2). Зная рисунки окружности, эллипса, гиперболы и параболы, легко догадаться, что для заданного конуса именно угол определяет, какая из кривых получается в коническом сечении!

§ 3. Приведение общего уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Рассмотренное ранее частное уравнение линии 2-го порядка: имеет тот недостаток, что переменные входят в него несимметрично. Это определяет только частные случаи расположения кривых на плоскости .

Запишем общее уравнение линии 2-го порядка:

. (1)

Воспользуемся преобразованием системы координат вращением на некоторый угол вокруг начала координат – точки . Известно, что между координатами старой системы координат и новой системы существует зависимость:

(2)

Если подставить значения из (2), то вновь получим общее уравнение линий второго порядка, но уже с использованием переменных :

, (3)

где ;

;

;

;

;

,

причем коэффициенты не могут обратиться в нуль одновременно: линия 2-го порядка не может превратиться на плоскости в прямую линию применением линейного преобразования-вращения (2).

Угол можно подобрать так, чтобы коэффициент при слагаемом, содержащем произведение переменных , стал нулем. В таком случае получим выражение:

, (4)

Пусть угол преобразования такой, что =0, то есть: . (5)

Из выражения (5) следует, что искомый угол существует при любых значениях коэффициентов a₁₁, a₁₂, a₂₂. Вычисление новых значений коэффициентов может проводиться непосредственно по полученным формулам, но существует и более простой способ. Перепишем условие =0 в виде: ==, (6)

или в виде системы уравнений (S): , которая имеет решение при условии: =0, или –+=0 – характеристическое уравнение.

Так как искомый угол, в соответствии с (5) всегда существует, то характеристическое уравнение всегда имеет действительные решения! Используя теорему Вьета, отметим: и .

Случай-А. Пусть . Решение системы (S) определяет два главных направления относительно линии второго порядка:

и , (7)

для которых: = –1. Это значит, что главные направления взаимно перпендикулярны.

Случай-В. Пусть . В этом случае любое направление является главным относительно линии второго порядка.

Итак, видим, что относительно ююбой линии второго порядка всегда существуют два взаимно перпендикулярных главных направления и .

Примем за направление оси , а за направление оси . Покажем, что относительно системы координат коэффициент =0, а коэффициенты и равны корням и характеристического равнения.

Пусть . Воспользуемся равенствами (S): для вычисления: .

Если учесть: и , то можем записать: =0.

Вычислим коэффициент . Если учесть: и , то можем записать: =.

Если воспользоваться выражениями (3) и сложить равенства для коэффициентов и , то легко получить: +=+.

Но из характеристического уравнения имеем: +=+. Следует: +=+. Так как доказано: =, то =.

Если за направление оси принять , а принять за направление оси , то можно также получить: =, = и =0.

Пусть =. Из тригонометрии: = и =. В нашем случае будем использовать пары значений:

= и =; (8)

= и =. (9)

Используя выражения (8), получаем координаты единичного вектора оси . Если использовать (9), то получим противоположный вектор.

Величины и , вычисленные по формулам (8) или (9), используются при вычислении коэффициентов: и .

Итак, общее уравнение линии 2-го порядка после поворота системы координат имеет вид:

, (10)

☺☺

Пример 5–27: Упростить уравнение: , так чтобы в записи преобразованного уравнения не было слагаемого с произведением переменных.

Решение:

1). Найдём корни характеристического уравнения: –+=0, то есть уравнения: –+ =  =9, =–1.

2). Определим главное направление: ==–2, а также величины ==–, ==.

3). Вычислим коэффициенты уравнения заданной линии в новой системе координат: ==9, ==–1, =0, =–, =, где учтено: =–1, =4. В этом случае также имеем: ==8.

4). Преобразованное уравнение: . Применяя выделение полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, полученное уравнение может быть приведено к каноническому уравнению гиперболы.

Ответ: получено уравнение: .

☻

Для удобства дальнейшего использования выражения (10) перепишем его, убрав все используемые штрихи, то есть будем считать, что сразу имеем выражение:

. (11)

Выражение (11) можно подвергнуть дальнейшим исследованиям и упрощениям:

1). Пусть . Применяя выделение преобразование полного квадрата для переменных , затем преобразование координат параллельный перенос, несложно привести выражение (11) к виду:

, или , (12)

которое называют: приведенное уравнение линии первого типа: эллипс, гипербола.

Коэффициенты , , могут быть любые действительные числа (но ) и потому возможны случаи:

Таблица 1

	s1	s2		Каноническое уравнение линии	Название линии
1	±	±			Эллипс
2	±	±	±		Мнимый эллипс
3	±	±	0		Пара мнимых пересек. прямых с общей действительной точкой
4	±		+ или –		Гипербола
5	±		0		Пара пересекающихся прямых

Замечание: указанные в табл.1 мнимые линии не могут быть представлены в виде рисунка, но точка их пересечения – точка O!

2). Пусть один из коэффициентов или равен нулю (пусть это ), но . В этом случае (11) принимает вид:

, (13)

которое называют приведенное уравнение линии второго типа: парабола.

3). Пусть s₁ = 0, и . В этом случае (11) принимает вид:

, (14)

которое называют приведенное уравнение линии третьего типа: пара прямых.

Замечание: Среди выражений (12), (13), (14) могут быть невозможные равенства (положительное число равно отрицательному числу!). В таких случаях говорят о мнимых линиях (мнимый эллипс, мнимая гипербола и т.п.).

☺☺

Пример 5–28: Упростить уравнение: , привести к канонической форме кривой второго порядка и построить график.

