§ 9. Обобщающие примеры по теме: «Поверхности 2-го порядка».

Набор обобщающих Примеров соответствует требованиям «Семестрового плана» при изучении темы: «Поверхности 2-го порядка». Эти Примеры предназначены закрепить навыки применения общих алгоритмов решений, установленных в поясняющих Примерах.

☺ ☻ ☺

Пример 1–1153: Установить, что плоскость–2 = 0 пересекает эллипсоидпо эллипсу. Найти его полуоси и вершины.

Решение:

1). Так как в плоскости сечения =2, то в этой плоскости получаем линию: .

2). Полученная линия – эллипс, его полуоси: большая =3, малая =. Вершины имеют координаты: (2,3,), где вычисляется из уравнения: → =0;

(2, –3,), где вычисляется из уравнения: → =0;

(2, ,), где вычисляется из уравнения: → =0;

(2, ,–), где вычисляется из уравнения: → =0;

Ответ: полуоси: =3,=; вершины:(2,3,0),(2,–3,0),(2,0,),(2,0,–).

Пример 2–1157: Установить, какая линия является сечением эллипсоида:плоскостью:= 0. Найти центр линии.

Решение:

Замечание: данный пример можно отнести к сложным и трудоёмким; дополнительная сложность вызвана ещё и тем, что вариантов решения несколько!

1). При любом способе решения задачи первым действием является нахождение линии пересечения поверхности плоскостью . В нашем случае сделаем так: из уравнения плоскости запишем: , а уравнение эллипсоида запишем в виде:

.

В плоскости сечения получаем линию, проекция которой на плоскость представлена уравнением : . (S)

2). Далее возможны два варианта решения задачи:

▫ применить алгоритм преобразования линии 2-го порядка к канонической форме: вращение системы координат, выделение полного квадрата и параллельный перенос систем координат; из канонического уравнения легко обнаружится и тип линии, и её центр , который, применяя обратные преобразования координат нужно пересчитать в центр – трудоёмко и громоздко;

▫ применить простейшие соображения: так как сечение эллипсоида плоскостью может дать только эллипс, нужно выяснить: а пересекает ли плоскость заданный эллипсоид – первая часть задачи; далее воспользоваться тем свойством, что эллипс имеет центр, и применить правило нахождения диаметров эллипса для заданных хорд – тоже трудоёмко, но проще, чем в первом случае.

3). Имея линию , попробуем пересекать её прямыми линиями, параллельными оси : =. При подстановке значения = в уравнение будем получать квадратное уравнение относительно , обозначим его как =0.

Если уравнение =0 имеет хотя бы один корень, то ответ на первый вопрос задачи получен: плоскость пересекает эллипсоид → в сечении эллипс.

Пусть ==–1. Из уравнения =0 получаем два корня: и . Значения координат и позволяют построить хорду эллипса с концами: (,–1) и (,–1). Найти координаты середины этой хорды не представляет труда: (2,–1).

Пусть ==–. Из уравнения =0 получаем два корня: и . Значения координат и позволяют построить хорду эллипса, концы которой имеют координаты , (,). Найти координаты середины этой хорды также легко: .

4). Теперь построим прямую , проходящую через точки и : . Подставляя в уравнение линии , вычисляем координаты концов диаметра эллипса: . Найти его середину легко: (2,–1), совпадение с точкой случайно (шутка автора!).

5). Так как при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину его проекции, то вычисление координаты точки легко: достаточно подставить значения = 2 и =–1 в уравнение плоскости → =1 → (2,–1,1).

Ответ: эллипс, центр: (2,–1,1).

Замечание: в великолепно разработанной теории кривых и поверхностей 2-го порядка можно было найти готовые формулы для быстрого получения ответов на все поставленные вопросы рассмотренного примера!

Пример 3–1162: Доказать, что эллиптический параболоидимеет одну общую точку с плоскостью:=0.

Решение:

1). Для получения проекции сечения на плоскость из уравнения плоскости выразим и подставим в уравнение параболоида: .

