211 Аг: Глава 5-2

☻

Кривые второго порядка в полярных координатах. Вспоминая правило построения полярных координат, можно заметить, что уравнение окружности принимает особенно простой вид в полярных координатах: =. Возникает вопрос: не проявятся ли ценные свойства полярных координат по отношению ко всем кривым второго порядка?

Оказывается, использование понятий директрисы и эксцентриситета позволяет достаточно просто получить уравнения всех кривых второго порядка в полярных координатах. Более того, родственность кривых второго порядка ещё выразительнее подтверждается в полярных координатах формой записи уравнений для этих кривых!

Пусть точка – левый фокус эллипса, или фокус параболы, или правый фокус гиперболы. Пусть прямая – общая директриса всех названных кривых и – эксцентриситет, постоянное число. Тогда нетрудно отметить свой­ства для каждой из кривых:

1). Для эллипса ;

2). Для гиперболы ;

3). Для параболы .

Построим полярную систему координат. Примем точку за полюс полярной системы координат, то есть =. Пусть точка есть пересечение директрисы с прямой , проходящей через точку и перпендикулярной директрисе. Тогда луч, дополнительный к лучу , примем за полярную ось.

Пусть – точка пересечения с данной линией перпендикуляра к названной прямой . Обозначим:

=,=, -полярный угол.

По определению кривых второго порядка необходимо:

==.

Выразим величины, участвующие в последнем выражении через величины , и :

= → ===+, =. (30)

Замечание: в выражении (30) знак применяется для точек, которые определяются при значениях >: и далее успешно отрабатывает .

Используя (30), можем записать: = → = → =. (31)

Уравнение (31) определяет кривые второго порядка в соответствии со значениями эксцентриситета:

а). < 1 → эллипс: получаются все его точки, если угол будет изменяться от 0 до 2;

б). = 1 → парабола, угол будет изменяться от 0 до 2;

в). > 1 → гипербола.

Для гиперболы уточним, при каких значениях получаются её правая и левая ветви.

Если 2 – угол между асимптотами, внутри которого располагается гипербола, то = = и ==. Если рассматривать правую ветвь гиперболы, то ей соответствует:

<< → 1–>0 → =>0.

Левая ветвь гиперболы может быть получена при изменении полярного угла в интервале: –<<. В этом случае >, то есть >1, или 1–<0.

Последнее выражение означает, что <0. При построении полярных координат на плоскости было принято, что 0. Для полного решения поставленной задачи: получить общее уравнение кривой второго порядка в полярных координатах приняли дополнительное соглашение: применять обобщённые полярные координаты, где определено использование величины в случае, когда <0.

Если рассматривать обычные полярные координаты, то левую ветвь гиперболы можно получить, если изменять угол  в интервале: <<. В этом случае: >0 и , где =;

==––.

В последней записи учтено равенство: == (было получено выше).

Теперь можем записать: равносильно выражению: >0 при значениях полярного угла: <<. Это значит, что левая ветвь гиперболы определяется выражением: , если полярный угол изменяется в диапазоне: <<.

Теперь важно показать, что если выражение (31) использовать для диапазона углов: –<<, то получится то же значение , что и в случае диапазона: <<.

В соответствии с рисунком выберем некоторый угол . и соответствующий ему угол . В этом случае выражение <0, так как >=. Значение фокального расстояния: определяет точку , причём эта точка отмечается на луче, дополнительном к лучу, определяемому углом (обобщённые полярные координаты).

Кроме того: ==, значит: . Так как лучи, определяемые углами и , являются дополнительными, то =. Это значит, что используя обобщённые координаты, можно и гиперболу определять только выражением (31), применяя диапазон полярного угла: .

Для эллипса и гиперболы параметр можно выразить через полуоси и . Для эллипса точка имеет координаты: . Используя уравнение эллипса: и учитывая соотношение: , получаем: p =. Так же просто получаем для гиперболы: =. Заметим, что уравнение параболы: в своей записи использует параметр явно!

Уравнение успешно использовалось в механике и астрономии. Так Кеплер (1571-1630), наблюдая движение Марса, установил, что планета Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. А через сто лет Ньютон (1642-1727), используя законы Кеплера, получил закон всемирного тяготения!

☺☺

Пример 5–25: Установить, какую кривую определяет уравнение: и представить её каноническое выражение.

Решение:

1). Представим заданное выражение в виде: . Это значит: ==<1  задан эллипс.

2). Известно также: ==, и выражение для эллипса . Имеем систему уравнений:

откуда: =13, =5  =12.

3). Каноническое уравнение эллипса принимает вид: .

Ответ: .

Пример 5–26: Дано уравнение гиперболы: . Составить её полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси OX и полюс находится в правом фокусе.

Решение:

1). Полярное уравнение кривой второго порядка имеет вид: . Из заданного уравнения: =4, =3, =5, ε==>1.

2). Известно p==, тогда полярное уравнение заданной гиперболы: .

Ответ: .

☻

Конические сечения. Кривые 2-го порядка можно рассматривать как плоские сечения конической поверхности.

Эллипс: линия пересечения конической поверхности и плоскости, проходящей под некоторым углом < к оси конической поверхности. При =0 получаем частный случай эллипса – окружность!

Гипербола: линия пересечения конической поверхности и плоскости, проходящей под некоторым углом << к оси конической поверхности.

Парабола: линия пересечения конической поверхности и плоскости, проходящей под углом = к оси конической поверхности.

Замечание: 1). При рассмотрении поверхностей 2-го порядка мы увидим, что коническая поверхность определяется выражением, куда входят переменные x,y,z во второй степени. Так как в выражение плоскости переменные x,y,z входят в первой степени, то линия пересечения конической поверхности и плоскости (получается исключением одной из переменных!) – есть кривая второго порядка!