:
1*.
+
=
+
– переместительное (коммутативное);
2*.
(
+
)+
=
+(
+
)
=
+
+
–
сочетательное (ассоциативное).
Оба свойства легко доказываются в соответствии с определением операции сложения матриц, с учетом свойств операции сложения для чисел.
☺☺
Пример 4–01:
Пусть заданы матрицы:
=
и
=
.
Вычислить:
=
+
.
Решение:
1). Так
как матрицы
и
имеют одинаковую размерность, то операция
сложения заданных матриц выполнима.
2).
Вычислим:
=
+
=
+
=
=
.
Ответ:
=
.
Пример 4–02:
Пусть заданы матрицы:
=
и
=
.
Вычислить:
=
+
.
Решение:
1). Матрицы
и
имеют разные размерности: (3,2) и (2,3).
2). Операция сложения заданных матриц невыполнима.
Ответ: операция сложения заданных матриц невыполнима.
Пример
4–03:Вычислить сумму
матриц: 
,
.
Решение:
1). Так
как матрицы
и
имеют одинаковую размерность, то операция
сложения заданных матриц выполнима.
2).
Вычислим:
=
+
=
+
=
=
.
Ответ:
=
.
☻
§ 2. Умножение матрицы на число.
Пусть
имеем матрицу
,
элементами которой являются элементы
числового поля, и число
,
принадлежащее этому же числовому полю.
|
Определение: (4.2) |
Произведением
матрицы
|
на число
является матрица
,
элементы которой определяются
соотношением:
,
для
всех
,
.Замечания: 1) Точно так определяется произведение вектора, заданного в координатной форме, на вещественное число.
2) Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за скобку матрицы.
Свойства операции умножения матрицы на число:
1*.
∙
=
∙
– переместительное
(коммутативное);
2*.
∙(
+
)
=
∙
+
∙
–
распределительное: для матриц;
3*.
(
+
)∙
=
∙
+
∙
–
распределительное: для чисел;
4*.
∙(
∙
)
= (
∙
)∙
=
∙
∙
–
сочетательное
(ассоциативное)
для чисел;
5*.
(λ∙
)∙
=
(λ∙
)=λ(
∙
) –
коммутативность числа в произведении
матриц;
6*.
1∙
=
–
умножение матрицы на единицу.
Указанные свойства легко доказываются в соответствии с определением операции умножения матрицы на число, с учетом свойств операции произведения чисел.
☺☺
Пример 4–04:
Вычислить
линейную комбинацию:
,если
=
,
=
.
Решение:
1). Так
как матрицы
и
имеют одинаковую размерность, то операция
выполнима.
2).
Применим правило умножения матрицы на
число: 3
=
;
2
=
.
2).
Применим правило сложения матриц: 
=
.
Ответ:
=
.
☻