2). Решая полученное уравнение относительно неизвестной , получаем выражение для дискриминанта: =–. Это значит общая точка плоскости и параболоида возможна только при =–2. Это даёт =9.

3). Остаётся воспользоваться уравнением плоскости, откуда =5. Итак, общая точка у плоскости и параболоида единственная: =(9,5,–2) – это точка касания плоскости и поверхности!

Ответ: координаты единственной общей точки: =(9,5,–2).

Пример 4–1175: Доказать, что однополостный гиперболоид: может быть получен вращением гиперболы : вокруг оси и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости .

Решение:

1). Имеем гиперболу . Эта гипербола на рисунке выделена красным цветом: расположена в плоскости . Совершим вращение линии вокруг оси :

и сложим уравнения этой системы: .

Последнее уравнение легко приводится к виду: – однополостный гиперболоид вращения с осью вращения .

2). Представим полученное уравнение поверхности вращения в виде: , и применим равномерное сжатие пространства к плоскости : → поверхность вращения преобразуется в заданный однополостный гиперболоид: .

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример 5–1180: Найти точки пересечения и поверхности однополостного гиперболоида: и прямой линии : .

Решение:

1). Запишем координаты прямой : , , .

2). Подставим эти координаты в уравнение заданной поверхности. Легко получаем: . Корни ==1 – действительные и равные.

3). Получен результат: ==. Применяя результаты исследования взаимного расположения прямой и поверхности, приходим к выводу: единственная общая точка прямой линии и поверхности есть точка касания!

Ответ: точки касания: ==.

Пример 6–1184: Составить уравнения прямолинейных образующих однополосного гиперболоида: , параллельных плоскости : .

Решение:

1). Запишем исходное выражение в виде: , откуда уравнения прямолинейных образующих можно записать в виде:

и (S)

2). Перепишем уравнения (S) образующих для заданной поверхности в виде:

и

3). Так как не задана точка поверхности, через которую должны проходить прямолинейные образующие, необходимо воспользоваться сведениями о том, что образующие и должны быть перпендикулярны плоскости . Нормальный вектор плоскости обозначим как =(6,4,3). Образующие заданы как линии пересечения двух плоскостей и .

Замечание: рисунок используется одинаково для обеих образующих и : плоскости и , а также их нормали, не используют штрихов.

4). Пусть есть линия пересечения плоскостей и . Нормали этих плоскостей обозначим: = и =. Так как векторы , и перпендикулярны одной прямой , то они компланарны. Запишем условие компланарности названных векторов:

=6·4·3·=–2·72·=–2·72·=0.

Если =0, то значение – произвольное число. В этом случае система уравнений для образующей принимает вид: Запишем векторы нормалей плоскостей и : =, =. Вычисляем направляющий вектор прямолинейной образующей : =×=(12,0,–24), или =(1,0,–2). Используя систему уравнений, выберем точку на образующей : (0,3,0). Запишем каноническое уравнение прямолинейной образующей для выделенной пары =.

Рассмотрим случай , то есть . В этом случае система уравнений для образующей принимает вид: Теперь векторы нормалей: =, =. Вычисляем направляющий вектор образующей: =×=(0,–36,48), или =(0,3,–4). Используя систему уравнений, выберем точку на образующей : (–2,0,0). Запишем каноническое уравнение прямолинейной образующей для выделенной пары =.

5). Пусть есть линия пересечения плоскостей и . Нормали этих плоскостей обозначим: = и =. Так как векторы , и перпендикулярны одной прямой , то они компланарны. Запишем условие компланарности названных векторов:=6·4·3·=–2·72·=–2·72·=0.

Если =0, то значение – произвольное число. В этом случае система уравнений для образующей принимает вид: Запишем векторы нормалей плоскостей и : =, =. Вычисляем направляющий вектор прямолинейной образующей : =×=(–12,0,24), или =(1,0,–2). Используя систему уравнений, выберем точку на образующей : (0,–3,0). Запишем каноническое уравнение прямолинейной образующей для выделенной пары =.