Решение:

1). Найдём корни характеристического уравнения: –+=0, то есть уравнения: –+ =  =9, =–1.

2). Определим главное направление: ==–, а также величины ==–, ==. Видим: угол , значит ось , принадлежит 4-й четверти. Ось дополняет правую систему координат.

3). Вычислим коэффициенты уравнения заданной линии в новой системе координат:

==9, ==–1, =0,

=–3, =–2,

где учтено: =–8, =–1. Также запишем:

==–51.

4). Преобразованное уравнение:

.

Так как в нашем случае: , то имеем линию первого типа.

5). Применяя выделение полного квадрата для переменных x, y, получим новую запись той же линии в системе координат :

9–=0.

6). Применяя преобразование координат параллельный перенос: =; y+2=,

получаем уравнение той же линии в системе координат OXY: , или в канонической форме: .

7). Параллельный перенос начала координат в точку O направление осей и не меняется.

Ответ: преобразованием координат получено: , рисунок представлен.

Пример 5–29: Упростить уравнение: , привести к канонической форме кривой второго порядка и построить график.

Решение:

1). Найдём корни характеристического уравнения: –+=0, то есть уравнения: –+ =  =0, =5.

2). Определим главное направление: ==2, а также: ==, ==. Видим: угол , значит ось , принадлежит 1-й четверти. Ось дополняет правую систему координат.

3). Вычислим коэффициенты уравнения заданной линии в новой системе координат:

==0, ==5, =0,

=–3,

=–,

где учтено: =–1, =–7. Также запиш­ем:

==7.

4). Преобразованное уравнение:

.

Так как =0 и 0, то имеем линию второго типа – парабола.

5). Применяя выделение полного квадрата для переменных x, y, получим новую запись той же линии в системе координат :

5–6=0.

6). Применяя преобразование координат параллельный перенос =; =,

получаем уравнение той же линии в системе координат OXY: , или в канонической форме: .

Ответ: преобразованием координат получено: , рисунок представлен.

Пример 5–30: Упростить уравнение: , привести к канонической форме кривой второго порядка и построить график.

Решение:

1). Найдём корни характеристического уравнения: –+=0, то есть уравнения: –+ =  =0, =10.

2). Определим главное направление: ==, а также: ==, ==. Видим: угол , значит ось , принадлежит 1-й четверти. Ось дополняет правую систему координат.

3). Вычислим коэффициенты уравнения заданной линии в новой системе координат:

==0, ==10, =0, =0,

=, где учтено: =–1, =3. Также запиш­ем: ==–3.

4). Преобразованное уравнение: . Так как =0, 0 и =0, то имеем линию третьего типа.

5). Применяя выделение полного квадрата для переменных x, y, получим новую запись той же линии в системе координат :

10.

6). Применяя преобразование координат параллельный перенос =; =,

получаем уравнение той же линии в системе координат OXY: , или в канонической форме: – пара параллельных прямых.

7). Параллельный перенос начала координат в точку O направление осей и не меняется.

Ответ: преобразованием координат получено: , рисунок представлен.

Пример 5–31: Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).

Решение:

1). Из заданного уравнения следует: действительная ось гиперболы совпадает с осью координат .

2). В соответствии с уравнением имеем отрезки =4 и =5. Отметим точки (,0) и (0, ) на осях координат системы . Координаты фокусов можно было бы вычислить по формуле: =+.

3). Для построения фокусов при помощи циркуля достаточно снять циркулем длину отрезка между точками (,0) и (0, ). Полученным радиусом из начала координат делаем засечки на оси . Это и есть нужные нам точки фокусов и .

Ответ: для построения фокуса необходимо учесть зависимость .

Пример 5–32: Составить уравнение гиперболы, касающейся прямых : и : при условии, что ее оси совпадают с осями координат.

Решение:

Замечание: в примере не определено, какая из осей координат должна содержать действительную ось гиперболы; для определённости рисунка примем: действительная ось гиперболы принадлежит оси .

1). Пусть прямая касается гиперболы в точке , а прямая в точке .

Так как эти точки принадлежат гиперболе, то: и . Обозначим=, тогда=.

2). Учтем, что угловой коэффициент касательной к гиперболе в точке определяется выражением: ==. Учитывая: = и =, запишем: =. По условию для касательной имеем: =. Тогда получаем уравнение: , которое совместно с уравнением дает систему: Из системы получаем → = и =().

3). Аналогично, учтем, что угловой коэффициент касательной к гиперболе в точке равен: = . По условию для касательной имеем: =. и можно записать равенство: .

4). Учитывая: и , получаем для переменных равенство: , или: .

5). Для переменных получили систему: откуда получаем: =, =.

6). Преобразуем уравнение гиперболы для точки к виду (преобразования вполне очевидны!): . Используя угловые коэффициенты касательных к гиперболе, запишем: или .

7). Тогда уравнение гиперболы: можно записать в виде: или . После несложных преобразований получаем равенство: . Остаётся подставить в него полученные ранее выражения: = и =. Решая квадратное уравнение, получаем равные корни: =.

8). Учитывая = и =, а также: =, получаем: =16; =4.

9). Записываем уравнение гиперболы: .

Замечание: рассмотренный пример подчёркивает важность приобретения навыка (и в психологическом смысле, особенно!) продолжительной внимательной работы: учитывая невысокие волевые качества многих успешно сдавших ЕГЭ, у большинства не хватает психологической выносливости выдержать напряжение длительной работы.

Ответ: каноническое уравнение гиперболы: .

Замечание: пример 8 показывает возможности деформации кривой 2-го порядка для получения необходимых геометрических свойств (учет технических ограничений), что может быть особенно ценно для инженера!

☻