Рассмотрим случай . В этом случае система уравнений для образующей принимает вид: Теперь векторы нормалей: =, =. Вычисляем направляющий вектор образующей: =×=(0,–36,48), или =(0,3,–4). Используя систему уравнений, выберем точку на образующей : (2,0,0). Запишем каноническое уравнение прямолинейной образующей для выделенной пары =.

6). Нетрудно заметить, что пары точек (0,3,0), (0,–3,0) и (–2,0,0), (2,0,0) принадлежат горловому эллипсу однополостного гиперболоида и являются диаметрально противоположными точками.

Так как образующие и принадлежат разным семействам, то мы получили иллюстрацию теоремы-1 о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида: прямолинейные образующие различных семейств лежат в одной плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда проходят через диаметрально противоположные точки горлового эллипса!

Ответ: уравнения образующих получены для четырёх точек горлового эллипса:

1) для точки →, 2) для точки→.

3) для точки →, 4) для точки→.

Замечание: Используя полученные уравнения, без особого труда можно получить параметрические уравнения образующих (ведь именно с их помощью была решена рассмотренная задача).

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Как получают поверхности вращения 2-го порядка?

2. Как получают канонические уравнения поверхностей 2-го порядка?

3. Как применяют «метод сечений» для исследования поверхностей 2-го порядка?

4. Что такое «гиперболический параболоид», как получают его уравнение?

5. Мог ли инженер Гарин, используя гиперболоид, плавить руду и добывать золото?

6. Чем примечательна конструкция Останкинской телебашни?

Задачи для самоподготовки:

Пример C8–1: Даны точки(2, –3, 6),(0, 7, 0),(3, 2,–4) и(, 4, –5). Установить, какие из точек лежат на поверхности, определяемой уравнением:, и какие не лежат не ней? Какая поверхность определена данным уравнением?

Ответ: точки ,,лежат на заданной поверхности, а точкане лежит. Уравнение определяет сферу с центром в начале координат и радиусом, равным 7.

Пример C8–2: На поверхности, определяемой уравнением:найти точку, для которой: 1) абсцисса равна 1, ордината равна 2; 2) абсцисса равна 2, ордината равна 5; 3) абсцисса равна 2, аппликата равна 2; 4) ордината равна 2, аппликата равна 4.

Ответ: точки: 1) (1,2,2) и(1,2, –2); 2) на поверхности нет такой точки; 3)(2,1,2) и(2, –1, 2); 4) на поверхности нет такой точки.

Пример C8–3: Определить, как расположена плоскость относительно сферы (пересекает, касается или проходит вне неё):

1) плоскость: , сфера.

2) плоскость: , сфера.

3) плоскость: , сфера.

Ответ: случаи: 1) пересекает; 2) касается; 3) проходит вне сферы.

Пример C8–4: Установить, что плоскость+1 = 0 пересекает однополостный гиперболоидпо гиперболе. Найти её полуоси и вершины.

Ответ: полуоси: =4,=3; вершины:(4,0,–1),(–4,,–1).

Пример C8-5: Найти уравнения проекций сечения эллиптического параболоидаплоскостью:=0.

Ответ: проекции на плоскости :,:

: .

Пример C8-6: Доказать, что двухполостный гиперболоидимеет одну общую точку с плоскостью:=0.

Ответ: координаты единственной общей точки: =(3,0,–10).

Пример C8-7: Доказать, что двуполостный гиперболоид:может быть получен в результате вращения гиперболы:вокруг осии последующего равномерного сжатия пространства к плоскости.

Ответ: доказательство в тексте, рисунок отражает результат выполненных действий.

Пример C8-8: Найти точки пересечения и поверхности однополостного гиперболоида: и прямой линии : .

Пример C8-9: Убедившись, что точка (–2,0,1) лежит на гиперболическом параболоиде: , определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через точку .

Ответ: угол между прямолинейными образующими: =.

Пример C8–10: Доказать, что двуполостный гиперболоид:может быть получен в результате вращения гиперболы,y=0 вокруг осиOZи последующего равномерного сжатия пространства к плоскостиOXZ.

Ответ: доказательство использует типовой алгоритм.

< * * * * * >